Divergence součtu převrácených hodnot prvočísel - Divergence of the sum of the reciprocals of the primes

Součet převrácených hodnot prvočísel roste bez omezení. Osa x je v měřítku protokolu, což ukazuje, že divergence je velmi pomalá. Červená funkce je dolní mez, která se také liší.

The součet reciproční ze všech prvočísla rozchází se; to je:

{ displaystyle sum _ {p { text {prime}}} { frac {1} {p}} = { frac {1} {2}} + { frac {1} {3}} + { frac {1} {5}} + { frac {1} {7}} + { frac {1} {11}} + { frac {1} {13}} + { frac {1} { 17}} + cdots = infty}

To prokázal Leonhard Euler v roce 1737,^[1] a posiluje (tj. poskytuje více informací než) Euklid Výsledek je ve 3. století př. n. l prvočísel je nekonečně mnoho.

Existuje celá řada důkazů o výsledku Eulera, včetně a dolní mez za částečné částky, které uvádějí, že

{ displaystyle sum _ { scriptstyle p { text {prime}} na vrcholu scriptstyle p leq n} { frac {1} {p}} geq log log (n + 1) - log { frac { pi ^ {2}} {6}}}

pro všechna přirozená čísla $n$ . Dvojitý přirozený logaritmus (log log) naznačuje, že divergence může být velmi pomalá, což je skutečně případ. Vidět Meissel – Mertensova konstanta.

Harmonická řada

Nejprve popíšeme, jak Euler původně objevil výsledek. Zvažoval harmonická řada

{ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n}} = 1 + { frac {1} {2}} + { frac {1} {3}} + { frac {1} {4}} + cdots = infty}

Už použil následující "vzorec produktu „ukázat existenci nekonečně mnoha prvočísel.

{ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n}} = prod _ {p} left (1 + { frac {1} {p}} + { frac {1} {p ^ {2}}} + cdots right) = prod _ {p} { frac {1} {1-p ^ {- 1}}}}

Zde je produkt převzat sadu všech prvočísel.

Takovým nekonečným produktům se dnes říká Produkty Euler. Výše uvedený produkt je odrazem základní teorém aritmetiky. Euler poznamenal, že pokud by existoval pouze konečný počet prvočísel, pak by se produkt napravo jasně sbíhal, což by odporovalo odlišnosti harmonické řady.

Důkazy

Eulerův důkaz

Euler zvážil výše uvedený vzorec produktu a pokračoval v posloupnosti odvážných logických skoků. Nejprve vzal přirozený logaritmus každé strany, poté použil expanzi Taylorovy řady $log X$ stejně jako součet konvergující řady:

{ displaystyle { begin {aligned} log left ( sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n}} right) & {} = log left ( prod _ {p} { frac {1} {1-p ^ {- 1}}} right) = - sum _ {p} log left (1 - { frac {1} {p}} right) [5pt] & = sum _ {p} left ({ frac {1} {p}} + { frac {1} {2p ^ {2}}} + { frac {1 } {3p ^ {3}}} + cdots right) [5pt] & = sum _ {p} { frac {1} {p}} + { frac {1} {2}} součet _ {p} { frac {1} {p ^ {2}}} + { frac {1} {3}} sum _ {p} { frac {1} {p ^ {3}}} + { frac {1} {4}} sum _ {p} { frac {1} {p ^ {4}}} + cdots [5pt] & = A + { frac {1} {2 }} B + { frac {1} {3}} C + { frac {1} {4}} D + cdots [5pt] & = A + K end {zarovnáno}}}

pro pevnou konstantu $K. < 1$ . Potom vyvolal vztah

{ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n}} = log infty,}

kterou vysvětlil, například v pozdějším díle z roku 1748,^[2] nastavením $X = 1$ v expanzi řady Taylor

{ displaystyle log left ({ frac {1} {1-x}} right) = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {x ^ {n}} {n} }.}

To mu umožnilo dojít k závěru

{ displaystyle A = { frac {1} {2}} + { frac {1} {3}} + { frac {1} {5}} + { frac {1} {7}} + { frac {1} {11}} + cdots = log log infty.}

Je téměř jisté, že Euler myslel, že součet převrácených hodnot prvočísel je menší než $n$ je asymptotický vůči $log log n$ tak jako $n$ blíží se nekonečnu. Ukázalo se, že tomu tak skutečně je, a přesnější verze této skutečnosti byla důsledně prokázána Franz Mertens v roce 1874.^[3] Euler tak sporným způsobem získal správný výsledek.

Erdőův důkaz horním a dolním odhadem

Následující důkaz rozporem je to kvůli Paul Erdős.

