Harshadovo číslo - Harshad number

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Číslo Harshad"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Července 2019) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, a tvrdé číslo (nebo Niven číslo) v dané číselná základna je celé číslo to je dělitelné součet jeho číslic když je napsán v této základně. Harshadova čísla v základně n jsou také známé jako n-šaršád (nebo n-Niven) čísla. Čísla haršádu byla definována pomocí D. R. Kaprekar, a matematik z Indie. Slovo „drsný“ pochází z Sanskrt harṣa (radost) + da (dát), což znamená dárce radosti. Pojem „Niven number“ vznikl z papíru doručeného společností Ivan M. Niven na konferenci dne teorie čísel v roce 1977. Všechna celá čísla mezi nula a n jsou n- čísla Sharshad.

Definice

Vyjádřeno matematicky, pojďme X být kladné celé číslo s m číslice při zápisu do základny na nechte číslice být ${ displaystyle a_ {i}}$ (${ displaystyle i = 0,1, cdots, m-1}$). (Z toho vyplývá, že ${ displaystyle a_ {i}}$ musí být buď nula, nebo kladné celé číslo až ${ displaystyle n-1}$.) X lze vyjádřit jako

${ displaystyle X = sum _ {i = 0} ^ {m-1} a_ {i} n ^ {i}.}$

X je drsné číslo v základně n li:

${ displaystyle X equiv 0 { bmod { sum _ {i = 0} ^ {m-1} a_ {i}}}.}$

Číslo, které je drsným číslem v každé číselné základně, se nazývá všestranné číslo, nebo číslo celé Niven. Existují pouze čtyři all-harshad čísla: 1, 2, 4, a 6 (Číslo 12 je tvrdé číslo ve všech základnách kromě osmičkový ).

Příklady

• Číslo 18 je drsné číslo v základně 10, protože součet číslic 1 a 8 je 9 (1 + 8 = 9) a 18 je dělitelný do 9.
• The Hardy – Ramanujan číslo (1729) je drsné číslo v základně 10, protože je dělitelné 19, součet jeho číslic (1729 = 19 × 91).
• Číslo 19 není drsné číslo v základně 10, protože součet číslic 1 a 9 je 10 (1 + 9 = 10) a 19 není dělitelné 10.
• Harshadova čísla v základna 10 tvoří sekvenci:

  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, 132, 133, 135, 140, 144, 150, 152, 153, 156, 162, 171, 180, 190, 192, 195, 198, 200, ... (sekvence A005349 v OEIS ).

Vlastnosti

Vzhledem k test dělitelnosti pro 9, dalo by se zkusit zobecnit, že všechna čísla dělitelná 9 jsou také drsná čísla. Ale za účelem stanovení drsnosti n, číslice n lze sčítat pouze jednou a n musí být dělitelný touto částkou; jinak to není drsné číslo. Například, 99 není drsné číslo, protože 9 + 9 = 18 a 99 není dělitelné 18.

Základní číslo (a dále jeho pravomoci) bude vždy drsné číslo ve své vlastní základně, protože bude reprezentováno jako „10“ a 1 + 0 = 1.

Všechna čísla, jejichž základna b číslicový součet rozděluje b−1 jsou drsná čísla v základu b.

Pro prvočíslo aby bylo také drsným číslem, musí být menší nebo rovno základnímu číslu, jinak se číslice prvočísla sečtou k číslu, které je větší než 1, ale menší než prvočíslo, a nebude dělitelné. Například: 11 není v základu 10 drsný, protože součet jeho číslic „11“ je 1 + 1 = 2 a 11 není dělitelný 2; zatímco v základna 12 číslo 11 může být reprezentováno jako „Ɛ“, jehož součet číslic je také Ɛ. Jelikož Ɛ je dělitelný sám o sobě, je v základně 12 drsný.

Ačkoli posloupnost faktoriály začíná drsnými čísly v základně 10, ne všechny faktoriály jsou drsnými čísly. 432! je první, který není. (432! Má číselný součet = 3897 = 3²× 433 v základně 10, tedy nerozdělující 432!)

Nejmenší k takhle ${ displaystyle k cdot n}$ je drsné číslo

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 10, 1, 9, 3, 2, 3, 6, 1, 6, 1, 1, 5, 9, 1, 2, 6, 1, 3, 9, 1, 12, 6, 4, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 1, 10, 1, 12, 3, 1, 5, 9, 1, 8, 1, 2, 3, 18, 1, 2, 2, 2, 9, 9, 1, 12, 6, 1, 3, 3, 2, 3, 3, 3, 1, 18, 1, 7, 3, 2, 2, 4, 2, 9, 1, ... (sekvence A144261 v OEIS ).

