Pellsova rovnice - Pells equation - Wikipedia

Pellova rovnice pro n = 2 a šest jeho celočíselných řešení

Pellova rovnice, také nazývaný Pell – Fermatova rovnice, je jakýkoli Diophantine rovnice formuláře ${ displaystyle x ^ {2} -ny ^ {2} = 1}$ kde n je daný klad nonsquare celé číslo a hledají se celočíselná řešení X a y. v Kartézské souřadnice, má rovnice tvar a hyperbola; řešení se vyskytují všude, kde křivka prochází bodem, jehož X a y souřadnice jsou obě celá čísla, například triviální řešení s X = 1 a y = 0. Joseph Louis Lagrange dokázal, že pokud n není perfektní čtverec, Pellova rovnice má nekonečně mnoho odlišných celočíselných řešení. Tato řešení lze použít přesně přibližný the odmocnina zn podle racionální čísla formulářeX/y.

Tato rovnice byla nejprve rozsáhle studována v Indii začínání s Brahmagupta,^[1] kdo našel celočíselné řešení ${ displaystyle 92x ^ {2} + 1 = y ^ {2}}$ v jeho Brāhmasphuṭasiddhānta kolem 628.^[2] Bhaskara II ve dvanáctém století a Narayana Pandit ve čtrnáctém století našli oba obecná řešení Pellovy rovnice a dalších kvadratických neurčitých rovnic. Bhaskara II je obecně připočítán s vývojem chakravala metoda, navazující na práci Jayadeva a Brahmagupta. Řešení konkrétních příkladů Pellovy rovnice, například Pell čísla vyplývající z rovnice s n = 2, byl známý mnohem déle, od doby Pythagoras v Řecko a podobné datum v Indii. William Brouncker byl prvním Evropanem, který vyřešil Pellovu rovnici. Název Pellovy rovnice vznikl z Leonhard Euler omylem připsat Brounckerovo řešení rovnice John Pell.^{[3][4][poznámka 1]}

Dějiny

Již v roce 400 př. N.l. v Indii a Řecku matematici studovali čísla vyplývající z n = 2 případ Pellovy rovnice,

${ displaystyle x ^ {2} -2r ^ {2} = 1}$

a z úzce související rovnice

${ displaystyle x ^ {2} -2r ^ {2} = - 1}$

kvůli spojení těchto rovnic s druhá odmocnina ze 2.^[5] Opravdu, pokud X a y jsou kladná celá čísla tedy splnění této rovnice X/y je aproximace √2. Čísla X a y objevit se v těchto aproximacích, tzv čísla stran a průměrů, bylo známo, že Pytagorejci, a Proclus pozorovali, že v opačném směru tato čísla poslouchala jednu z těchto dvou rovnic.^[5] Podobně, Baudhayana objevil to X = 17, y = 12 a X = 577, y = 408 jsou dvě řešení Pellovy rovnice a že 17/12 a 577/408 jsou velmi blízké aproximaci druhé odmocniny 2.^[6]

Později, Archimedes přiblížil druhá odmocnina ze 3 racionálním číslem 1351/780. Ačkoli své metody nevysvětlil, lze tuto aproximaci získat stejným způsobem jako řešení Pellovy rovnice.^[5]Rovněž, Archimédův problém s dobytkem - starověký slovní úloha o zjištění počtu kusů dobytka patřících bohu slunce Helios - lze vyřešit přeformulováním na Pellovu rovnici. Rukopis obsahující problém uvádí, že jej vymyslel Archimedes a byl zaznamenán v dopise Eratosthenes,^[7] a přisuzování Archimédovi je dnes obecně přijímáno.^[8][9]

Kolem 250 nl Diophantus považována za rovnici

${ displaystyle a ^ {2} x ^ {2} + c = y ^ {2},}$

kde A a C jsou pevná čísla a X a y jsou proměnné, které se mají řešit. Tato rovnice se liší od Pellovy rovnice, ale je k ní ekvivalentní. Diophantus vyřešil rovnici pro (A, C) se rovná (1, 1), (1, -1), (1, 12) a (3, 9). Al-Karaji, perský matematik z 10. století, pracoval na podobných problémech jako Diophantus.^[10]

