Dirichletova řada - Dirichlet series

v matematika, a Dirichletova řada je jakýkoli série formuláře

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {a_ {n}} {n ^ {s}}},}$

kde s je komplex, a ${ displaystyle a_ {n}}$ je komplex sekvence. Jedná se o speciální případ obecná Dirichletova řada.

Série Dirichlet hraje v řadě různých důležitých rolí analytická teorie čísel. Nejčastěji viděná definice Funkce Riemann zeta je řada Dirichlet, stejně jako Dirichletovy funkce L.. Předpokládá se, že Selberg třída série se řídí zobecněná Riemannova hypotéza. Série je pojmenována na počest Peter Gustav Lejeune Dirichlet.

Kombinatorický význam

Dirichletovu řadu lze použít jako generující řadu pro počítání vážených sad předmětů s ohledem na váhu, která se kombinuje multiplikativně při odběru kartézských produktů.

Předpokládejme to A je sada s funkcí w: A → N přiřazení váhy každému z prvků A, a předpokládejme navíc, že vlákno nad jakýmkoli přirozeným číslem pod touto váhou je konečná množina. (Říkáme takové uspořádání (A,w) vážená množina.) Předpokládejme navíc, že A_n je počet prvků A s váhou n. Poté definujeme formální Dirichletovu generující řadu pro A s ohledem na w jak následuje:

${ displaystyle { mathfrak {D}} _ {w} ^ {A} (s) = součet _ {a v A} { frac {1} {w (a) ^ {s}}} = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {a_ {n}} {n ^ {s}}}}$

Všimněte si, že pokud A a B jsou disjunktní podmnožiny nějaké vážené množiny (U, w), pak se Dirichletova řada pro jejich (disjunktní) sjednocení rovná součtu jejich Dirichletových řad:

${ displaystyle { mathfrak {D}} _ {w} ^ {A uplus B} (s) = { mathfrak {D}} _ {w} ^ {A} (s) + { mathfrak {D} } _ {w} ^ {B} y.}$

Navíc pokud (A, u) a (B, proti) jsou dvě vážené množiny a definujeme váhovou funkci w: A × B → N podle

${ displaystyle w (a, b) = u (a) v (b),}$

pro všechny A v A a b v B, pak máme následující rozklad pro Dirichletovu řadu kartézského součinu:

${ displaystyle { mathfrak {D}} _ {w} ^ {A krát B} (s) = { mathfrak {D}} _ {u} ^ {A} (s) cdot { mathfrak {D }} _ {v} ^ {B} y.}$

To v konečném důsledku vyplývá z prostého faktu, že ${ displaystyle n ^ {- s} cdot m ^ {- s} = (nm) ^ {- s}.}$

Příklady

Nejslavnějším příkladem série Dirichlet je

${ displaystyle zeta (s) = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {s}}},}$

jehož analytické pokračování ${ displaystyle mathbb {C}}$ (kromě jednoduchého pólu v ${ displaystyle s = 1}$) je Funkce Riemann zeta.

Pokud F má skutečnou hodnotu při všech přirozených číslech n, příslušné skutečné a imaginární části Dirichletovy série F znát vzorce, kde píšeme ${ displaystyle s equiv sigma + imath t}$:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} { mathfrak {Re}} [, F (s) ,] & = sum _ {n geq 1} { frac {~ f (n) , cos (t log n) ~} {n ^ { sigma}}} { mathfrak {Im}} [, F (s) ,] & = sum _ {n geq 1} { frac {~ f (n) , sin (t log n) ~} {n ^ { sigma}}} ,. end {zarovnáno}}}$

Považujeme-li je zatím za formální Dirichletovu sérii, abychom mohli ignorovat záležitosti konvergence, všimněte si, že máme:

${ displaystyle { begin {aligned} zeta (s) & = { mathfrak {D}} _ { operatorname {id}} ^ { mathbb {N}} (s) = prod _ {p { text {prime}}} { mathfrak {D}} _ { operatorname {id}} ^ { {p ^ {n}: n in mathbb {N} }} (s) = prod _ { p { text {prime}}} sum _ {n in mathbb {N}} { mathfrak {D}} _ { operatorname {id}} ^ { {p ^ {n} }} ( s) & = prod _ {p { text {prime}}} sum _ {n in mathbb {N}} { frac {1} {(p ^ {n}) ^ {s} }} = prod _ {p { text {prime}}} sum _ {n in mathbb {N}} left ({ frac {1} {p ^ {s}}} right) ^ {n} = prod _ {p { text {prime}}} { frac {1} {1-p ^ {- s}}} end {zarovnáno}}}$

protože každé přirozené číslo má jedinečný multiplikativní rozklad na mocniny prvočísel. Právě tento kousek kombinatoriky inspiruje Eulerův vzorec produktu.

