Wieferichův pár - Wieferich pair
v matematika, a Wieferichův pár je pár prvočísla p a q které uspokojí
- pq − 1 ≡ 1 (mod q2) a qp − 1 ≡ 1 (mod p2)
Wieferichovy páry jsou pojmenovány po Němec matematik Arthur Wieferich Páry Wieferich hrají důležitou roli v Preda Mihăilescu důkaz z roku 2002[1] z Mihăilescuova věta (dříve známý jako katalánský dohad).[2]
Známé páry Wieferich
Je známo pouze 7 párů Wieferich:[3][4]
- (2, 1093), (3, 1006003), (5, 1645333507), (5, 188748146801), (83, 4871), (911, 318917) a (2903, 18787). (sekvence OEIS: A124121 a OEIS: A124122 v OEIS )
Wieferich trojnásobný
A Wieferich trojnásobný je trojnásobek prvočísla p, q a r které uspokojí
- pq − 1 ≡ 1 (mod q2), qr − 1 ≡ 1 (mod r2), a rp − 1 ≡ 1 (mod p2).
Existuje 17 známých Wieferichových trojic:
- (2, 1093, 5), (2, 3511, 73), (3, 11, 71), (3, 1006003, 3188089), (5, 20771, 18043), (5, 20771, 950507), (5 , 53471161, 193), (5, 6692367337, 1601), (5, 6692367337, 1699), (5, 188748146801, 8807), (13, 863, 23), (17, 478225523351, 2311), (41, 138200401 , 2953), (83, 13691, 821), (199, 1843757, 2251), (431, 2393, 54787) a (1657, 2281, 1667). (sekvence OEIS: A253683, OEIS: A253684 a OEIS: A253685 v OEIS )
Barkerova sekvence
Barkerova sekvence nebo Wieferich n-tuple je zobecněním Wieferichova páru a Wieferichova trojnásobku. Jsou to prvočísla (p1, p2, p3, ..., pn) takové, že
- p1p2 − 1 ≡ 1 (mod p22), p2p3 − 1 ≡ 1 (mod p32), p3p4 − 1 ≡ 1 (mod p42), ..., pn−1pn − 1 ≡ 1 (mod pn2), pnp1 − 1 ≡ 1 (mod p12).[5]
Například (3, 11, 71, 331, 359) je Barkerova sekvence nebo Wieferichova n-tice; (5, 188748146801, 453029, 53, 97, 76704103313, 4794006457, 12197, 3049, 41) je Barkerova sekvence nebo desátá n-tice Wieferich.
Pro nejmenší Wieferich n-tuple, viz OEIS: A271100, pro objednanou sadu všech n-tic Wieferich, viz OEIS: A317721.
Wieferichova sekvence
Wieferichova sekvence je speciální typ Barkerovy sekvence. Každé celé číslo k> 1 má vlastní Wieferichovu sekvenci. Vytvořit Wieferichovu sekvenci z celého čísla k> 1, začněte s (1) =k, a (n) = nejmenší prvočíslo p takový, že (n-1)p-1 = 1 (mod p) ale (n-1) ≠ 1 nebo -1 (mod p). Je to domněnka, že každé celé číslo k> 1 má periodickou Wieferichovu sekvenci. Například Wieferichova sekvence 2:
- 2, 1093, 5, 20771, 18043, 5, 20771, 18043, 5, ..., získá se cyklus: {5, 20771, 18043}. (trojnásobek Wieferich)
Wieferichova sekvence 83:
- 83, 4871, 83, 4871, 83, 4871, 83, ..., dostane cyklus: {83, 4871}. (pár Wieferich)
Wieferichova sekvence 59: (tato sekvence potřebuje více termínů, aby byla periodická)
- 59, 2777, 133287067, 13, 863, 7, 5, 20771, 18043, 5, ... také dostane 5.
Existuje však mnoho hodnot a (1) s neznámým stavem. Například Wieferichova sekvence 3:
- 3, 11, 71, 47,? (V základně 47 nejsou známa žádná Wieferichova prvočísla.)
Wieferichova sekvence 14:
- 14, 29,? (V základně 29 nejsou známa žádná Wieferichova prvočísla kromě 2, ale 22 = 4 dělení 29 - 1 = 28)
Wieferichova sekvence 39:
- 39, 8039, 617, 101, 1050139, 29,? (Získá také 29)
Není známo, že hodnoty pro k existují takové, že Wieferichova sekvence k nestává se periodickým. Nakonec není známo, že hodnoty pro k existují takové, že Wieferichova sekvence k je konečný.
Když(n - 1)=k, a (n) bude (začněte s k = 2): 1093, 11, 1093, 20771, 66161, 5, 1093, 11, 487, 71, 2693, 863, 29, 29131, 1093, 46021, 5, 7, 281,?, 13, 13, 25633, 20771, 71, 11, 19,?, 7, 7, 5, 233, 46145917691, 1613, 66161, 77867, 17, 8039, 11, 29, 23, 5, 229, 1283, 829,?, 257, 491531, ?, ... (Pro k = 21, 29, 47, 50, i další hodnota není známa)
Viz také
Reference
- ^ Preda Mihăilescu (2004). „Primární cyklomatomické jednotky a důkaz katalánské domněnky“. J. Reine Angew. Matematika. 2004 (572): 167–195. doi:10.1515 / crll.2004.048. PAN 2076124.
- ^ Jeanine Daems Cyklotomický důkaz katalánské domněnky.
- ^ Weisstein, Eric W. „Double Wieferich Prime Pair“. MathWorld.
- ^ OEIS: A124121, Například v současné době existují dva známé dvojité primární páry Wieferich (p, q) s q = 5: (1645333507, 5) a (188748146801, 5).
- ^ Seznam všech známých Barkerových sekvencí
Další čtení
- Bilu, Yuri F. (2004). „Katalánská domněnka (po Mihăilescuovi)“. Astérisque. 294: vii, 1–26. Zbl 1094.11014.
- Ernvall, Reijo; Metsänkylä, Tauno (1997). "Na p- dělitelnost Fermatových kvocientů ". Matematika. Comp. 66 (219): 1353–1365. doi:10.1090 / S0025-5718-97-00843-0. PAN 1408373. Zbl 0903.11002.
- Steiner, Ray (1998). „Hranice počtu tříd a katalánská rovnice“. Matematika. Comp. 67 (223): 1317–1322. doi:10.1090 / S0025-5718-98-00966-1. PAN 1468945. Zbl 0897.11009.