V indické matematice Brahmagupta objevil to

${ displaystyle (x_ {1} ^ {2} -Ny_ {1} ^ {2}) (x_ {2} ^ {2} -Ny_ {2} ^ {2}) = (x_ {1} x_ {2 } + Ny_ {1} y_ {2}) ^ {2} -N (x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {1}) ^ {2},}$

forma toho, co je nyní známé jako Brahmaguptaova identita. Pomocí toho dokázal „skládat“ trojky ${ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}, k_ {1})}$ a ${ displaystyle (x_ {2}, y_ {2}, k_ {2})}$ to byla řešení ${ displaystyle x ^ {2} -Ny ^ {2} = k}$, pro generování nových trojic

${ displaystyle (x_ {1} x_ {2} + Ny_ {1} y_ {2}, x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {1}, k_ {1} k_ {2})}$ a ${ displaystyle (x_ {1} x_ {2} -Ny_ {1} y_ {2}, x_ {1} y_ {2} -x_ {2} y_ {1}, k_ {1} k_ {2}). }$

To nejen poskytlo způsob, jak generovat nekonečně mnoho řešení ${ displaystyle x ^ {2} -Ny ^ {2} = 1}$ počínaje jedním řešením, ale také dělením takové kompozice ${ displaystyle k_ {1} k_ {2}}$často bylo možné získat celočíselná nebo „téměř celočíselná“ řešení. Například pro ${ displaystyle N = 92}$Brahmagupta složil trojici (10, 1, 8) (od ${ displaystyle 10 ^ {2} -92 (1 ^ {2}) = 8}$) sám se sebou získat nový triple (192, 20, 64). Dělí se na 64 ('8' pro ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$) dal trojnásobek (24, 5/2, 1), který po složení sám poskytl požadované celé číslo řešení (1151, 120, 1). Brahmagupta touto metodou vyřešil mnoho Pellových rovnic, což dokazuje, že poskytuje řešení vycházející z celočíselného řešení ${ displaystyle x ^ {2} -Ny ^ {2} = k}$ pro k = ± 1, ± 2 nebo ± 4.^[11]

První obecná metoda řešení Pellovy rovnice (pro všechny N) byl dán Bhāskara II v 1150, rozšiřovat metody Brahmagupta. Volal chakravala (cyklická) metoda, začíná výběrem dvou relativně celých celých čísel ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$, poté složil trojnásobek ${ displaystyle (a, b, k)}$ (tj. ten, který uspokojuje ${ displaystyle a ^ {2} -Nb ^ {2} = k}$) s triviální trojkou ${ displaystyle (m, 1, m ^ {2} -N)}$ získat trojku ${ displaystyle (am + Nb, a + bm, k (m ^ {2} -N))}$, které lze zmenšit na

${ displaystyle left ({ frac {am + Nb} {k}}, { frac {a + bm} {k}}, { frac {m ^ {2} -N} {k}} vpravo ).}$

Když ${ displaystyle m}$ je vybrán tak, aby ${ displaystyle { frac {a + bm} {k}}}$ je celé číslo, stejně tak další dvě čísla v trojnásobku. Mezi takovými ${ displaystyle m}$, metoda zvolí ten, který minimalizuje ${ displaystyle { frac {m ^ {2} -N} {k}}}$a postup opakuje. Tato metoda vždy končí řešením (prokázáno Joseph-Louis Lagrange v roce 1768). Bhaskara to použil k poskytnutí řešení X = 1766319049, y = 226153980 do N = 61 případů.^[11]

Několik evropských matematiků znovu objevilo, jak vyřešit Pellovu rovnici v 17. století, zjevně nevěděli, že byla v Indii vyřešena téměř před pěti sty lety. Pierre de Fermat našel, jak vyřešit rovnici, a v dopise z roku 1657 ji vydal jako výzvu anglickým matematikům.^[12] V dopise Kenelm Digby, Bernard Frénicle de Bessy řekl, že Fermat našel nejmenší řešení pro N až 150, a napadal John Wallis vyřešit případy N = 151 nebo 313. Wallis i William Brouncker dal řešení těchto problémů, ačkoli Wallis v dopise naznačuje, že řešení bylo způsobeno Brounckerem.^[13]

John Pell Souvislost s rovnicí spočívá v tom, že revidoval Thomas Branker překlad^[14] z Johann Rahn kniha 1659 Teutsche Algebra^{[poznámka 2]} do angličtiny, s diskusí o Brounckerově řešení rovnice. Leonhard Euler mylně si myslel, že toto řešení bylo způsobeno Pellem, v důsledku čehož pojmenoval rovnici po Pellovi.^[4]