Nechat $p i$ označit $i$ th prvočíslo. Předpokládejme, že součet vzájemnosti prvočísel konverguje

Pak existuje nejmenší pozitivní celé číslo $k$ takhle

{ displaystyle sum _ {i = k + 1} ^ { infty} { frac {1} {p_ {i}}} <{ frac {1} {2}} qquad (1)}

Pro kladné celé číslo $X$ , nechť $M X$ označit soubor těchto $n$ v ${1, 2, \dots, X}$ které nejsou dělitelný jakýmkoli prvočíslem větším než $p k$ (nebo ekvivalentně všechny $n \leq X$ které jsou výsledkem pravomocí prvočísel $p i \leq p k$ ). Nyní odvodíme horní a dolní odhad pro $| M X |$ , počet prvků v $M X$ . Pro velké $X$ , tyto hranice se ukáží jako rozporuplné.

Horní odhad:

Každý

n

v

M X

lze psát jako

n = m 2 r

s kladnými celými čísly

m

a

r

, kde

r

je bez čtverce. Protože pouze

k

připraví

p 1, \dots, p k

se může zobrazit (s exponentem 1) v Prvočíselný rozklad z

r

, existuje nanejvýš

2 k

různé možnosti pro

r

. Kromě toho existují maximálně

\sqrt X

možné hodnoty pro

m

. To nám dává horní odhad

{ displaystyle | M_ {x} | leq 2 ^ {k} { sqrt {x}} qquad (2)}

Dolní odhad:

Zbývající

X - | M X |

čísla v nastavený rozdíl

{1, 2, …, X} \ MX

jsou všechny dělitelné prvočíslem větším než

p k

. Nechat

N i, X

označit soubor těchto

n

v

{1, 2, \dots, X}

které jsou dělitelné

i

th prime

p i

. Pak

{ displaystyle {1,2, ldots, x } smallsetminus M_ {x} = bigcup _ {i = k + 1} ^ { infty} N_ {i, x}}

Od počtu celých čísel v

N i, X

je nanejvýš

X / p i

(ve skutečnosti nula pro

p i > X

), dostaneme

{ displaystyle x- | M_ {x} | leq sum _ {i = k + 1} ^ { infty} | N_ {i, x} | < sum _ {i = k + 1} ^ { infty} { frac {x} {p_ {i}}}}

Z použití (1) to vyplývá

{ displaystyle { frac {x} {2}} <| M_ {x} | qquad (3)}

To vytváří rozpor: když $X \geq 2 2 k + 2$ , odhady (2) a (3) nemohou oba zůstat, protože $X / 2 \geq 2 k \sqrt X$ .

Důkaz, že série vykazuje růst log-log

Zde je další důkaz, který ve skutečnosti poskytuje nižší odhad částečných součtů; zejména ukazuje, že tyto částky rostou přinejmenším stejně rychle jako $log log n$ . Důkazem je Ivan Niven,^[4] přizpůsobeno myšlence na rozšíření produktu Euler. V následujícím textu převzatá částka nebo produkt $p$ vždy představuje součet nebo produkt převzatý zadanou sadou prvočísel.

Důkaz spočívá na následujících čtyřech nerovnostech:

Každé kladné celé číslo $i$ lze jednoznačně vyjádřit jako součin celého čísla bez čtverce a čtverce jako důsledek základní teorém aritmetiky. Začít s:

{ displaystyle i = q_ {1} ^ {2 { alpha} _ {1} + { beta} _ {1}} cdot q_ {2} ^ {2 { alpha} _ {2} + { beta} _ {2}} cdot ldots cdot q_ {r} ^ {2 { alpha} _ {r} + { beta} _ {r}},}

kde βs je 0 (odpovídající síla prvočísla $q$ je sudý) nebo 1 (odpovídající síla prvočísla $q$ je liché). Rozdělte jednu kopii všech prvočísel, jejichž β je 1, a ponechejte součin prvočísel na sudé síly, což je čtverec. Relabeling:

{ displaystyle i = (p_ {1} p_ {2} ldots p_ {s}) cdot b ^ {2},}

kde první faktor, produkt prvočísel první moci, je čtverec volný. Obrácení všech $i$ s dává nerovnost

{ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} { frac {1} {i}} leq left ( prod _ {p leq n} left (1 + { frac {1} {p}} right) right) cdot left ( sum _ {k = 1} ^ {n} { frac {1} {k ^ {2}}} right) = A cdot B. }

Toto si všimněte

{ displaystyle { frac {1} {i}} = { frac {1} {p_ {1} p_ {2} ldots p_ {s}}} cdot { frac {1} {b ^ {2 }}},}

kde

{ displaystyle { begin {aligned} left (1 + { frac {1} {p}} _ {1} right) left (1 + { frac {1} {p}} _ {2} right) ldots left (1 + { frac {1} {p}} _ {s} right) & = left ({ frac {1} {p}} _ {1} right) left ({ frac {1} {p}} _ {2} right) ldots left ({ frac {1} {p}} _ {s} right) + ldots & = { frac {1} {p_ {1} p_ {2} ldots p_ {s}}} + ldots. end {zarovnáno}}}

To znamená, ${ displaystyle 1 / (p_ {1} p_ {2} ldots p_ {s})}$ je jedním ze součtů v rozšířeném produktu $A$ . A od té doby ${ displaystyle 1 / b ^ {2}}$ je jedním ze součetů $B$ , každý $i$ je zastoupen v jednom z pojmů $AB$ při vynásobení. Následuje nerovnost.