Nejmenší k takhle ${ displaystyle k cdot n}$ není drsné číslo

11, 7, 5, 4, 3, 11, 2, 2, 11, 13, 1, 8, 1, 1, 1, 1, 1, 161, 1, 8, 5, 1, 1, 4, 1, 1, 7, 1, 1, 13, 1, 1, 1, 1, 1, 83, 1, 1, 1, 4, 1, 4, 1, 1, 11, 1, 1, 2, 1, 5, 1, 1, 1, 537, 1, 1, 1, 1, 1, 83, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 68, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, ... (sekvence A144262 v OEIS ).

Jiné základy

Tvrdá čísla v základna 12 jsou:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ᘔ, Ɛ, 10, 1 ᘔ, 20, 29, 30, 38, 40, 47, 50, 56, 60, 65, 70, 74, 80, 83, 90, 92, ᘔ 0, ᘔ 1, Ɛ0, 100, 10 ᘔ, 110, 115, 119, 120, 122, 128, 130, 134, 137, 146, 150, 153, 155, 164, 172, 173, 182, 191, 1 ᘔ 0, 1Ɛ0, 1Ɛᘔ, 200, ...

kde ᘔ představuje deset a Ɛ představuje jedenáct.

Nejmenší k takhle ${ displaystyle k cdot n}$ je číslo základny-12 harshad (napsáno v základně 10):

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 12, 6, 4, 3, 10, 2, 11, 3, 4, 1, 7, 1, 12, 6, 4, 3, 11, 2, 11, 3, 1, 5, 9, 1, 12, 11, 4, 3, 11, 2, 11, 1, 4, 4, 11, 1, 16, 6, 4, 3, 11, 2, 1, 3, 11, 11, 11, 1, 12, 11, 5, 7, 9, 1, 7, 3, 3, 9, 11, 1, ...

Nejmenší k takhle ${ displaystyle k cdot n}$ není číslo základny-12 harshad (napsáno v základně 10):

13, 7, 5, 4, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 13, 16, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 157, 1, 8, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 13, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 157, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 1885, 1, 1, 1, 1, 1, 3, ...

Podobně jako u základny 10, ne všechny faktoriály jsou drsná čísla v základně 12. Po 7! (= 5040 = 2Ɛ00 v základu 12, s číslicovým součtem 13 v základu 12 a 13 nerozděluje 7!), 1276! je další, který není. (1276! Má číselný součet = 14201 = 11 × 1291 v základu 12, tedy nerozděluje 1276!)

Postupná tvrdá čísla

Maximální počet po sobě jdoucích tvrdých čísel

Cooper a Kennedy v roce 1993 dokázali, že žádná 21 po sobě jdoucí celá čísla nejsou všechna drsná čísla v základně 10.^[1][2] Také zkonstruovali nekonečně mnoho 20 n-tic po sobě jdoucích celých čísel, což jsou všechna 10-tvrdá čísla, z nichž nejmenší přesahuje 10^44363342786.

H. G. Grundman  (1994 ) rozšířil výsledek Cooper a Kennedy, aby ukázal, že existují 2b ale ne 2b + 1 po sobě b- čísla Sharshad.^[2][3] Tento výsledek byl posílen, aby ukázal, že existuje nekonečně mnoho běhů 2b po sobě b- čísla Sharshad pro b = 2 nebo 3 o T. Cai  (1996 )^[2] a libovolně b podle Brad Wilson v roce 1997.^[4]

v binární, existuje tedy nekonečně mnoho běhů čtyř po sobě jdoucích tvrdých čísel a v trojice nekonečně mnoho běhů šesti.

