Transponovatelné celé číslo - Transposable integer

Číslice některých konkrétních celých čísel obměňovat nebo posun cyklicky, když jsou vynásobeny číslem n. Příklady:

• 142857 × 3 = 428571 (cyklicky se posune o jedno místo vlevo)
• 142857 × 5 = 714285 (cyklicky posune o jedno místo vpravo)
• 128205 × 4 = 512820 (cyklicky posune o jedno místo vpravo)
• 076923 × 9 = 692307 (cyklicky přesouvá dvě místa vlevo)

Tato konkrétní celá čísla, známá jako transponovatelná celá čísla, mohou být, ale nejsou vždy cyklická čísla. Charakterizaci takových čísel lze provést pomocí opakování desetinných míst (a tedy související zlomky) nebo přímo.

Všeobecné

Pro libovolné celé číslo coprime do 10 je jeho reciproční desetinné číslo bez opakujících se číslic. Např. Zloženie: 100% bavlna.¹⁄₁₄₃ = 0.006993006993006993...

Zatímco výraz jedné série s vinculum nahoře je adekvátní, záměrem výše uvedeného výrazu je ukázat, že šestka cyklické permutace 006993 lze získat z tohoto opakujícího se desetinného místa, pokud vybereme šest po sobě jdoucích číslic z opakujícího se desetinného místa počínaje od různých číslic.

To ukazuje, že cyklické permutace nějak souvisí s opakováním desetinných míst a odpovídajícími zlomky.

The největší společný dělitel (gcd) mezi jakoukoli cyklickou permutací an m-místné celé číslo a 10^m - 1 je konstantní. Vyjádřeno jako vzorec,

${ displaystyle gcd left (N, 10 ^ {m} -1 right) = gcd left (N_ {c}, 10 ^ {m} -1 right),}$

kde N je m-místné celé číslo; a N_C je jakákoli cyklická obměna N.

Například,

   gcd (091575, 999999) = gcd (32×52×11×37, 33× 7 × 11 × 13 × 37) = 3663 = gcd (915750, 999999) = gcd (157509, 999999) = gcd (575091, 999999) = gcd (750915, 999999) = gcd (509157, 999999)

Li N je m-místné celé číslo, číslo N_C, získané posunutím N cyklicky vlevo, lze získat z:

${ displaystyle N_ {c} = 10N-d vlevo (10 ^ {m} -1 vpravo), ,}$

kde d je první číslice z N a m je počet číslic.

To vysvětluje výše uvedené běžné gcd a tento jev platí pro všechny základna pokud je 10 nahrazeno b, základna.

Cyklické permutace tedy souvisejí s opakováním desetinných míst, odpovídajícími zlomky a děliteli 10^m-1. Pro příklady jsou tedy související frakce s výše uvedenými cyklickými permutacemi:

• ​⁰⁹¹⁵⁷⁵⁄₉₉₉₉₉₉, ​⁹¹⁵⁷⁵⁰⁄₉₉₉₉₉₉, ​¹⁵⁷⁵⁰⁹⁄₉₉₉₉₉₉, ​⁵⁷⁵⁰⁹¹⁄₉₉₉₉₉₉, ​⁷⁵⁰⁹¹⁵⁄₉₉₉₉₉₉a⁵⁰⁹¹⁵⁷⁄₉₉₉₉₉₉.

Snížení na nejnižší hodnoty pomocí společného gcd, jsou to:

• ​²⁵⁄₂₇₃, ​²⁵⁰⁄₂₇₃, ​⁴³⁄₂₇₃, ​¹⁵⁷⁄₂₇₃, ​²⁰⁵⁄₂₇₃a¹³⁹⁄₂₇₃.

To znamená, že tyto zlomky jsou vyjádřeny v nejnižších termínech, mají stejného jmenovatele. To platí pro cyklické permutace libovolného celého čísla.

Zlomková metoda

Integrovaný multiplikátor

Integrální multiplikátor označuje multiplikátor n být celé číslo:

1. Celé číslo X posun že jo cyklicky k pozice, když se vynásobí celé číslo n. X je pak opakující se číslice¹⁄_F, čímž F je F₀ = n 10^k − 1 (F₀ je coprime až 10), nebo činitel F₀; kromě všech hodnot F které nejsou více než n.
2. Celé číslo X posun vlevo, odjet cyklicky k pozice, když se vynásobí celé číslo n. X je pak opakující se číslice¹⁄_F, čímž F je F₀ = 10^k - nnebo faktor F₀; kromě všech hodnot F které nejsou více než n a které nejsou coprime do 10.

