Pierpont prime - Pierpont prime
Pojmenoval podle | James Pierpont |
---|---|
Ne. známých výrazů | Tisíce |
Domnělý Ne. podmínek | Nekonečný |
Subsekvence z | Pierpontovo číslo |
První termíny | 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 257, 433, 487, 577, 769, 1153, 1297, 1459, 2593, 2917, 3457, 3889 |
Největší známý termín | 9·213,334,487 + 1 |
OEIS index | A005109 |
A Pierpont prime je prvočíslo formuláře
pro některé nezáporné celá čísla u a proti. To znamená, že jsou to prvočísla p pro který p − 1 je 3-hladký. Jsou pojmenovány po matematikovi James Pierpont, který je představil při studiu pravidelné mnohoúhelníky které lze postavit pomocí kuželovité úseky.
Pierpont prime s proti = 0 je ve formě , a je tedy a Fermat prime (pokud u = 0). Li proti je pozitivní pak u musí být také pozitivní (protože číslo formuláře by bylo sudé a tedy neprvořadé, protože 2 nelze vyjádřit jako když proti je kladné celé číslo), a proto mají prvočísla non-Fermat Piermont formu 6k + 1, když k je kladné celé číslo (kromě 2, když u = proti = 0).
Prvních několik Pierpontových prvočísel je:
- 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 257, 433, 487, 577, 769, 1153, 1297, 1459, 2593, 2917, 3457, 3889, 10369, 12289, 17497, 18433, 39367, 52489, 65537, 139969, 147457, 209953, 331777, 472393, 629857, 746497, 786433 , 839809, 995329, ... (sekvence A005109 v OEIS )
Rozdělení
![]() | Nevyřešený problém v matematice: Existuje nekonečně mnoho Pierpontových prvočísel? (více nevyřešených úloh z matematiky) |

Empiricky se zdá, že Pierpontova prvočísla nejsou nijak zvlášť vzácná nebo málo rozptýlená. Existuje 42 Pierpontových prvočísel méně než 106, 65 méně než 109, 157 méně než 1020a 795 méně než 10100. Na Pierpontových prvočíslech existuje několik omezení z algebraických faktorizací, takže neexistují žádné požadavky jako Mersenne prime podmínka, že exponent musí být prvočíslo. Očekává se tedy, že mezi n-místná čísla správného formuláře , zlomek z nich, který je prvočíslo, by měl být úměrný 1/n, podobný podíl jako podíl prvočísel ze všech n-místná čísla. Jaká jsou čísla správného tvaru v tomto rozsahu by měla být Pierpont připravuje.
Andrew M. Gleason učinil toto uvažování explicitní, domnívajíc se, že existuje Pierpontových prvočísel nekonečně mnoho, konkrétněji by mělo existovat přibližně 9n Pierpont připravuje až 10n.[1] Podle Gleasonova domněnky existují Pierpont připravuje menší než N, na rozdíl od menšího dohadného čísla Mersennova prvočísla v tomto rozsahu.
Testování originality
Když , primitivnost lze testovat pomocí Prothova věta. Na druhou stranu, když alternativní testy primality pro jsou možné na základě faktorizace jako malé sudé číslo vynásobené velkou silou tří.[2]
Pierpontovy prvočísla nalezena jako faktory Fermatových čísel
Jako součást probíhajícího celosvětového hledání faktorů Fermat čísla, byly některé Pierpontovy prvočísla oznámeny jako faktory. Následující tabulka[3] dává hodnoty m, k, a n takhle
Levá strana je Pierpont prime, když k je Napájení ze 3; pravá strana je číslo Fermat.
m | k | n | Rok | Objevitel |
---|---|---|---|---|
38 | 3 | 41 | 1903 | Cullen, Cunningham & Západní |
63 | 9 | 67 | 1956 | Robinson |
207 | 3 | 209 | 1956 | Robinson |
452 | 27 | 455 | 1956 | Robinson |
9428 | 9 | 9431 | 1983 | Keller |
12185 | 81 | 12189 | 1993 | Dubner |
28281 | 81 | 28285 | 1996 | Taura |
157167 | 3 | 157169 | 1995 | Mladá |
213319 | 3 | 213321 | 1996 | Mladá |
303088 | 3 | 303093 | 1998 | Mladá |
382447 | 3 | 382449 | 1999 | Cosgrave & Gallot |
461076 | 9 | 461081 | 2003 | Nohara, Jobling, Woltman & Gallot |
495728 | 243 | 495732 | 2007 | Keizer, Jobling, Penné & Fougeron |
672005 | 27 | 672007 | 2005 | Bednář, Jobling, Woltman & Gallot |
2145351 | 3 | 2145353 | 2003 | Cosgrave, Jobling, Woltman & Gallot |
2478782 | 3 | 2478785 | 2003 | Cosgrave, Jobling, Woltman a Gallot |
2543548 | 9 | 2543551 | 2011 | Brown, Reynolds, Penné a Fougeron |
Od roku 2020[Aktualizace], největší známý Pierpont Prime je 9,213334487 + 1, jehož primitivita byla objevena v březnu 2020.[4][5]
Polygonová konstrukce
V matematika skládání papíru, Huzitovy axiomy definujte šest ze sedmi možných typů skládání. Ukázalo se, že tyto záhyby jsou dostatečné, aby umožnily konstrukci bodů, které libovolné vyřeší kubická rovnice.[6]Z toho vyplývá, že povolují jakékoli pravidelný mnohoúhelník z N strany, které mají být formovány, pokud N ≥ 3 a formy 2m3nρ, kde ρ je produktem různých Pierpontových prvočísel. Toto je stejná třída pravidelných polygonů jako ty, které lze zkonstruovat pomocí a kompas, rovná hrana, a úhlový trisektor.[1] Pravidelné mnohoúhelníky, které lze sestavit pouze pomocí kompasu a pravítka (konstruovatelné polygony ) jsou zvláštní případ, kdy n = 0 a ρ je produktem zřetelného Fermat připraví, samy o sobě podmnožinou Pierpontových prvočísel.
