Størmerovo číslo - Størmer number - Wikipedia

V matematice, a Størmerovo číslo nebo obloukové kotangensové neredukovatelné číslo, pojmenoval podle Carl Størmer, je kladné celé číslo n pro které je největším hlavním faktorem n² +1 je větší nebo rovno 2n.

Sekvence

Prvních několik čísel Størmer je:

1, 2, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 19, 20, ... (sekvence A005528 v OEIS ).

Hustota

John Todd dokázal, že tato sekvence není ani jedna konečný ani cofinite.^[1]

Nevyřešený problém v matematice:

Jaká je přirozená hustota Størmerových čísel?

(více nevyřešených úloh z matematiky)

Přesněji řečeno přirozená hustota Størmerových čísel leží mezi 0,5324 a 0,905. Předpokládalo se, že jejich přirozená hustota je přirozený logaritmus 2, přibližně 0,693, ale toto zůstává neprokázané.^[2]Protože Størmerova čísla mají kladnou hustotu, tvoří Størmerova čísla a velká sada.

Omezení

Číslo formuláře 2x² pro x> 1 nemůže být Størmerovo číslo. Důvodem je (2x²)²+1 = 4x⁴+1 = (2x²-2x + 1) (2x²+ 2x + 1).

aplikace

Čísla Størmera vznikají v souvislosti s problémem reprezentace Gregorova čísla (arktangenty z racionální čísla ) ${ displaystyle G_ {a / b} = arctan { frac {b} {a}}}$ jako součty Gregorových čísel pro celá čísla (arktangenty z jednotkové zlomky ). Gregoryho číslo ${ displaystyle G_ {a / b}}$ mohou být rozloženy opakovaným vynásobením Gaussovo celé číslo ${ displaystyle a + bi}$ podle čísel formuláře ${ displaystyle n pm i}$ , aby se zrušily hlavní faktory p z imaginární části; tady ${ displaystyle n}$ je vybráno jako Størmerovo číslo ${ displaystyle n ^ {2} +1}$ je dělitelné ${ displaystyle p}$ .^[3]

Reference

^ Todd, John (1949), "Problém na obloukových tangenciálních vztazích", Americký matematický měsíčník, 56: 517–528, doi:10.2307/2305526, PAN 0031496.
^ Everest, Graham; Harman, Glyn (2008), „O primitivních dělitelích ${ displaystyle n ^ {2} + b}$ ", Teorie čísel a polynomy, London Math. Soc. Přednáška Ser., 352, Cambridge Univ. Press, Cambridge, str. 142–154, arXiv:matematika / 0701234, doi:10.1017 / CBO9780511721274.011, PAN 2428520. Viz zejména Věta 1.4 a Domněnka 1.5.
^ Conway, John H.; Guy, R. K. (1996), Kniha čísel, New York: Copernicus Press, s. 245–248. Viz zejména str. 245, odst. 3.

[t-1] Todd, John (1949), "Problém na obloukových tangenciálních vztazích", Americký matematický měsíčník, 56: 517–528, doi:10.2307/2305526, PAN 0031496.

[eh-2] Everest, Graham; Harman, Glyn (2008), „O primitivních dělitelích ${ displaystyle n ^ {2} + b}$ ", Teorie čísel a polynomy, London Math. Soc. Přednáška Ser., 352, Cambridge Univ. Press, Cambridge, str. 142–154, arXiv:matematika / 0701234, doi:10.1017 / CBO9780511721274.011, PAN 2428520. Viz zejména Věta 1.4 a Domněnka 1.5.

[cg-3] Conway, John H.; Guy, R. K. (1996), Kniha čísel, New York: Copernicus Press, s. 245–248. Viz zejména str. 245, odst. 3.

[1]

[2]

[3]