Je nutné, aby F byla coprime na 10, aby to bylo možné¹⁄_F je opakující se desetinné místo bez jakýchkoli předcházejících neopakujících se číslic (viz více částí Opakování desetinného místa ). Pokud číslice nejsou v tečce, pak neexistuje odpovídající řešení.

Pro tyto dva případy násobky X, tj. (j X) jsou také řešení za předpokladu, že celé číslo i splňuje podmínku^{n j}⁄_F <1. Nejčastěji je vhodné zvolit nejmenší F to odpovídá výše uvedenému. Řešení lze vyjádřit vzorcem:

${ displaystyle X = j { frac {10 ^ {p} -1} {F}}}$

kde p je délka období¹⁄_F; a F je faktorem F₀ coprime na 10.

Např, F₀ = 1260 = 2² × 3² × 5 × 7. Faktory s vyloučením 2 a 5 se mění na F = 3² × 7 = 63. Alternativně odškrtněte všechny končící nuly od roku 1260 do stavu 126, poté jej iterativně vydělte 2 (nebo 5), dokud podíl již nebude dělitelný 2 (nebo 5). Výsledek je také F = 63.

Chcete-li z řešení vyloučit celá čísla začínající nulami, vyberte celé číslo j takhle^j⁄_F > ​¹⁄₁₀, tj. j > ​^F⁄₁₀.

Neexistuje žádné řešení, když n > F.

Frakční multiplikátor

Celé číslo X posun vlevo, odjet cyklicky k pozice, když se vynásobí zlomekⁿ⁄_s. X je pak opakující se číslice^s⁄_F, čímž F je F₀ = s 10^k - nnebo faktor F₀; a F musí být coprime do 10.

V tomto třetím případě násobky X, tj. (j X) jsou opět řešení, ale podmínka, která musí být splněna pro celé číslo j je to^{n j}⁄_F <1. Opět je vhodné zvolit nejmenší F to odpovídá výše uvedenému.

Řešení lze vyjádřit vzorcem:

${ displaystyle X = js { frac {10 ^ {p} -1} {F}}}$

kde p je definován podobně; a F je coprime na 10 stejným postupem jako dříve.

Chcete-li z řešení vyloučit celá čísla začínající nulami, vyberte celé číslo j takhle^{j s}⁄_F > ​¹⁄₁₀, tj. j > ​^F⁄_10s.

Opět pokud^{j s}⁄_F > 1, neexistuje žádné řešení.

Přímé zastoupení

Přístup přímé algebry k výše uvedeným případům integrálního multiplikátoru vede k následujícímu vzorci:

1. ${ displaystyle X = D { frac {10 ^ {m} -1} {n10 ^ {k} -1}},}$

   kde m je počet číslic X, a D, k-místné číslo přesunuto z dolního konce X na nejvyšší konec n X, splňuje D < 10^k.

   Pokud čísla nemají mít úvodní nuly, pak n 10^k − 1 ≤ D.

2. ${ displaystyle X = D { frac {10 ^ {m} -1} {10 ^ {k} -n}},}$

   kde m je počet číslic X, a D, k-místné číslo přesunuto z horního konce X na dolní konec n X, splňuje:

   1. ${ displaystyle D <{ frac {10 ^ {k}} {n}} - 1,}$
   2. a 10-dílný (součin výrazů odpovídajících prvočíslům 2 a 5 z faktorizace ) z 10^k − n rozděluje D.

      10-část celého čísla t je často zkráceno ${ displaystyle operatorname {gcd} vlevo (10 ^ { infty}, t vpravo).}$

   Pokud čísla nemají mít úvodní nuly, pak 10^k − 1 ≤ D.

Cyklická permutace násobením

Dlouhé dělení 1 na 7 dává:

        0.142857...    7 ) 1.000000         .7          3          28           2           14            6            56             4             35              5              49               1

V posledním kroku se jako zbytek objeví 1. Cyklické zbytky jsou {1, 3, 2, 6, 4, 5}. Přepíšeme kvocienty s odpovídajícími dividendami / zbytky nad nimi ve všech krocích:

    Dividenda / Zbývající částka 1 3 2 6 4 5 Podíly 1 4 2 8 5 7

a také si povšimněte, že:

• ​¹⁄₇ = 0.142857...
• ​³⁄₇ = 0.428571...
• ​²⁄₇ = 0.285714...
• ​⁶⁄₇ = 0.857142...
• ​⁴⁄₇ = 0.571428...
• ​⁵⁄₇ = 0.714285...

Pozorováním zbytků v každém kroku tedy můžeme provést požadovaný cyklická permutace násobením. Např.,

• