Zlatý úhel - Golden angle

v geometrie, zlatý úhel je menší ze dvou úhly vytvořeno rozřezáním obvodu kruhu podle Zlatý řez; to znamená na dvě části oblouky tak, že poměr délky menšího oblouku k délce většího oblouku je stejný jako poměr délky většího oblouku k úplnému obvodu kružnice.
Algebraicky, pojďme a + b být obvod a kruh, rozdělené na delší oblouk délky A a menší oblouk délky b takhle
Zlatý úhel je pak úhel podřízený o menší oblouk délky b. Měří přibližně 137,5077640500378546463487 ... ° OEIS: A096627 nebo v radiány 2.39996322972865332 ... OEIS: A131988.
Jméno pochází ze spojení zlatého úhlu s Zlatý řez φ; přesná hodnota zlatého úhlu je
nebo
kde ekvivalence vyplývají ze známých algebraických vlastností zlatého řezu.
Derivace
Zlatý řez se rovná φ = A/b vzhledem k výše uvedeným podmínkám.
Nechat ƒ být zlomek obvodu vymezený zlatým úhlem nebo ekvivalentně zlatý úhel dělený úhlovým měřením kruhu.
Ale od
z toho vyplývá, že
To se rovná tomu, že se to říká φ 2 zlaté úhly se vejdou do kruhu.
Zlomek kruhu obsazený zlatým úhlem je tedy
Zlatý úhel G lze tedy numericky aproximovat v stupňů tak jako:
nebo v radiánech jako:
Zlatý úhel v přírodě

Zlatý úhel hraje významnou roli v teorii fylotaxis; například zlatý úhel je úhel oddělující kvítky na slunečnice.[1] Analýza vzoru ukazuje, že je vysoce citlivý na úhel oddělující jednotlivce primordia, přičemž úhel Fibonacci dává parastichy s optimální hustotou balení.[2]
Matematické modelování věrohodného fyzikálního mechanismu pro vývoj floretu ukázalo vzorec vznikající spontánně z řešení nelineární parciální diferenciální rovnice v rovině.[3][4]
Reference
- ^ Jennifer Chu (01.01.2011). „Tady přichází slunce“. Zprávy MIT. Citováno 2016-04-22.
- ^ Ridley, J.N. (Únor 1982). "Účinnost balení ve slunečnicových hlavách". Matematické biologické vědy. 58 (1): 129–139. doi:10.1016/0025-5564(82)90056-6.
- ^ Pennybacker, Matthew; Newell, Alan C. (2013-06-13). „Phyllotaxis, vtlačená čela tvořící vzor a optimální balení“ (PDF). Dopisy o fyzické kontrole. 110 (24): 248104. doi:10.1103 / PhysRevLett.110.248104. ISSN 0031-9007. PMID 25165965.
- ^ „Slunečnice a Fibonacci: Modely účinnosti“. To je matematika. 2014-06-05. Citováno 2020-05-23.
- Vogel, H (1979). "Lepší způsob konstrukce slunečnicové hlavy". Matematické biologické vědy. 44 (3–4): 179–189. doi:10.1016/0025-5564(79)90080-4.
- Prusinkiewicz, Przemysław; Lindenmayer, Aristid (1990). Algoritmická krása rostlin. Springer-Verlag. str.101–107. ISBN 978-0-387-97297-8.