Další je:

${ displaystyle { frac {1} { zeta (s)}} = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac { mu (n)} {n ^ {s}}}}$

kde μ(n) je Möbiova funkce. Tuto a mnoho z následujících sérií lze získat aplikací Möbiova inverze a Dirichletova konvoluce do známé série. Například vzhledem k Dirichletova postava χ(n) jeden má

${ displaystyle { frac {1} {L ( chi, s)}} = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac { mu (n) chi (n)} {n ^ {s}}}}$

kde L(χ, s) je Dirichletova funkce L..

Pokud aritmetická funkce F má Dirichlet inverzní funkce ${ displaystyle f ^ {- 1} (n)}$, tj. pokud existuje inverzní funkce taková, že Dirichletova konvoluce F s jeho inverzí přináší multiplikativní identitu ${ displaystyle sum _ {d | n} f (d) f ^ {- 1} (n / d) = delta _ {n, 1}}$, pak je DGF inverzní funkce dáno převrácenou hodnotou F:

${ displaystyle sum _ {n geq 1} { frac {f ^ {- 1} (n)} {n ^ {s}}} = left ( sum _ {n geq 1} { frac {f (n)} {n ^ {s}}} right) ^ {- 1}.}$

Mezi další identity patří

${ displaystyle { frac { zeta (s-1)} { zeta (s)}} = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac { varphi (n)} {n ^ {s}}}}$

kde ${ displaystyle varphi (n)}$ je totient funkce,

${ displaystyle { frac { zeta (sk)} { zeta (s)}} = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {J_ {k} (n)} {n ^ {s}}}}$

kde J_k je Jordanova funkce, a

${ displaystyle { begin {aligned} & zeta (s) zeta (sa) = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { sigma _ {a} (n)} {n ^ {s}}} [6pt] & { frac { zeta (s) zeta (sa) zeta (s-2a)} { zeta (2s-2a)}} = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac { sigma _ {a} (n ^ {2})} {n ^ {s}}} [6pt] & { frac { zeta (s) zeta (sa) zeta (sb) zeta (sab)} { zeta (2s-ab)}} = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { sigma _ {a} ( n) sigma _ {b} (n)} {n ^ {s}}} end {zarovnáno}}}$

kde σ_A(n) je funkce dělitele. Specializací na funkci dělitele d = σ₀ my máme

${ displaystyle { begin {zarovnáno} zeta ^ {2} (s) & = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {d (n)} {n ^ {s}}} [6pt] { frac { zeta ^ {3} (s)} { zeta (2s)}} & = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {d (n ^ {2})} {n ^ {s}}} [6pt] { frac { zeta ^ {4} (s)} { zeta (2s)}} & = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {d (n) ^ {2}} {n ^ {s}}}. end {zarovnáno}}}$

Logaritmus funkce zeta je dán vztahem

${ displaystyle log zeta (s) = součet _ {n = 2} ^ { infty} { frac { Lambda (n)} { log (n)}} { frac {1} {n ^ {s}}}, qquad Re (s)> 1.}$

Podobně to máme

${ displaystyle - zeta '(s) = součet _ {n = 2} ^ { infty} { frac { log (n)} {n ^ {s}}}, qquad Re (s) > 1.}$

Tady, Λ (n) je von Mangoldtova funkce. The logaritmická derivace je tedy

${ displaystyle { frac { zeta '(s)} { zeta (s)}} = - součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac { Lambda (n)} {n ^ {s}}}.}$

Tyto poslední tři jsou speciální případy obecnějšího vztahu pro deriváty Dirichletovy řady, uvedené níže.