Obecně takové maximální sekvence běží od N·b^k − b na N·b^k + (b - 1), kde b je základna, k je relativně velká síla a N vzhledem k jedné takto vhodně zvolené sekvenci ji můžeme převést na větší následujícím způsobem:

• Vkládání nul do N nezmění posloupnost digitálních součtů (stejně jako 21, 201 a 2001 je všech 10 drsných čísel).
• Pokud vložíme n nuly za první číslicí, α (hodnota αbⁱ), zvyšujeme hodnotu N podle αbⁱ(bⁿ − 1).
• Pokud to můžeme zajistit bⁿ - 1 je dělitelný všemi číslicovými součty v pořadí, pak je dělitelnost těmito součty zachována.
• Pokud je naše počáteční posloupnost zvolena tak, aby číselné součty byly coprime na b, můžeme vyřešit bⁿ = 1 modulo všechny tyto součty.
• Pokud tomu tak není, ale část každé číslicové částky není coprime b rozděluje αbⁱ, pak je dělitelnost stále zachována.
• (Nedokázaný) Počáteční sekvence je tak vybrána.

Naše počáteční posloupnost tedy poskytuje nekonečnou sadu řešení.

První běhy přesně n po sobě jdoucích 10 tvrdých čísel

Nejmenší přírodní startovní běhy přesně n po sobě jdoucí 10 tvrdá čísla (tj. nejmenší X takhle ${ displaystyle x, x + 1, cdots, x + n-1}$ jsou drsná čísla, ale ${ displaystyle x-1}$ a ${ displaystyle x + n}$ nejsou) jsou následující (sekvence A060159 v OEIS ):

V předchozí části žádné takové X existuje pro ${ displaystyle n> 20}$.

Odhad hustoty tvrdých čísel

Pokud to necháme ${ displaystyle N (X)}$ označte počet tvrdých čísel ${ displaystyle leq x}$, pak pro všechny dané ${ displaystyle epsilon> 0}$,

${ displaystyle x ^ {1- varepsilon} ll N (x) ll { frac {x log log x} { log x}}}$

jak ukazuje Jean-Marie De Koninck a Nicolas Doyon;^[5] dále De Koninck, Doyon a Kátai^[6] dokázal to

${ displaystyle N (x) = (c + o (1)) { frac {x} { log x}},}$

kde ${ displaystyle c = (14/27) log 10 přibližně 1,1939}$ a ${ displaystyle o (1)}$ termínová použití malý o zápis.

Nivenmorphic čísla

A Nivenmorphic číslo nebo ostré morfologické číslo pro danou číselnou základnu je celé číslo t taková, že existuje nějaké tvrdé číslo N jehož součet číslic je t, a t, napsaný v této základně, končí N napsáno ve stejné základně.

Například 18 je Nivenmorphic číslo pro základ 10:

 16218 je drsné číslo 16218 má 18, protože číslicový součet 18 končí 16218

Sandro Boscaro určil, že pro základnu 10 jsou všechna kladná celá čísla kromě Nivenmorphic čísel 11.^[7] Ve skutečnosti pro sudé celé číslo n > 1, všechna kladná celá čísla kromě n+1 jsou Nivenmorphic čísla pro základnu n, a pro liché celé číslo n > 1, všechna kladná celá čísla jsou nivenmorfní čísla pro základnu n. např. Nivenmorphic čísla v základna 12 jsou OEIS: A011760 (všechna kladná celá čísla kromě 13).

Nejmenší číslo se základním 10místným součtem n a končí n v základu 10 jsou: (0, pokud takové číslo neexistuje)

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 910, 0, 912, 11713, 6314, 915, 3616, 15317, 918, 17119, 9920, 18921, 9922, 82823, 19824, 9925, 46826, 18927, 18928, 78329, 99930, 585931, 388832, 1098933, 198934, 289835, 99936, 99937, 478838, 198939, 1999840, 2988941, 2979942, 2979943, 999944, 999945, 4698946, 4779947, 2998848, 2998849, 9999 ... (sekvence A187924 v OEIS )

Několik drsných čísel

Bloem (2005) definuje a několikanásobné tvrdé číslo jako tvrdé číslo, které po vydělení součtem číslic vytvoří další tvrdé číslo.^[8] Uvádí, že 6804 je „MHN-4“ z toho důvodu

${ displaystyle { begin {zarovnáno} 6804/18 & = 378 378/18 & = 21 21/3 & = 7 7/7 & = 1 end {zarovnáno}}}$

(od té doby to není MHN-5 ${ displaystyle 1/1 = 1}$, ale 1 není „jiné“ tvrdé číslo)

a pokračoval ukázat, že 2016502858579884466176 je MHN-12. Číslo 10080000000000 = 1008 · 10¹⁰, který je menší, je také MHN-12. Obecně 1008 · 10ⁿ je MHN- (n+2).

Reference

externí odkazy

Weisstein, Eric W. „Harshadovo číslo“. MathWorld.