Obecná teorie Pellovy rovnice, založená na pokračující zlomky a algebraické manipulace s čísly formuláře ${ displaystyle P + Q { sqrt {a}},}$ byl vyvinut Lagrangeem v letech 1766–1769.^[15]

Řešení

Základní řešení prostřednictvím pokračujících zlomků

Nechat ${ displaystyle { tfrac {h_ {i}} {k_ {i}}}}$ označují posloupnost konvergenty do normální pokračující zlomek pro ${ displaystyle { sqrt {n}}}$. Tato sekvence je jedinečná. Pak dvojice (X₁,y₁) řešení Pellovy rovnice a minimalizace X splňuje X₁ = h_i a y₁ = k_i pro některé i. Tento pár se nazývá zásadní řešení. Základní řešení tedy lze nalézt provedením pokračující expanze zlomků a testováním každé následující konvergentní, dokud není nalezeno řešení Pellovy rovnice.^[16]

Čas pro nalezení základního řešení pomocí metody kontinuálního zlomku s pomocí Schönhage – Strassenův algoritmus pro rychlé celočíselné násobení je v logaritmickém faktoru velikosti řešení, počtu číslic v páru (X₁,y₁). To však není polynomiální časový algoritmus protože počet číslic v řešení může být stejně velký jako √n, mnohem větší než polynom v počtu číslic ve vstupní hodnotě n.^[17]

Další řešení od základního řešení

Jakmile je nalezeno základní řešení, všechna zbývající řešení lze vypočítat algebraicky z

${ displaystyle x_ {k} + y_ {k} { sqrt {n}} = (x_ {1} + y_ {1} { sqrt {n}}) ^ {k},}$^[17]

rozšíření pravé strany, vyrovnávací koeficienty z ${ displaystyle { sqrt {n}}}$ na obou stranách a vyrovnání ostatních výrazů na obou stranách. Tím se získá relace opakování

${ displaystyle displaystyle x_ {k + 1} = x_ {1} x_ {k} + ny_ {1} y_ {k},}$

${ displaystyle displaystyle y_ {k + 1} = x_ {1} y_ {k} + y_ {1} x_ {k}.}$

Stručné znázornění a rychlejší algoritmy

Ačkoli sepisuje základní řešení (X₁, y₁) protože dvojice binárních čísel může vyžadovat velký počet bitů, může být v mnoha případech reprezentována kompaktněji ve formě

${ displaystyle x_ {1} + y_ {1} { sqrt {n}} = prod _ {i = 1} ^ {t} (a_ {i} + b_ {i} { sqrt {n}}) ^ {c_ {i}}}$

pomocí mnohem menších celých čísel A_i, b_i, a C_i.

Například, Archimédův problém s dobytkem je ekvivalentní Pellově rovnici ${ displaystyle x ^ {2} -410286423278424y ^ {2} = 1}$, jehož základní řešení má 206545 číslic, pokud je uvedeno výslovně. Řešení je však rovné

${ displaystyle x_ {1} + y_ {1} { sqrt {n}} = u ^ {2329},}$

kde

${ displaystyle u = x '_ {1} + y' _ {1} { sqrt {4729494}} = (300426607914281713365 { sqrt {609}} + 84129507677858393258 { sqrt {7766}}) ^ {2}}$

a ${ displaystyle x '_ {1}}$ a ${ displaystyle y '_ {1}}$ mají pouze 45 a 41 desetinných míst.^[17]

Metody související s kvadratické síto přístup pro celočíselná faktorizace lze použít ke sběru vztahů mezi prvočísly v číselném poli generovaném √na kombinovat tyto vztahy k nalezení produktové reprezentace tohoto typu. Výsledný algoritmus pro řešení Pellovy rovnice je efektivnější než metoda s pokračujícím zlomkem, i když stále trvá déle než polynomiální čas. Za předpokladu zobecněná Riemannova hypotéza, to může ukázat, že to nějakou dobu trvá

${ displaystyle exp O ({ sqrt { log N log log N}}),}$

kde N = logn je velikost vstupu, podobně jako kvadratické síto.^[17]

Kvantové algoritmy

Hallgren ukázal, že a kvantový počítač může najít reprezentaci produktu, jak je popsáno výše, pro řešení Pellovy rovnice v polynomiálním čase.^[18] Hallgrenův algoritmus, který lze interpretovat jako algoritmus pro nalezení skupiny jednotek reálného kvadratické číslo, rozšířili Schmidt a Völlmer na obecnější pole.^[19]