Vzhledem k Funkce Liouville λ(n), jeden má

${ displaystyle { frac { zeta (2s)} { zeta (s)}} = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac { lambda (n)} {n ^ {s }}}.}$

Další příklad zahrnuje Ramanujanova suma:

${ displaystyle { frac { sigma _ {1-s} (m)} { zeta (s)}} = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {c_ {n} ( m)} {n ^ {s}}}.}$

Další dvojice příkladů zahrnuje Möbiova funkce a hlavní funkce omega:^[1]

${ displaystyle { frac { zeta (s)} { zeta (2s)}} = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {| mu (n) |} {n ^ {s}}} equiv sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { mu ^ {2} (n)} {n ^ {s}}}.}$

${ displaystyle { frac { zeta ^ {2} (s)} { zeta (2s)}} = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {2 ^ { omega (n )}} {n ^ {s}}}.}$

Máme tu sérii Dirichlet pro primární funkce zeta, což je obdoba Funkce Riemann zeta shrnuto pouze nad indexy n které jsou prvočíslo, je dáno součtem nad Funkce Moebius a logaritmy funkce zeta:

${ displaystyle P (s): = součet _ {p quad { text {prime}}} p ^ {- s} = sum _ {n geq 1} { frac { mu (n)} {n}} log zeta (ns).}$

Byl nalezen velký tabulkový katalogový seznam dalších příkladů součtů odpovídajících známým reprezentacím Dirichletovy řady tady.

Příklady Dirichletových sérií DGF odpovídajících přísada (spíše než multiplikativní) F jsou uvedeny tady pro hlavní omega funkce ${ displaystyle omega (n)}$ a ${ displaystyle Omega (n)}$, které počítají počet odlišných hlavních faktorů n (s multiplicitou nebo ne). Například DGF první z těchto funkcí je vyjádřeno jako produkt Funkce Riemann zeta a primární funkce zeta pro jakýkoli komplex s s ${ displaystyle Re (s)> 1}$:

${ displaystyle sum _ {n geq 1} { frac { omega (n)} {n ^ {s}}} = zeta (s) cdot P (s), Re (s)> 1 .}$

Li F je multiplikativní funkce takový, že jeho DGF F konverguje absolutně pro všechny ${ displaystyle Re (s)> sigma _ {a, f}}$, a pokud str je jakýkoli prvočíslo, máme to

${ displaystyle left (1 + f (p) p ^ {- s} right) times sum _ {n geq 1} { frac {f (n) mu (n)} {n ^ { s}}} = left (1-f (p) p ^ {- s} right) times sum _ {n geq 1} { frac {f (n) mu (n) mu ( gcd (p, n))} {n ^ {s}}}, forall Re (s)> sigma _ {a, f},}$

kde ${ displaystyle mu (n)}$ je Funkce Moebius. Další jedinečná identita Dirichletovy řady generuje součtovou funkci nějaké aritmetiky F hodnoceno na GCD vstupy dané

${ displaystyle sum _ {n geq 1} left ( sum _ {k = 1} ^ {n} f ( gcd (k, n)) right) { frac {1} {n ^ { s}}} = { frac { zeta (s-1)} { zeta (s)}} times sum _ {n geq 1} { frac {f (n)} {n ^ {s }}}, forall Re (s)> sigma _ {a, f} +1.}$

Máme také vzorec mezi DGF dvou aritmetických funkcí F a G související s Moebiova inverze. Zejména pokud ${ displaystyle g (n) = (f ast 1) (n)}$, pak to díky Moebiově inverzi máme ${ displaystyle f (n) = (g ast mu) (n)}$. Proto, pokud F a G jsou dva příslušné DGF z F a G, pak můžeme tyto dva DGF spojit podle vzorců:

${ displaystyle F (s) = { frac {G (s)} { zeta (s)}}, Re (s)> max ( sigma _ {a, f}, sigma _ {a, G}).}$

Existuje známý vzorec pro exponenciál Dirichletovy řady. Li ${ displaystyle F (s) = exp (G (s))}$ je DGF nějaké aritmetiky F s ${ displaystyle f (1) neq 0}$, pak DGF G je vyjádřen součtem

${ displaystyle G (s) = log (f (1)) + součet _ {n geq 2} { frac {(f ^ { prime} ast f ^ {- 1}) (n)} { log (n) cdot n ^ {s}}},}$

kde ${ displaystyle f ^ {- 1} (n)}$ je Dirichlet inverzní z F a kde aritmetická derivace z F je dáno vzorcem ${ displaystyle f ^ { prime} (n) = log (n) cdot f (n)}$ pro všechna přirozená čísla ${ displaystyle n geq 2}$.

