Na střed polygonální číslo - Centered polygonal number

The polygonální čísla na střed jsou třídou sérií figurativní čísla, každý tvořený středovou tečkou, obklopený polygonálními vrstvami se stálým počtem stran. Každá strana polygonální vrstvy obsahuje o jednu tečku více než strana v předchozí vrstvě, takže počínaje druhou polygonální vrstvou je každá vrstva vycentrována k-gonal number contains k více bodů než předchozí vrstva.

Příklady

Každý prvek v sekvenci je násobkem předchozího trojúhelníkového čísla plus 1. To lze formalizovat rovnicí${ displaystyle { frac {sekera (x + 1)} {2}} + 1}$ kde A je počet stran mnohoúhelníku a X je pořadové číslo, počínaje nulou pro počáteční 1. Například středová čtvercová čísla jsou čtyřnásobná oproti trojúhelníkovým číslům plus 1, nebo ekvivalentně ${ displaystyle { frac {4x (x + 1)} {2}} + 1}$.

Tyto řady se skládají z

• na střed trojúhelníková čísla 1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, 136, 166, 199, ... (OEIS: A005448)
• na střed čtvercová čísla 1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, ... (OEIS: A001844)
• soustředná pětiúhelníková čísla 1, 6, 16, 31, 51, 76, 106, 141, 181, 226, 276, 331, ... (OEIS: A005891)
• vycentrovaná šestihranná čísla 1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397, ... (OEIS: A003215), což je přesně rozdíl po sobě jdoucích kostek, tj. X³ − (X − 1)³
• vycentrovaná sedmiúhelníková čísla 1, 8, 22, 43, 71, 106, 148, 197, 253, 316, 386, 463, ... (OEIS: A069099)
• na střed osmiboká čísla 1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361, 441, 529, ... (OEIS: A016754), což jsou přesně ty zvláštní čtverce
• vycentrovaná neagonální čísla 1, 10, 28, 55, 91, 136, 190, 253, 325, 406, 496, 595, ... (OEIS: A060544), které zahrnují všechny sudé perfektní čísla kromě 6
• centrovaná desetiboká čísla 1, 11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 361, 451, 551, 661, ... (OEIS: A062786)
• na střed hendecagonal čísla 1, 12, 34, 67, 111, 166, 232, 309, 397, 496, 606, 727, ... (OEIS: A069125)
• vycentrovaná dodecagonal čísla 1, 13, 37, 73, 121, 181, 253, 337, 433, 541, 661, 793, ... (OEIS: A003154), které jsou také čísla hvězd

a tak dále.

Následující diagramy ukazují několik příkladů vystředěných polygonálních čísel a jejich geometrické konstrukce. Porovnejte tyto diagramy s diagramy v Polygonální číslo.

na střed trojúhelníkový číslo	na střed náměstí číslo	na střed pětiúhelníkový číslo	na střed šestihranný číslo

Na střed čtvercová čísla

1		5		13		25

Vycentrovaná šestihranná čísla

1		7		19		37

Vzorec

Jak je vidět na výše uvedených diagramech, nth na střed k-červené číslo lze získat umístěním k kopie (n−1) th trojúhelníkové číslo kolem středového bodu; proto nth na střed k-Gonální číslo může být matematicky vyjádřeno

${ displaystyle C_ {k, n} = { frac {kn} {2}} (n-1) +1.}$

Rozdíl v n-té a (n+1) - po sobě jdoucí na střed k-gonal numbers is k(2n+1).

The n-středěný k- úhlové číslo se rovná n-tý pravidelný k-gonal number plus (n-1)².

Stejně jako je tomu u běžných polygonálních čísel, první na střed k-gonal number is 1. Tedy pro libovolné k, 1 je obojí k-gonal a na střed k-gonal. Další číslo je obojí k-gonal a na střed k-gonal lze najít pomocí vzorce:

${ displaystyle { frac {k ^ {2}} {2}} (k-1) +1}$

což nám říká, že 10 je trojúhelníkový i středový trojúhelníkový, 25 je čtvercový i středový čtverec atd.

Vzhledem k tomu, že prvočíslo p nemůže být polygonální číslo (kromě triviálního případu, tj. každého p je druhá p-gonal number), mnoho centrovaných polygonálních čísel je prvočísla. Ve skutečnosti, pokud k ≥ 3, k ≠ 8, k ≠ 9, pak je jich nekonečně mnoho na střed k- úhlová čísla, která jsou prvočísla (za předpokladu Bunyakovsky dohad ). (Protože všichni na střed osmiboká čísla jsou také čtvercová čísla, a všechno vycentrovaná neagonální čísla jsou také trojúhelníková čísla (a nerovná se 3), takže oba nemohou být prvočísly)

Součet vzájemných

The součet z reciproční pro střed k-gonal numbers is^[1]

${ displaystyle { frac {2 pi} {k { sqrt {1 - { frac {8} {k}}}}}} tan vlevo ({ frac { pi} {2}} { sqrt {1 - { frac {8} {k}}}} vpravo)}$, pokud k ≠ 8

${ displaystyle { frac { pi ^ {2}} {8}}}$, pokud k = 8

Reference

• Neil Sloane & Simon Plouffe (1995). Encyklopedie celočíselných sekvencí. San Diego: Academic Press.: Obr. M3826
• Weisstein, Eric W. „Polygonální číslo na střed“. MathWorld.
• F. Tapson (1999). Oxfordský matematický studijní slovník (2. vyd.). Oxford University Press. str. 88–89. ISBN  0-19-914-567-9.