Příklad

Jako příklad zvažte příklad Pellovy rovnice pro n = 7; to je

${ displaystyle x ^ {2} -7y ^ {2} = 1.}$

Posloupnost konvergentů pro druhou odmocninu ze sedmi je

h / k (Konvergentní)	h2 − 7k2 (Aproximace typu Pell)
2 / 1	−3
3 / 1	+2
5 / 2	−3
8 / 3	+1

Proto základní řešení tvoří dvojice (8, 3). Použití vzorce opakování na toto řešení generuje nekonečnou sekvenci řešení

(1, 0); (8, 3); (127, 48); (2024 765); (32257, 12192); (514088, 194307); (8193151, 3096720); (130576328, 49353213); ... (sekvence A001081 (X) a A001080 (y) v OEIS )

Nejmenší řešení může být velmi velké. Například nejmenší řešení ${ displaystyle x ^ {2} -313y ^ {2} = 1}$ je (32188120829134849, 1819380158564160), a toto je rovnice, kterou Frenicle vyzval Wallise k řešení.^[20] Hodnoty n tak, že nejmenší řešení ${ displaystyle x ^ {2} -ny ^ {2} = 1}$ je větší než nejmenší řešení pro jakoukoli menší hodnotu n jsou

1, 2, 5, 10, 13, 29, 46, 53, 61, 109, 181, 277, 397, 409, 421, 541, 661, 1021, 1069, 1381, 1549, 1621, 2389, 3061, 3469, 4621, 4789, 4909, 5581, 6301, 6829, 8269, 8941, 9949, ... (sekvence A033316 v OEIS ).

(Tyto záznamy viz OEIS: A033315 pro X a OEIS: A033319 pro y.)

Nejmenší řešení Pellových rovnic

Následuje seznam nejmenších řešení (základní řešení) ${ displaystyle x ^ {2} -ny ^ {2} = 1}$ s n ≤ 128. Pro čtverec n, neexistuje žádné řešení kromě (1, 0). Hodnoty X jsou sekvence A002350 a ti z y jsou sekvence A002349 v OEIS.

Připojení

Pellova rovnice má vazby na několik dalších důležitých předmětů v matematice.

Algebraická teorie čísel

Pellova rovnice úzce souvisí s teorií algebraická čísla, jako vzorec

${ displaystyle x ^ {2} -ny ^ {2} = (x + y { sqrt {n}}) (x-y { sqrt {n}})}$

je norma pro prsten ${ displaystyle mathbb {Z} [{ sqrt {n}}]}$ a pro blízce příbuzné kvadratické pole ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {n}})}$. Tedy dvojice celých čísel ${ displaystyle (x, y)}$ řeší Pellovu rovnici právě tehdy ${ displaystyle x + y { sqrt {n}}}$ je jednotka s normou 1 palce ${ displaystyle mathbb {Z} [{ sqrt {n}}]}$.^[21] Dirichletova věta o jednotce, že všechny jednotky ${ displaystyle mathbb {Z} [{ sqrt {n}}]}$ lze vyjádřit jako mocnost jednoho základní jednotka (a násobení znaménkem) je algebraické přepracování skutečnosti, že všechna řešení Pellovy rovnice lze vygenerovat ze základního řešení.^[22] Základní jednotku lze obecně nalézt řešením Pellovy rovnice, ale ne vždy to přímo odpovídá základnímu řešení samotné Pellovy rovnice, protože základní jednotka může mít spíše normu −1 než 1 a její koeficienty mohou být poloviční celá čísla spíše než celá čísla.

Čebyševovy polynomy

Demeyer zmiňuje souvislost mezi Pellovou rovnicí a Čebyševovy polynomy:Li T_i (X) a U_i (X) jsou Čebyševovy polynomy prvního a druhého druhu, pak tyto polynomy splňují formu Pellovy rovnice v jakémkoli polynomiální kruh R[X], s n = X² − 1:^[23]

${ displaystyle T_ {i} ^ {2} - (x ^ {2} -1) U_ {i-1} ^ {2} = 1.}$

Tyto polynomy lze tedy generovat standardní technikou pro Pellovy rovnice převzetí pravomocí základního řešení:

${ displaystyle T_ {i} + U_ {i-1} { sqrt {x ^ {2} -1}} = (x + { sqrt {x ^ {2} -1}}) ^ {i}.}$