Horní odhad pro přirozený logaritmus

{ displaystyle { begin {aligned} log (n + 1) & = int _ {1} ^ {n + 1} { frac {dx} {x}} & = sum _ {i = 1} ^ {n} underbrace { int _ {i} ^ {i + 1} { frac {dx} {x}}} _ {{} , <, { frac {1} {i} }} & < sum _ {i = 1} ^ {n} { frac {1} {i}} end {zarovnáno}}}

Spodní odhad $1 + X X)$ pro exponenciální funkce, který platí pro všechny $X > 0$ .
Nechat $n \geq 2$ . Horní mez (pomocí a teleskopická částka ) pro dílčí součty (konvergence je vše, co opravdu potřebujeme)

{ displaystyle { begin {aligned} sum _ {k = 1} ^ {n} { frac {1} {k ^ {2}}} & <1+ sum _ {k = 2} ^ {n } underbrace { left ({ frac {1} {k - { frac {1} {2}}}} - { frac {1} {k + { frac {1} {2}}}} vpravo)} _ {= , { frac {1} {k ^ {2} - { frac {1} {4}}}} ,> , { frac {1} {k ^ {2} }}} & = 1 + { frac {2} {3}} - { frac {1} {n + { frac {1} {2}}}} <{ frac {5} {3} } end {zarovnáno}}}

Kombinace všech těchto nerovností to vidíme

{ displaystyle { begin {aligned} log (n + 1) & < sum _ {i = 1} ^ {n} { frac {1} {i}} & leq prod _ {p leq n} left (1 + { frac {1} {p}} right) sum _ {k = 1} ^ {n} { frac {1} {k ^ {2}}} & <{ frac {5} {3}} prod _ {p leq n} exp left ({ frac {1} {p}} right) & = { frac {5} { 3}} exp left ( sum _ {p leq n} { frac {1} {p}} right) end {zarovnáno}}}

Dělení na 5/3 a přirozený logaritmus obou stran dává

{ displaystyle log log (n + 1) - log { frac {5} {3}} < sum _ {p leq n} { frac {1} {p}}}

podle přání.∎

Použitím

{ displaystyle sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1} {k ^ {2}}} = { frac { pi ^ {2}} {6}}}

(viz Basilejský problém ), výše uvedená konstanta $log 5 / 3 = 0.51082\dots$ lze vylepšit na $log π 2 / 6 = 0.4977\dots$ ; ve skutečnosti se to ukazuje

{ displaystyle lim _ {n to infty} left ( sum _ {p leq n} { frac {1} {p}} - log log n right) = M}

kde $M = 0.261497\dots$ je Meissel – Mertensova konstanta (poněkud analogický s mnohem slavnějším Euler – Mascheroniho konstanta ).

Důkaz o Dusartově nerovnosti

Z Dusartova nerovnost, dostaneme

{ displaystyle p_ {n}

Pak

{ displaystyle { begin {aligned} sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {p_ {n}}} & geq sum _ {n = 6} ^ { infty } { frac {1} {p_ {n}}} & geq sum _ {n = 6} ^ { infty} { frac {1} {n log n + n log log n }} & geq sum _ {n = 6} ^ { infty} { frac {1} {2n log n}} = infty end {zarovnáno}}}

podle integrální test konvergence. To ukazuje, že řada nalevo se rozchází.

Důkaz geometrické a harmonické řady

Předpokládejme v rozporu, že součet konvergoval. Pak existuje ${ displaystyle n}$ takhle ${ displaystyle sum _ {i geq n + 1} { frac {1} {p_ {i}}} <1}$ . Zavolejte tuto částku ${ displaystyle x}$ .

Nyní zvažte konvergentní geometrickou řadu ${ displaystyle x + x ^ {2} + x ^ {3} + cdots}$ .

Tato geometrická řada obsahuje součet převrácených čísel všech čísel, jejichž primární faktorizace obsahuje v sadě pouze prvočísla ${ displaystyle {p_ {n + 1}, p_ {n + 2}, cdots }}$ .

Zvažte subseries ${ displaystyle sum _ {i geq 1} { frac {1} {1 + i (p_ {1} p_ {2} cdots p_ {n})}}}$ . Toto je subseries, protože ${ displaystyle 1 + i (p_ {1} p_ {2} cdots p_ {n})}$ není dělitelný žádným ${ displaystyle p_ {j}, j leq n}$ .

