Automorfní číslo - Automorphic number

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale její zdroje zůstávají nejasné, protože jí chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Březen 2013) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, an automorfní číslo (někdy označované jako a kruhové číslo) je přirozené číslo v daném číselná základna ${ displaystyle b}$ jehož náměstí „končí“ stejnými číslicemi jako samotné číslo.

Definice a vlastnosti

Vzhledem k číselné základně ${ displaystyle b}$, přirozené číslo ${ displaystyle n}$ s ${ displaystyle k}$ číslice je automorfní číslo -li ${ displaystyle n}$ je pevný bod polynomiální funkce ${ displaystyle f (x) = x ^ {2}}$ přes ${ displaystyle mathbb {Z} / b ^ {k} mathbb {Z}}$, prsten z celá čísla modulo ${ displaystyle b ^ {k}}$. Jako inverzní limit z ${ displaystyle mathbb {Z} / b ^ {k} mathbb {Z}}$ je ${ displaystyle mathbb {Z} _ {b}}$prsten ${ displaystyle b}$-adická celá čísla, automatická čísla se používají k nalezení numerických reprezentací pevných bodů ${ displaystyle f (x) = x ^ {2}}$ přes ${ displaystyle mathbb {Z} _ {b}}$.

Například s ${ displaystyle b = 10}$, existují čtyři 10-adic pevné body ${ displaystyle f (x) = x ^ {2}}$, jejichž posledních 10 číslic není žádná z nich

${ displaystyle ldots 0000000000}$

${ displaystyle ldots 0000000001}$

${ displaystyle ldots 8212890625}$ (sekvence A018247 v OEIS )

${ displaystyle ldots 1787109376}$ (sekvence A018248 v OEIS )

Tedy automatizovaná čísla v základna 10 jsou 0, 1, 5, 6, 25, 76, 376, 625, 9376, 90625, 109376, 890625, 2890625, 7109376, 12890625, 87109376, 212890625, 787109376, 1787109376, 8212890625, 18212890625, 81787109256, 81787109186 , 59918212890625, ... (sekvence A003226 v OEIS ).

Pevný bod ${ displaystyle f (x)}$ je nula funkce ${ displaystyle g (x) = f (x) -x}$. V prsten z celá čísla modulo ${ displaystyle b}$, existují ${ displaystyle 2 ^ { omega (b)}}$ nula až ${ displaystyle g (x) = x ^ {2} -x}$, Kde hlavní funkce omega ${ displaystyle omega (b)}$ je počet odlišných hlavních faktorů v ${ displaystyle b}$. Prvek ${ displaystyle x}$ v ${ displaystyle mathbb {Z} / b mathbb {Z}}$ je nula ${ displaystyle g (x) = x ^ {2} -x}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle x equiv 0 { bmod {p}} ^ {v_ {p} (b)}}$ nebo ${ displaystyle x equiv 1 { bmod {p}} ^ {v_ {p} (b)}}$ pro všechny ${ displaystyle p | x}$. Protože v systému existují dvě možné hodnoty ${ displaystyle lbrace 0,1 rbrace}$, a jsou ${ displaystyle omega (b)}$ takový ${ displaystyle p | x}$, existují ${ displaystyle 2 ^ { omega (b)}}$ nuly ${ displaystyle g (x) = x ^ {2} -x}$, a tedy existují ${ displaystyle 2 ^ { omega (b)}}$ pevné body ${ displaystyle f (x) = x ^ {2}}$. Podle Henselův lemma, pokud existují ${ displaystyle k}$ nuly nebo pevné body polynomiální funkce modulo ${ displaystyle b}$, pak existují ${ displaystyle k}$ odpovídající nuly nebo pevné body stejné funkce modulují jakýkoli výkon ${ displaystyle b}$, a toto zůstává pravdou v inverzní limit. Tedy v jakékoli dané základně ${ displaystyle b}$ existují ${ displaystyle 2 ^ { omega (b)}}$ ${ displaystyle b}$-adické pevné body ${ displaystyle f (x) = x ^ {2}}$.