Dále lze poznamenat, že pokud (X_i,y_i) jsou tedy řešením jakékoli celočíselné Pellovy rovnice X_i = T_i (X₁) a y_i = y₁U_i − 1(X₁).^[24]

Pokračující zlomky

Obecný vývoj řešení Pellovy rovnice ${ displaystyle x ^ {2} -ny ^ {2} = 1}$ ve smyslu pokračující zlomky z ${ displaystyle { sqrt {n}}}$ lze představit jako řešení X a y jsou přibližné k druhé odmocnině z n a jsou tedy zvláštním případem pokračujících aproximací zlomků pro kvadratické iracionály.^[16]

Vztah k pokračujícím zlomkům znamená, že řešení Pellovy rovnice tvoří a poloskupina podmnožina modulární skupina. Tak například pokud p a q uspokojit Pellovu rovnici

${ displaystyle { begin {pmatrix} p & q nq & p end {pmatrix}}}$

je matice jednotky určující. Produkty takových matic mají přesně stejnou formu, a tak všechny tyto produkty přinášejí řešení Pellovy rovnice. To lze částečně pochopit, že vyplývá ze skutečnosti, že po sobě jdoucí konvergenty spojité frakce sdílejí stejnou vlastnost: If p_k−1/q_k−1 a p_k/q_k jsou dva po sobě jdoucí konvergenty spojitého zlomku, pak matice

${ displaystyle { begin {pmatrix} p_ {k-1} & p_ {k} q_ {k-1} & q_ {k} end {pmatrix}}}$

má determinant (-1)^k.

Hladká čísla

Størmerova věta použije Pellovy rovnice k vyhledání dvojic po sobě jdoucích plynulá čísla, kladná celá čísla, jejichž hlavní faktory jsou všechny menší než daná hodnota.^[25][26] Jako součást této teorie Størmer také zkoumal vztahy dělitelnosti mezi řešeními Pellovy rovnice; zejména ukázal, že každé jiné řešení než základní řešení má a hlavní faktor to se nedělín.^[25]

Negativní Pellova rovnice

Záporná Pellova rovnice je dána vztahem

${ displaystyle x ^ {2} -ny ^ {2} = - 1.}$

Bylo také rozsáhle studováno; může být vyřešen stejnou metodou spojitých zlomků a bude mít řešení právě tehdy, pokud má perioda spojitého zlomku lichou délku. Není však známo, které kořeny mají liché délky období, a proto není známo, kdy je negativní Pellova rovnice řešitelná. Nutnou (ale ne dostatečnou) podmínkou pro řešení je to n není dělitelné 4 nebo prvočíslem formy 4k + 3.^{[Poznámka 3]} Tak například X² − 3ny² = -1 nikdy není řešitelný, ale X² − 5ny² = -1 může být.^[27]

Prvních pár čísel n pro který X² − ny² = -1 jsou řešitelné jsou

1, 2, 5, 10, 13, 17, 26, 29, 37, 41, 50, 53, 58, 61, 65, 73, 74, 82, 85, 89, 97, ... (sekvence A031396 v OEIS ).

Podíl bez čtverců n dělitelné k prvočísla formy 4m +1, pro které je řešitelná negativní Pellova rovnice, je alespoň 40%.^[28] Pokud má negativní Pellova rovnice řešení pro konkrétní n, jeho fundamentální řešení vede k fundamentálnímu řešení pro pozitivní případ čtvercem na obou stranách definující rovnice:

${ displaystyle (x ^ {2} -ny ^ {2}) ^ {2} = (- 1) ^ {2}}$

naznačuje

${ displaystyle (x ^ {2} + ny ^ {2}) ^ {2} -n (2xy) ^ {2} = 1.}$

Jak je uvedeno výše, je-li negativní Pellova rovnice řešitelná, lze nalézt řešení pomocí metody pokračujících zlomků jako v kladné Pellově rovnici. Vztah rekurze však funguje trochu jinak. Od té doby ${ displaystyle (x + { sqrt {n}} y) (x - { sqrt {n}} y) = - 1}$, další řešení je určeno z hlediska ${ displaystyle imath (x_ {k} + { sqrt {n}} y_ {k}) = ( imath (x + { sqrt {n}} y)) ^ {k}}$ kdykoli existuje shoda, tj. když k je liché. Výsledný rekurzní vztah je (modulo znaménko mínus, které je vzhledem ke kvadratické povaze rovnice nepodstatné)

${ displaystyle x_ {k} = x_ {k-2} x_ {1} ^ {2} + nx_ {k-2} y_ {1} ^ {2} + 2ny_ {k-2} y_ {1} x_ { 1}}$

${ displaystyle y_ {k} = y_ {k-2} x_ {1} ^ {2} + ny_ {k-2} y_ {1} ^ {2} + 2x_ {k-2} y_ {1} x_ { 1}}$

což dává nekonečnou věž řešení záporné Pellovy rovnice.