Avšak tím, že Mezní srovnávací test, tato podskupina se rozchází porovnáním s harmonickou řadou. Vskutku, ${ displaystyle lim _ {i to infty} { frac {1 + i (p_ {1} p_ {2} cdots p_ {n})} {i}} = p_ {1} p_ {2} cdots p_ {n}}$ .

Našli jsme tedy divergentní subserie původní konvergentní řady, a protože jsou všechny termíny kladné, dává to rozpor. Můžeme to uzavřít ${ displaystyle sum _ {i geq 1} { frac {1} {p_ {i}}}}$ rozchází se. ${ displaystyle blacksquare}$

Částečné částky

Zatímco částečné částky převrácených čísel prvočísel nakonec překročí jakoukoli celočíselnou hodnotu, nikdy se nerovnají celému číslu.

Jeden důkaz^[5] je indukcí: První dílčí součet je 1/2, který má formu zvláštní/dokonce. Pokud $n$ dílčí částka (pro $n \geq 1$ ) má formu zvláštní/dokonce, pak $(n + 1)$ st součet je

{ displaystyle { frac { text {odd}} { text {sudý}}} + { frac {1} {p_ {n + 1}}} = { frac {{ text {odd}} cdot p_ {n + 1} + { text {even}}} {{ text {even}} cdot p_ {n + 1}}} = { frac {{ text {odd}} + { text {even}}} { text {even}}} = { frac { text {odd}} { text {even}}}}

jako $(n + 1)$ st prime $p n + 1$ je liché; protože tato částka má také zvláštní/dokonce ve formě, tento částečný součet nemůže být celé číslo (protože 2 dělí jmenovatele, ale ne čitatele) a indukce pokračuje.

Další důkaz přepíše výraz na součet prvního $n$ převrácené částky prvočísel (nebo skutečně součet převrácených čísel prvočísla) žádný sada prvočísel), pokud jde o nejmenší společný jmenovatel, který je produktem všech těchto prvočísel. Pak každá z těchto prvočísel rozdělí všechny pojmy čitatele kromě jednoho a tudíž nerozdělí samotného čitatele; ale každý připravuje dělá rozdělit jmenovatele. Výraz je tedy neredukovatelný a není celočíselný.

Viz také

Euklidova věta že existuje nekonečně mnoho prvočísel
Malá sada (kombinatorika)
Brunova věta, na konvergentním součtu převrácených čísel dvojčete
Seznam součtů vzájemných

Reference

^ Euler, Leonhard (1737). „Variae observeses circa series infinitas“ [Různá pozorování týkající se nekonečných řad]. Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae. 9: 160–188.
^ Euler, Leonhard (1748). Introductio in analysin infinitorum. Tomus Primus [Úvod do nekonečné analýzy. Svazek I]. Lausanne: Bousquet. str. 228, př. 1.
^ Mertens, F. (1874). „Ein Beitrag zur analytischer Zahlentheorie“. J. Reine Angew. Matematika. 78: 46–62.
^ Niven, Ivan, „Důkaz divergence Σ 1 / $p$ ", Americký matematický měsíčník, Sv. 78, č. 3 (březen 1971), str. 272-273. Půlstránkový důkaz rozšiřuje William Dunham Euler: Pán nás všech, str. 74-76.
^ Lord, Nick (2015). "Rychlé důkazy, že určité součty zlomků nejsou celá čísla". Matematický věstník. 99: 128–130. doi:10.1017 / mag.2014.16.

Zdroje

Dunham, William (1999). Euler Pán nás všech. MAA. str.61–79. ISBN 0-88385-328-0.

externí odkazy

Caldwell, Chris K. „Prvočísel je nekonečně mnoho, ale jak velké je nekonečno?“.

[1] Euler, Leonhard (1737). „Variae observeses circa series infinitas“ [Různá pozorování týkající se nekonečných řad]. Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae. 9: 160–188.

[2] Euler, Leonhard (1748). Introductio in analysin infinitorum. Tomus Primus [Úvod do nekonečné analýzy. Svazek I]. Lausanne: Bousquet. str. 228, př. 1.

[3] Mertens, F. (1874). „Ein Beitrag zur analytischer Zahlentheorie“. J. Reine Angew. Matematika. 78: 46–62.

[4] Niven, Ivan, „Důkaz divergence Σ 1 / $p$ ", Americký matematický měsíčník, Sv. 78, č. 3 (březen 1971), str. 272-273. Půlstránkový důkaz rozšiřuje William Dunham Euler: Pán nás všech, str. 74-76.

[5] Lord, Nick (2015). "Rychlé důkazy, že určité součty zlomků nejsou celá čísla". Matematický věstník. 99: 128–130. doi:10.1017 / mag.2014.16.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]