V roce 1895 James Pierpont studoval stejnou třídu pravidelných polygonů; jeho práce je to, co dává jméno Pierpontovým prvočíslům. Pierpont zobecnil konstrukce kompasu a pravítka jiným způsobem, přidáním schopnosti kreslit kuželovité úseky jehož koeficienty pocházejí z dříve vytvořených bodů. Jak ukázal, pravidelný N-gony, které lze konstruovat pomocí těchto operací, jsou takové, že totient z N je 3-hladký. Jelikož totient prvočísla je tvořen odečtením jednoho z nich, prvočísla N pro které jsou Pierpontovy stavební práce přesně ty Pierpontovy prvočísla. Pierpont však nepopisoval formu složených čísel se 3 hladkými totienty.[7] Jak později ukázal Gleason, tato čísla jsou přesně stejná jako čísla 2m3nρ uvedené výše.[1]
Nejmenší prvočíslo, které není Pierpontovým (nebo Fermatovým) prvočíslem, je 11; proto hendecagon je nejmenší pravidelný mnohoúhelník, který nelze sestrojit pomocí kompasu, pravítka a úhlového trisektoru (nebo origami nebo kuželoseček). Všechny ostatní pravidelné N-gony s 3 ≤ N ≤ 21 lze konstruovat pomocí kompasu, pravítka a trisektoru.[1]
Zobecnění
A Pierpont prime druhého druhu je prvočíslo formuláře 2u3proti - 1. Tato čísla jsou
- 2, 3, 5, 7, 11, 17, 23, 31, 47, 53, 71, 107, 127, 191, 383, 431, 647, 863, 971, 1151, 2591, 4373, 6143, 6911, 8191, 8747, 13121, 15551, 23327, 27647, 62207, 73727, 131071, 139967, 165887, 294911, 314927, 442367, 472391, 497663, 524287, 786431, 995327, ... (sekvence A005105 v OEIS )
Největší známá prvočísla tohoto typu jsou Mersenne připraví; v současnosti největší známý je . Největší známý vrchol Pierpont druhého druhu, který není Mersenne, je našel PrimeGrid.[8]
A zobecněný Pierpont prime je vrchol formy s k pevné prvočísla {p1, p2, p3, ..., pk}, pi < pj pro i < j. A zobecněný Pierpont prime druhého druhu je vrchol formy s k pevné prvočísla {p1, p2, p3, ..., pk}, pi < pj pro i < j. Protože všechna prvočísla větší než 2 jsou lichá, v obou druzích p1 musí být 2. Sekvence takových prvočísel v OEIS jsou:
{p1, p2, p3, ..., pk} | +1 | −1 |
{2} | OEIS: A092506 | OEIS: A000668 |
{2, 3} | OEIS: A005109 | OEIS: A005105 |
{2, 5} | OEIS: A077497 | OEIS: A077313 |
{2, 3, 5} | OEIS: A002200 | OEIS: A293194 |
{2, 7} | OEIS: A077498 | OEIS: A077314 |
{2, 3, 5, 7} | OEIS: A174144 | |
{2, 11} | OEIS: A077499 | OEIS: A077315 |
{2, 13} | OEIS: A173236 | OEIS: A173062 |
Viz také
- Bezpečné připravit, prvočísla, pro která p − 1 je co nejplynulejší
Poznámky
- ^ A b C d Gleason, Andrew M. (1988), „Úhlová trisekce, sedmiúhelník a triskaidekagon“, Americký matematický měsíčník, 95 (3): 185–194, doi:10.2307/2323624, PAN 0935432. Poznámka pod čarou 8, s. 191.
- ^ Kirfel, Christoph; Rødseth, Øystein J. (2001), „O prvenství ", Diskrétní matematika, 241 (1–3): 395–406, doi:10.1016 / S0012-365X (01) 00125-X, PAN 1861431.
- ^ Wilfrid Keller, Fermatův faktoringový stav.
- ^ Caldwell, Chris. „Největší známá prvočísla“. The Prime Stránky. Citováno 8. května 2020.
- ^ „Databáze Prime: 9 * 2 ^ 13334487 + 1“. The Prime Stránky. Citováno 8. května 2020.
- ^ Hull, Thomas C. (2011), „Řešení kubiky s pomačkáním: dílo Belocha a Lill“, Americký matematický měsíčník, 118 (4): 307–315, doi:10,4169 / amer.math.monthly.118.04.307, PAN 2800341.
- ^ Pierpont, James (1895), „Na neprokázané větě Disquisitiones Arithmeticæ“, Bulletin of the American Mathematical Society, 2 (3): 77–83, doi:10.1090 / S0002-9904-1895-00317-1, PAN 1557414.
- ^ 3*2^11895718 - 1, od The Prime Stránky.