Protože 0 je vždy a nulový dělitel, 0 a 1 jsou vždy pevné body ${ displaystyle f (x) = x ^ {2}}$a 0 a 1 jsou automatická čísla v každé základně. Tato řešení se nazývají triviální automatická čísla. Li ${ displaystyle b}$ je hlavní síla, pak prsten z ${ displaystyle b}$-adická čísla nemá žádný nulové dělitele než 0, takže jediné pevné body ${ displaystyle f (x) = x ^ {2}}$ jsou 0 a 1. Výsledkem je, netriviální automatická čísla, jiné než 0 a 1, existují pouze tehdy, když je základna ${ displaystyle b}$ má alespoň dva odlišné hlavní faktory.

Automorfní čísla v základně ${ displaystyle b}$

Všechno ${ displaystyle b}$-adická čísla jsou reprezentována v základu ${ displaystyle b}$, pomocí A-Z reprezentovat číselné hodnoty 10 až 35.

${ displaystyle b}$	Hlavní faktory ${ displaystyle b}$	Pevné body v ${ displaystyle mathbb {Z} / b mathbb {Z}}$ z ${ displaystyle f (x) = x ^ {2}}$	${ displaystyle b}$-adické pevné body ${ displaystyle f (x) = x ^ {2}}$	Automorfní čísla v základně ${ displaystyle b}$
6	2, 3	0, 1, 3, 4	${ displaystyle ldots 0000000000}$ ${ displaystyle ldots 0000000001}$ ${ displaystyle ldots 2221350213}$ ${ displaystyle ldots 3334205344}$	0, 1, 3, 4, 13, 44, 213, 344, 5344, 50213, 205344, 350213, 1350213, 4205344, 21350213, 34205344, 221350213, 334205344, 2221350213, 3334205344, ...
10	2, 5	0, 1, 5, 6	${ displaystyle ldots 0000000000}$ ${ displaystyle ldots 0000000001}$ ${ displaystyle ldots 8212890625}$ ${ displaystyle ldots 1787109376}$	0, 1, 5, 6, 25, 76, 376, 625, 9376, 90625, 109376, 890625, 2890625, 7109376, 12890625, 87109376, 212890625, 787109376, 1787109376, 8212890625, ...
12	2, 3	0, 1, 4, 9	${ displaystyle ldots 0000000000}$ ${ displaystyle ldots 0000000001}$ ${ displaystyle ldots 21 { text {B}} 61 { text {B}} 3854}$ ${ displaystyle ldots 9 { text {A}} 05 { text {A}} 08369}$	0, 1, 4, 9, 54, 69, 369, 854, 3854, 8369, B3854, 1B3854, A08369, 5A08369, 61B3854, B61B3854, 1B61B3854, A05A08369, 21B61B3854, 9A05A08369, ...
14	2, 7	0, 1, 7, 8	${ displaystyle ldots 0000000000}$ ${ displaystyle ldots 0000000001}$ ${ displaystyle ldots 7337 { text {A}} { text {A}} 0 { text {C}} 37}$ ${ displaystyle ldots 6 { text {A}} { text {A}} 633 { text {D}} 1 { text {A}} 8}$	0, 1, 7, 8, 37, A8, 1A8, C37, D1A8, 3D1A8, A0C37, 33D1A8, AA0C37, 633D1A8, 7AA0C37, 37AA0C37, A633D1A8, 337AA0C37, AA633D1A8, 6AA633D7A8, 6AA633D1A
15	3, 5	0, 1, 6, 10	${ displaystyle ldots 0000000000}$ ${ displaystyle ldots 0000000001}$ ${ displaystyle ldots 624 { text {D}} 4 { text {B}} { text {D}} { text {A}} 86}$ ${ displaystyle ldots 8 { text {C}} { text {A}} 1 { text {A}} 3146 { text {A}}}$	0, 1, 6, A, 6A, 86, 46A, A86, 146A, DA86, 3146A, BDA86, 4BDA86, A3146A, 1A3146A, D4BDA86, 4D4BDA86, A1A3146A, 24D4BDA86, CA1A3146A, 624D4BDA86, 8CA1A3 ...
18	2, 3	0, 1, 9, 10	...000000 ...000001 ... 4E1249 ... D3GFDA
20	2, 5	0, 1, 5, 16	...000000 ...000001 ... 1AB6B5 ... I98D8G
21	3, 7	0, 1, 7, 15	...000000 ...000001 ... 86H7G7 ... CE3D4F
22	2, 11	0, 1, 11, 12	...000000 ...000001 ... 8D185B ... D8KDGC
24	2, 3	0, 1, 9, 16	...000000 ...000001 ... E4D0L9 ... 9JAN2G
26	2, 13	0, 1, 13, 14	...0000 ...0001 ... 1G6D ... O9JE
28	2, 7	0, 1, 8, 21	...0000 ...0001 ... AAQ8 ... HH1L
30	2, 3, 5	0, 1, 6, 10, 15, 16, 21, 25	...0000 ...0001 ... B2J6 ... H13A ... 1Q7F ... S3MG ... CSQL ... IRAP
33	3, 11	0, 1, 12, 22	...0000 ...0001 ... 1KPM ... VC7C
34	2, 17	0, 1, 17, 18	...0000 ...0001 ... 248 hodin ... VTPI
35	5, 7	0, 1, 15, 21	...0000 ...0001 ... 5MXL ... TC1F
36	2, 3	0, 1, 9, 28	...0000 ...0001 ... DN29 ... MCXS