Analytické vlastnosti

Vzhledem k posloupnosti ${ displaystyle {a_ {n} } _ {n in mathbb {N}}}$ komplexních čísel se pokusíme vzít v úvahu hodnotu

${ displaystyle f (s) = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {a_ {n}} {n ^ {s}}}}$

jako funkce komplex proměnná s. Aby to mělo smysl, musíme zvážit konvergenční vlastnosti výše uvedené nekonečné řady:

Li ${ displaystyle {a_ {n} } _ {n in mathbb {N}}}$ je ohraničená sekvence komplexních čísel, pak odpovídající Dirichletova řada F konverguje Absolutně na otevřené polorovině Re (s)> 1. Obecně, pokud A_n = O (n^k), řada konverguje absolutně v polorovině Re (s) > k + 1.

Pokud je součet částek

${ displaystyle a_ {n} + a_ {n + 1} + cdots + a_ {n + k}}$

je omezen na n a k ≥ 0, pak výše uvedená nekonečná řada konverguje na otevřené polorovině s takový, že Re (s) > 0.

V obou případech F je analytická funkce na odpovídající otevřené poloviční rovině.

Obecně ${ displaystyle sigma}$ je úsečka konvergence řady Dirichlet, pokud konverguje pro ${ displaystyle Re (s)> sigma}$ a rozcházejí se ${ displaystyle Re (s) < sigma.}$ Toto je analogie pro Dirichletovu sérii poloměr konvergence pro výkonová řada. Případ série Dirichlet je však komplikovanější: absolutní konvergence a jednotná konvergence se mohou vyskytovat v odlišných polorovinách.

V mnoha případech má analytická funkce spojená s Dirichletovou řadou analytické rozšíření do větší domény.

Úsečka konvergence

Předpokládat

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {a_ {n}} {n ^ {s_ {0}}}}}$

pro některé konverguje ${ displaystyle s_ {0} in mathbb {C}, Re (s_ {0})> 0.}$

Tvrzení 1. ${ displaystyle A (N): = součet _ {n = 1} ^ {N} a_ {n} = o (N ^ {s_ {0}}).}$

Důkaz. Všimněte si, že:

${ displaystyle (n + 1) ^ {s} -n ^ {s} = int _ {n} ^ {n + 1} sx ^ {s-1} , dx = { mathcal {O}} ( n ^ {s-1}).}$

a definovat

${ displaystyle B (N) = součet _ {n = 1} ^ {N} { frac {a_ {n}} {n ^ {s_ {0}}}} = ell + o (1)}$

kde

${ displaystyle ell = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {a_ {n}} {n ^ {s_ {0}}}}.}$

Podle součet podle částí my máme

${ displaystyle { begin {aligned} A (N) & = sum _ {n = 1} ^ {N} { frac {a_ {n}} {n ^ {s_ {0}}}} n ^ { s_ {0}} & = B (N) N ^ {s_ {0}} + sum _ {n = 1} ^ {N-1} B (n) left (n ^ {s_ {0} } - (n + 1) ^ {s_ {0}} vpravo) & = (B (N) - ell) N ^ {s_ {0}} + sum _ {n = 1} ^ {N -1} (B (n) - ell) left (n ^ {s_ {0}} - (n + 1) ^ {s_ {0}} right) & = o (N ^ {s_ { 0}}) + sum _ {n = 1} ^ {N-1} { mathcal {o}} (n ^ {s_ {0} -1}) & = o (N ^ {s_ {0 }}) end {zarovnáno}}}$

Tvrzení 2. Definovat

${ displaystyle L = { begin {cases} sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n} & { text {Pokud konvergentní}} 0 & { text {jinak}} end { případy}}}$

Pak:

${ displaystyle sigma = lim sup _ {N až infty} { frac { ln | A (N) -L |} { ln N}} = inf _ { sigma} vlevo {A (N) -L = { mathcal {O}} (N ^ { sigma}) doprava }}$

je úsečka konvergence Dirichletovy řady.

