Číslo umocněné na druhou - Square number
![]() | Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace.Únor 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
v matematika, a číslo umocněné na druhou nebo perfektní čtverec je celé číslo toto je náměstí celé číslo;[1] jinými slovy, je to produkt nějakého celého čísla sám se sebou. Například 9 je čtvercové číslo, protože může být zapsáno jako 3 × 3.
Obvyklá notace pro druhou mocninu čísla n není produkt n × n, ale ekvivalent umocňování n2, obvykle vyslovováno jako „n na druhou ". Jméno náměstí číslo pochází z názvu tvaru. Jednotka plocha je definována jako oblast a jednotkový čtverec (1 × 1). Proto čtverec s délkou strany n má plochu n2. Jinými slovy, pokud je čtvercové číslo představováno n body, body mohou být uspořádány do řádků jako čtverec, jehož každá strana má stejný počet bodů jako druhá odmocnina n; čtvercová čísla jsou tedy typem figurativních čísel (další příklady jsou čísla krychlí a trojúhelníková čísla ).
Čtvercová čísla jsou nezáporné. Další způsob, jak říci, že (nezáporné) celé číslo je druhé číslo, je jeho odmocnina je opět celé číslo. Například, √9 = 3, takže 9 je čtvercové číslo.
Kladné celé číslo, které nemá dokonalý čtverec dělitele kromě toho, že se volá 1 bez čtverce.
Pro nezáporné celé číslo n, nčíslo čtverce je n2, s 02 = 0 být nula jeden. Koncept čtverce lze rozšířit na některé další číselné systémy. Li Racionální čísla jsou zahrnuta, pak čtverec je poměr dvou čtvercových celých čísel a naopak poměr dvou celých čísel je čtverec, např. .
Počínaje 1, existují ⌊√m⌋ čtvercová čísla až do m, kde je výraz ⌊X⌋ představuje podlaha číslaX.
Příklady
Čtverce (sekvence A000290 v OEIS ) menší než 602 = 3600 jsou:
- 02 = 0
- 12 = 1
- 22 = 4
- 32 = 9
- 42 = 16
- 52 = 25
- 62 = 36
- 72 = 49
- 82 = 64
- 92 = 81
- 102 = 100
- 112 = 121
- 122 = 144
- 132 = 169
- 142 = 196
- 152 = 225
- 162 = 256
- 172 = 289
- 182 = 324
- 192 = 361
- 202 = 400
- 212 = 441
- 222 = 484
- 232 = 529
- 242 = 576
- 252 = 625
- 262 = 676
- 272 = 729
- 282 = 784
- 292 = 841
- 302 = 900
- 312 = 961
- 322 = 1024
- 332 = 1089
- 342 = 1156
- 352 = 1225
- 362 = 1296
- 372 = 1369
- 382 = 1444
- 392 = 1521
- 402 = 1600
- 412 = 1681
- 422 = 1764
- 432 = 1849
- 442 = 1936
- 452 = 2025
- 462 = 2116
- 472 = 2209
- 482 = 2304
- 492 = 2401
- 502 = 2500
- 512 = 2601
- 522 = 2704
- 532 = 2809
- 542 = 2916
- 552 = 3025
- 562 = 3136
- 572 = 3249
- 582 = 3364
- 592 = 3481
Rozdíl mezi jakýmkoli dokonalým čtvercem a jeho předchůdcem je dán identitou n2 − (n − 1)2 = 2n − 1. Ekvivalentně je možné počítat čtvercová čísla sečtením posledního čtverce, kořene posledního čtverce a aktuální odmocniny, tj. n2 = (n − 1)2 + (n − 1) + n.
Vlastnosti
Číslo m je čtvercové číslo právě tehdy, pokud je možné se domluvit m body ve čtverci:
m = 12 = 1 | ![]() |
m = 22 = 4 | ![]() |
m = 32 = 9 | ![]() |
m = 42 = 16 | ![]() |
m = 52 = 25 | ![]() |
Výraz pro nčíslo čtverce je n2. To se také rovná součtu prvního n lichá čísla jak je vidět na obrázcích výše, kde čtverec vyplývá z předchozího přidáním lichého počtu bodů (zobrazeno purpurově). Vzorec následuje:
Například, 52 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

Je jich několik rekurzivní metody výpočtu čtvercových čísel. Například nčíslo čtverce lze vypočítat z předchozího čtverce pomocí n2 = (n − 1)2 + (n - 1) + n = (n − 1)2 + (2n − 1). Případně nčíslo čtverce lze vypočítat z předchozích dvou zdvojnásobením (n − 1)th square, odečtením (n − 2)th square number, and adding 2, because n2 = 2(n − 1)2 − (n − 2)2 + 2. Například,
- 2 × 52 − 42 + 2 = 2 × 25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 62.