Rozšíření

Automorfní čísla lze rozšířit na jakoukoli takovou polynomiální funkci stupně ${ displaystyle n}$ ${ displaystyle f (x) = součet _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} x ^ {i}}$ s koeficienty b-adic ${ displaystyle a_ {i}}$. Tato zobecněná automatická čísla tvoří a strom.

${ displaystyle a}$-automorfní čísla

An ${ displaystyle a}$-automorfní číslo nastane, když je funkce polynomu ${ displaystyle f (x) = sekera ^ {2}}$

Například s ${ displaystyle b = 10}$ a ${ displaystyle a = 2}$, protože existují dva pevné body pro ${ displaystyle f (x) = 2x ^ {2}}$ v ${ displaystyle mathbb {Z} / 10 mathbb {Z}}$ (${ displaystyle x = 0}$ a ${ displaystyle x = 8}$), podle Henselův lemma existují dva pevné body 10 adic pro ${ displaystyle f (x) = 2x ^ {2}}$,

${ displaystyle ldots 0000000000}$

${ displaystyle ldots 0893554688}$

takže 2-automorfní čísla v základna 10 jsou 0, 8, 88, 688, 4688 ...

Trimorfní čísla

A trimorfní číslo nebo sférické číslo nastane, když je funkce polynomu ${ displaystyle f (x) = x ^ {3}}$ .^[1] Všechna automatická čísla jsou trimorfní. Podmínky oběžník a sférický dříve byly použity pro mírně odlišný případ čísla, jehož síly mají všechny stejnou poslední číslici jako samotné číslo.^[2]

Pro základnu ${ displaystyle b = 10}$, trimorfní čísla jsou:

0, 1, 4, 5, 6, 9, 24, 25, 49, 51, 75, 76, 99, 125, 249, 251, 375, 376, 499, 501, 624, 625, 749, 751, 875, 999, 1249, 3751, 4375, 4999, 5001, 5625, 6249, 8751, 9375, 9376, 9999, ... (sekvence A033819 v OEIS )

Pro základnu ${ displaystyle b = 12}$, trimorfní čísla jsou:

0, 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, B, 15, 47, 53, 54, 5B, 61, 68, 69, 75, A7, B3, BB, 115, 253, 368, 369, 4A7, 5BB, 601, 715, 853, 854, 969, AA7, BBB, 14A7, 2369, 3853, 3854, 4715, 5BBB, 6001, 74A7, 8368, 8369, 9853, A715, BBBB, ...

Příklad programování

def hensels_lemma(polynomial_function, základna: int, Napájení: int):    "" "Henselovo lemma." ""    -li Napájení == 0:        vrátit se [0]    -li Napájení > 0:        kořeny = hensels_lemma(polynomial_function, základna, Napájení - 1)    new_roots = []    pro vykořenit v kořeny:        pro i v rozsah(0, základna):            new_i = i * základna ** (Napájení - 1) + vykořenit            new_root = polynomial_function(new_i) % prášek(základna, Napájení)            -li new_root == 0:                new_roots.připojit(new_i)    vrátit se new_rootszákladna = 10číslice = 10def automorphic_polynomial(X):    vrátit se X ** 2 - Xpro i v rozsah(1, číslice + 1):    tisk(hensels_lemma(automorphic_polynomial, základna, i))

Viz také

• Aritmetická dynamika
• Číslo Kaprekar
• P-adické číslo
• P-adická analýza
• Nulový dělitel

Reference

• příklady 1-automorfních čísel na PlanetMath.

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Automorfní číslo“. MathWorld.
• Weisstein, Eric W. „Trimorfní číslo“. MathWorld.