Důkaz. Z definice

${ displaystyle forall varepsilon> 0 qquad A (N) -L = { mathcal {O}} (N ^ { sigma + varepsilon})}$

aby

${ displaystyle { begin {aligned} sum _ {n = 1} ^ {N} { frac {a_ {n}} {n ^ {s}}} & = A (N) N ^ {- s} + sum _ {n = 1} ^ {N-1} A (n) (n ^ {- s} - (n + 1) ^ {- s}) & = (A (N) -L) N ^ {- s} + sum _ {n = 1} ^ {N-1} (A (n) -L) (n ^ {- s} - (n + 1) ^ {- s}) & = { mathcal {O}} (N ^ { sigma + varepsilon -s}) + sum _ {n = 1} ^ {N-1} { mathcal {O}} (n ^ { sigma + varepsilon -s-1}) end {zarovnáno}}}$

který konverguje jako ${ displaystyle N až infty}$ kdykoli ${ displaystyle Re (s)> sigma.}$ Proto pro každého ${ displaystyle s}$ takhle ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n} n ^ {- s}}$ rozcházíme se, máme ${ displaystyle sigma geq Re (s),}$ a tím je důkaz dokončen.

Tvrzení 3. Li ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n}}$ pak konverguje ${ displaystyle f ( sigma + it) = o left ({ tfrac {1} { sigma}} right)}$ tak jako ${ displaystyle sigma až 0 ^ {+}}$ a kde je meromorfní ${ displaystyle f (s)}$ nemá žádné póly ${ displaystyle Re (s) = 0.}$

Důkaz. Všimněte si, že

${ displaystyle n ^ {- s} - (n + 1) ^ {- s} = sn ^ {- s-1} + O (n ^ {- s-2})}$

a ${ displaystyle A (N) -f (0) až 0}$ máme součtem po částech, pro ${ displaystyle Re (s)> 0}$

${ displaystyle { begin {aligned} f (s) & = lim _ {N to infty} sum _ {n = 1} ^ {N} { frac {a_ {n}} {n ^ { s}}} & = lim _ {N to infty} A (N) N ^ {- s} + sum _ {n = 1} ^ {N-1} A (n) (n ^ {-s} - (n + 1) ^ {- s}) & = s sum _ {n = 1} ^ { infty} A (n) n ^ {- s-1} + spodní složená závorka { { mathcal {O}} left ( sum _ {n = 1} ^ { infty} A (n) n ^ {- s-2} right)} _ {= { mathcal {O}} ( 1)} end {zarovnáno}}}$

Nyní najděte N takové, že pro n > N, ${ displaystyle | A (n) -f (0) | < varepsilon}$

${ displaystyle s sum _ {n = 1} ^ { infty} A (n) n ^ {- s-1} = podprsenka {sf (0) zeta (s + 1) + s sum _ { n = 1} ^ {N} (A (n) -f (0)) n ^ {- s-1}} _ {= { mathcal {O}} (1)} + underbrace {s sum _ {n = N + 1} ^ { infty} (A (n) -f (0)) n ^ {- s-1}} _ {< varepsilon | s | int _ {N} ^ { infty } x ^ {- Re (s) -1} , dx}}$

a tedy pro každého ${ displaystyle varepsilon> 0}$ tady je ${ displaystyle C}$ takové, že pro ${ displaystyle sigma> 0}$:

${ displaystyle | f ( sigma + it) |$^[2]

Formální řada Dirichlet

Formální série Dirichlet přes prsten R je přidružen k funkci A od kladných celých čísel do R

${ displaystyle D (a, s) = součet _ {n = 1} ^ { infty} a (n) n ^ {- s} }$

s přidáním a násobením definovaným

${ displaystyle D (a, s) + D (b, s) = součet _ {n = 1} ^ { infty} (a + b) (n) n ^ {- s} }$

${ displaystyle D (a, s) cdot D (b, s) = součet _ {n = 1} ^ { infty} (a * b) (n) n ^ {- s} }$

kde

${ displaystyle (a + b) (n) = a (n) + b (n) }$

je bodově součet a

${ displaystyle (a * b) (n) = součet _ {k mid n} a (k) b (n / k) }$

je Dirichletova konvoluce z A a b.

Formální Dirichletova řada tvoří prsten Ω, skutečně R-algebra, s nulovou funkcí jako aditivní nulový prvek a funkcí δ definovanou δ(1) = 1, δ(n) = 0 pro n > 1 jako multiplikativní identita. Prvek tohoto prstenu je invertibilní, pokud A(1) je invertibilní v R. Li R je komutativní, stejně tak Ω; -li R je integrální doména, stejně tak Ω. Nenulové multiplikativní funkce tvoří podskupinu skupiny jednotek Ω.

Kruh formální Dirichletovy série skončil C je isomorfní s prstenem formálních mocninných řad v nespočetně mnoha proměnných.^[3]

Deriváty

Dáno

${ displaystyle F (s) = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {f (n)} {n ^ {s}}}}$

je možné to ukázat

${ displaystyle F '(s) = - součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {f (n) log (n)} {n ^ {s}}}}$

za předpokladu, že pravá strana konverguje. Pro zcela multiplikativní funkce ƒ (n) a za předpokladu, že řada konverguje pro Re (s)> σ₀, pak to jeden má

${ displaystyle { frac {F ^ { prime} (s)} {F (s)}} = - součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {f (n) Lambda ( n)} {n ^ {s}}}}$

konverguje pro Re (s)> σ₀. Tady, Λ (n) je von Mangoldtova funkce.

produkty

Předpokládat

${ displaystyle F (s) = součet _ {n = 1} ^ { infty} f (n) n ^ {- s}}$

a

${ displaystyle G (s) = součet _ {n = 1} ^ { infty} g (n) n ^ {- s}.}$

Pokud obojí F(s) a G(s) jsou absolutně konvergentní pro s > A a s > b pak máme

${ displaystyle { frac {1} {2T}} int _ {- T} ^ {T} , F (a + it) G (b-it) , dt = součet _ {n = 1} ^ { infty} f (n) g (n) n ^ {- ab} { text {as}} T sim infty.}$

Li A = b a ƒ(n) = G(n) my máme

${ displaystyle { frac {1} {2T}} int _ {- T} ^ {T} | F (a + it) | ^ {2} , dt = součet _ {n = 1} ^ { infty} [f (n)] ^ {2} n ^ {- 2a} { text {as}} T sim infty.}$

Inverze koeficientu (integrální vzorec)

Pro všechna kladná celá čísla ${ displaystyle x geq 1}$, funkce F na X, ${ displaystyle f (x)}$, lze získat z DGF F z F (nebo Dirichletova série skončila F) pomocí následujícího integrálního vzorce kdykoli ${ displaystyle sigma> sigma _ {a, f}}$, úsečka absolutní konvergence DGF F ^[4]

${ displaystyle f (x) = lim _ {T rightarrow infty} { frac {1} {2T}} int _ {- T} ^ {T} x ^ { sigma + imath t} F ( sigma + imath t) dt.}$

Je také možné invertovat Mellinova transformace souhrnné funkce F který definuje DGF F z F získat koeficienty Dirichletovy řady (viz část níže). V tomto případě dojdeme ke komplexu konturový integrál vzorec související s Perronova věta. Prakticky řečeno, míry konvergence výše uvedeného vzorce jako funkce T jsou variabilní a pokud jde o Dirichletovu řadu F je citlivý na podepisování změn jako pomalu se sbíhající řady, může vyžadovat velmi velké T přiblížit koeficienty F použití tohoto vzorce bez převzetí formálního limitu.