Zobecněná Pellova rovnice

Rovnice

${ displaystyle x ^ {2} -dy ^ {2} = N}$

se nazývá zobecněný^{[Citace je zapotřebí ]} (nebo Všeobecné^[16]) Pellova rovnice. Rovnice ${ displaystyle u ^ {2} -dv ^ {2} = 1}$ je odpovídající Pellova rezolvence.^[16] Rekurzivní algoritmus dal Lagrange v roce 1768 pro řešení rovnice, čímž se problém zmenšil na případ ${ displaystyle left vert N right vert <{ sqrt {d}}}$.^[29][30] Taková řešení lze odvodit pomocí metody kontinuálních frakcí, jak je uvedeno výše.

Li ${ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ je řešením ${ displaystyle x ^ {2} -dy ^ {2} = N}$ a ${ displaystyle (u_ {n}, v_ {n})}$ je řešením ${ displaystyle u ^ {2} -dv ^ {2} = 1}$ pak ${ displaystyle (x_ {n}, y_ {n})}$ takhle ${ displaystyle x_ {n} + y_ {n} { sqrt {d}} = (x_ {0} + y_ {0} { sqrt {d}}) (u_ {n} + v_ {n} { sqrt {d}})}$ je řešením ${ displaystyle x ^ {2} -dy ^ {2} = N}$, princip pojmenovaný multiplikativní princip.^[16]

K řešení jistých se používají řešení zobecněné Pellovy rovnice Diophantine rovnice a Jednotky jisté prsteny,^[31][32] a vznikají při studiu SIC-POVM v teorie kvantové informace.^[33]

Rovnice

${ displaystyle x ^ {2} -dy ^ {2} = 4}$

je podobné rezolvenci ${ displaystyle x ^ {2} -dy ^ {2} = 1}$ v tom, že pokud minimální řešení ${ displaystyle x ^ {2} -dy ^ {2} = 4}$ lze najít, pak lze všechna řešení rovnice generovat podobným způsobem jako v případě ${ displaystyle N = 1}$. Najisto ${ displaystyle d}$, řešení ${ displaystyle x ^ {2} -dy ^ {2} = 1}$ lze vygenerovat od uživatelů s ${ displaystyle x ^ {2} -dy ^ {2} = 4}$, v tom případě ${ displaystyle d equiv 5 { pmod {8}}}$ pak každé třetí řešení ${ displaystyle x ^ {2} -dy ^ {2} = 4}$ má x, y dokonce, generování řešení ${ displaystyle x ^ {2} -dy ^ {2} = 1}$.^[16]

Poznámky

Reference

Další čtení

• Edwards, Harold M. (1996) [1977]. Fermatova poslední věta: Genetický úvod do teorie algebraických čísel. Postgraduální texty z matematiky. 50. Springer-Verlag. ISBN  0-387-90230-9. PAN  0616635.
• Pinch, R. G. E. (1988). „Simultánní Pellianovy rovnice“. Matematika. Proc. Cambridge Philos. Soc. 103 (1): 35–46. Bibcode:1988MPCPS.103 ... 35P. doi:10.1017 / S0305004100064598.
• Whitford, Edward Everett (1912). „Pellova rovnice“ (Phd Thesis). Columbia University.
• Williams, H. C. (2002). "Řešení Pellovy rovnice". In Bennett, M. A .; Berndt, B.C.; Boston, N.; Diamond, H.G .; Hildebrand, A.J .; Philipp, W. (eds.). Průzkumy v teorii čísel: Příspěvky z tisícileté konference o teorii čísel. Natick, MA: A K Peters. 325–363. ISBN  1-56881-162-4. Zbl  1043.11027.

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. "Pellova rovnice". MathWorld.
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Pellova rovnice", MacTutor Historie archivu matematiky, University of St Andrews.
• Řešitel rovnice Pell (n nemá horní limit)
• Řešitel rovnice Pell (n<10 ^ 10, může také vrátit řešení na x ^ 2-ny ^ 2 = + -1, + -2, + -3 a + -4)