Jedno číslo menší než čtverec (m - 1) je vždy produktem √m - 1 a √m + 1 (např. 8 × 6 se rovná 48, zatímco 72 se rovná 49). 3 je tedy jediné prvočíslo menší než čtverec.
Čtvercové číslo je také součtem dvou po sobě jdoucích trojúhelníková čísla. Součet dvou po sobě jdoucích čtvercových čísel je a centrované čtvercové číslo. Každý lichý čtverec je také a vycentrované osmiboké číslo.
Další vlastností čtvercového čísla je, že (kromě 0) má lichý počet kladných dělitelů, zatímco jiná přirozená čísla mají sudé číslo pozitivních dělitelů. Celočíselný kořen je jediným dělitelem, který se spáruje sám se sebou a získá druhé číslo, zatímco ostatní dělitele přicházejí ve dvojicích.
Lagrangeova věta o čtyřech čtvercích uvádí, že jakékoli kladné celé číslo lze zapsat jako součet čtyř nebo méně dokonalých čtverců. Tři čtverce pro čísla formuláře nestačí 4k(8m + 7). Kladné celé číslo lze přesně vyjádřit jako součet dvou čtverců, pokud je Prvočíselný rozklad neobsahuje žádné zvláštní síly prvočísel formuláře 4k + 3. Toto zobecňuje Waringův problém.
v základna 10, čtvercové číslo může končit pouze číslicemi 0, 1, 4, 5, 6 nebo 9, a to následovně:
- pokud je poslední číslice čísla 0, její čtverec končí 0 (ve skutečnosti musí být poslední dvě číslice 00);
- pokud je poslední číslice čísla 1 nebo 9, její čtverec končí číslicí 1;
- pokud je poslední číslice čísla 2 nebo 8, její čtverec končí číslicí 4;
- pokud je poslední číslice čísla 3 nebo 7, její čtverec končí 9;
- pokud je poslední číslice čísla 4 nebo 6, její čtverec končí číslicí 6; a
- pokud je poslední číslice čísla 5, její čtverec končí 5 (ve skutečnosti musí být poslední dvě číslice 25).
v základna 12, čtvercové číslo může končit pouze čtvercovými číslicemi (jako v základně 12, a prvočíslo může končit pouze prvočísly nebo 1), tj. 0, 1, 4 nebo 9, následovně:
- pokud je číslo dělitelné 2 a 3 (tj. dělitelné 6), jeho čtverec končí 0;
- není-li číslo dělitelné ani 2 ani 3, jeho čtverec končí 1;
- pokud je číslo dělitelné 2, ale ne 3, jeho čtverec končí 4; a
- není-li číslo dělitelné 2, ale 3, jeho čtverec končí 9.
Podobná pravidla lze uvést pro jiné báze nebo pro dřívější číslice (například desítky místo číslic jednotek).[Citace je zapotřebí ] Všechna taková pravidla lze prokázat kontrolou pevného počtu případů a použitím modulární aritmetika.
Obecně platí, že pokud a primární p rozděluje čtvercové číslom pak čtverec p musí také rozdělit m; -li p nedokáže rozdělit m/p, pak m rozhodně není čtvercový. Opakováním rozdělení předchozí věty lze dospět k závěru, že každé prvočíslo musí daný dokonalý čtverec rozdělit sudým počtem opakování (včetně možná 0krát). Tedy číslo m je čtvercové číslo právě tehdy, když ve své kanonická reprezentace, všechny exponenty jsou sudé.
Jako alternativní způsob lze použít testování čtverců faktorizace velkých čísel. Místo testování dělitelnosti vyzkoušejte kvadratitu: pro danou m a nějaké číslok, pokud k2 − m je čtverec celého číslan pak k − n rozděluje m. (Toto je aplikace faktorizace a rozdíl dvou čtverců.) Například, 1002 − 9991 je čtverec 3, takže následně 100 − 3 dělí 9991. Tento test je deterministický pro liché dělitele v rozsahu od k − n na k + n kde k pokrývá určitý rozsah přirozených čísel k ≥ √m.
Čtvercové číslo nemůže být a perfektní číslo.
Součet n čísla prvního čtverce je
První hodnoty těchto součtů, čtvercová pyramidová čísla, jsou: (sekvence A000330 v OEIS )
0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201...
Součet prvních lichých celých čísel, počínaje jedním, je perfektní čtverec: 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 + 7 atd.
Součet n za prvé kostky je čtverec součtu n první kladná celá čísla; tohle je Nicomachova věta.
Všechny čtvrté, šesté, osmé a tak dále jsou dokonalé čtverce.