Integrální a sériové transformace

The inverzní Mellinova transformace Dirichletovy řady dělené s je dáno Perronův vzorec. Navíc, pokud ${ displaystyle F (z): = součet _ {n geq 0} f_ {n} z ^ {n}}$ je (formální) obyčejný generující funkce sekvence z ${ displaystyle {f_ {n} } _ {n geq 0}}$, pak integrální reprezentace pro Dirichletovu řadu generující funkční sekvence, ${ displaystyle {f_ {n} z ^ {n} } _ {n geq 0}}$, darováno ^[5]

${ displaystyle sum _ {n geq 0} { frac {f_ {n} z ^ {n}} {(n + 1) ^ {s}}} = { frac {(-1) ^ {s -1}} {(s-1)!}} Int _ {0} ^ {1} log ^ {s-1} (t) F (tz) dt, s geq 1.}$

Další třída souvisejících derivátů a založená na řadě generování transformací funkcí na běžné generující funkci posloupnosti, která efektivně produkuje expanzi na levé straně v předchozí rovnici, jsou definovány v.^[6][7]

Vztah k výkonové řadě

Sekvence A_n generované funkcí generování Dirichletovy řady odpovídající:

${ displaystyle zeta (s) ^ {m} = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {a_ {n}} {n ^ {s}}}}$

kde ζ(s) je Funkce Riemann zeta, má běžnou generující funkci:

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n} x ^ {n} = x + {m vyberte 1} sum _ {a = 2} ^ { infty} x ^ {a } + {m zvolit 2} sum _ {a = 2} ^ { infty} sum _ {b = 2} ^ { infty} x ^ {ab} + {m zvolit 3} sum _ { a = 2} ^ { infty} sum _ {b = 2} ^ { infty} sum _ {c = 2} ^ { infty} x ^ {abc} + {m zvolte 4} sum _ {a = 2} ^ { infty} sum _ {b = 2} ^ { infty} sum _ {c = 2} ^ { infty} sum _ {d = 2} ^ { infty} x ^ {abcd} + cdots}$

Vztah k sumační funkci aritmetické funkce pomocí Mellinových transformací

Li F je aritmetická funkce s odpovídajícím DGF Fa souhrnná funkce F je definováno

${ displaystyle S_ {f} (x): = { begin {cases} sum _ {n leq x} f (n), & x geq 1; 0, & 0$

pak můžeme vyjádřit F podle Mellinova transformace součtové funkce v ${ displaystyle -s}$. Konkrétně to máme

${ displaystyle F (s) = s cdot int _ {1} ^ { infty} { frac {S_ {f} (x)} {x ^ {s + 1}}} dx, Re (s )> sigma _ {a, f}.}$

Pro ${ displaystyle sigma: = Re (s)> 0}$ a všechna přirozená čísla ${ displaystyle N geq 1}$, máme také aproximaci k DGF F z F dána

${ displaystyle F (s) = součet _ {n leq N} f (n) n ^ {- s} - { frac {S_ {f} (N)} {N ^ {s}}} + s cdot int _ {N} ^ { infty} { frac {S_ {f} (y)} {y ^ {s + 1}}} dy.}$

Viz také

• Obecná řada Dirichlet
• Regulace funkce Zeta
• Produkt Euler
• Dirichletova konvoluce

Reference

• Apostol, Tom M. (1976), Úvod do analytické teorie čísel, Vysokoškolské texty z matematiky, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90163-3, PAN  0434929, Zbl  0335.10001
• Hardy, G.H.; Riesz, Marcel (1915). Obecná teorie Dirichletovy řady. Cambridge Tracts v matematice. 18. Cambridge University Press.
• Obecná teorie Dirichletovy řady G. H. Hardy. Historické matematické monografie Cornell University Library. {Dotisk od} Digitální sbírky Univerzitní knihovny Cornell
• Gould, Henry W .; Shonhiwa, Temba (2008). "Katalog zajímavých Dirichletových sérií". Slečna J. Math. Sci. 20 (1). Archivovány od originál dne 02.10.2011.<-link mrtvý
• Mathar, Richard J. (2011). "Průzkum Dirichletovy řady multiplikativních aritmetických funkcí". arXiv:1106.4038 [math.NT ].
• Tenenbaum, Gérald (1995). Úvod do analytické a pravděpodobnostní teorie čísel. Cambridge studia pokročilé matematiky. 46. Cambridge University Press. ISBN  0-521-41261-7. Zbl  0831.11001.
• "Řada Dirichlet". PlanetMath.