Lichá a sudá čtvercová čísla
Čtverečky sudých čísel jsou sudé (a ve skutečnosti dělitelné 4), protože (2n)2 = 4n2.
Čtverce lichých čísel jsou lichá, protože (2n + 1)2 = 4(n2 + n) + 1.
Z toho vyplývá, že odmocniny sudých čtverců jsou sudé a odmocniny lichých čtverců jsou liché.
Protože všechna sudá čtvercová čísla jsou dělitelná 4, sudá čísla ve formuláři 4n + 2 nejsou čtvercová čísla.
Protože všechna lichá čtvercová čísla mají tvar 4n + 1, lichá čísla formuláře 4n + 3 nejsou čtvercová čísla.
Čtverce lichých čísel mají tvar 8n + 1, od té doby (2n + 1)2 = 4n(n + 1) + 1 a n(n + 1) je sudé číslo.
Každý lichý dokonalý čtverec je a vycentrované osmiboké číslo. Rozdíl mezi libovolnými dvěma lichými dokonalými čtverci je násobkem 8. Rozdíl mezi 1 a jakýmkoli vyšším lichým dokonalým čtvercem je vždy osmkrát trojúhelníkové číslo, zatímco rozdíl mezi 9 a jakýmkoli vyšším lichým dokonalým čtvercem je osmkrát trojúhelníkové číslo minus osm. Protože všechna trojúhelníková čísla mají lichý faktor, ale žádné dvě hodnoty 2n se liší o částku obsahující lichý faktor, jediný dokonalý čtverec formuláře 2n − 1 je 1 a jediný dokonalý čtverec formuláře 2n + 1 je 9.
Speciální případy
- Pokud je číslo formuláře m5 kde m představuje předchozí číslice, její čtverec je n25 kde n = m(m + 1) a představuje číslice před 25. Například čtverec 65 lze vypočítat podle n = 6 × (6 + 1) = 42 což činí čtverec rovný 4225.
- Pokud je číslo formuláře m0 kde m představuje předchozí číslice, její čtverec je n00 kde n = m2. Například čtverec 70 je 4900.
- Pokud má číslo dvě číslice a je ve tvaru 5m kde m představuje číslici jednotek, její čtverec je aabb kde aa = 25 + m a bb = m2. Příklad: Pro výpočet čtverce 57, 25 + 7 = 32 a 72 = 49, což znamená 572 = 3249.
- Pokud číslo končí 5, jeho čtverec skončí 5; podobně pro konec na 25, 625, 0625, 90625, ... 8212890625 atd. Pokud číslo končí na 6, jeho čtverec skončí na 6, podobně jako na konec 76, 376, 9376, 09376, ... 1787109376. Například čtverec 55376 je 3066501376, oba končí na 376. (Jsou volána čísla 5, 6, 25, 76 atd.) automatická čísla. Jsou to sekvence A003226 v OEIS.[2])
Viz také
- Brahmagupta – Fibonacciho identita - Vyjádření součinu součtů čtverců jako součet čtverců
- Kubické číslo - Číslo zvýšeno na třetí mocninu
- Eulerova čtvercová identita - Produktem součtů čtyř čtverců je součet čtyř čtverců
- Fermatova věta o součtech dvou čtverců - Podmínka, za níž je liché prvočíslo součtem dvou čtverců
- Některé identity zahrnující několik čtverců
- Celočíselná odmocnina - Větší celé číslo, které je menší než druhá odmocnina
- Metody výpočtu druhé odmocniny - Algoritmy pro výpočet druhé odmocniny
- Síla dvou - Dva zvýšeni na celočíselnou mocninu
- Pytagorejský trojnásobek - Tři kladná celá čísla, jejichž druhou mocninu tvoří druhou mocninu třetí
- Kvadratický zbytek - Celé číslo, které je dokonalým čtvercovým modulem, celé číslo
- Kvadratická funkce - Polynomiální funkce stupně dva
- Čtvercové trojúhelníkové číslo - Celé číslo, které je dokonalým čtvercovým i trojúhelníkovým číslem
Poznámky
- ^ Někteří autoři také nazývají čtverce racionální čísla perfektní čtverce.
- ^ Sloane, N. J. A. (vyd.). "Pořadí A003226 (automatická čísla: n ^ 2 končí n.)". The On-line encyklopedie celočíselných sekvencí. Nadace OEIS.
Další čtení
- Conway, J. H. a Guy, R. K. Kniha čísel. New York: Springer-Verlag, str. 30–32, 1996. ISBN 0-387-97993-X
- Kiran Parulekar. Úžasné vlastnosti čtverců a jejich výpočty. Kiran Anil Parulekar, 2012 https://books.google.com/books?id=njEtt7rfexEC&source=gbs_navlinks_s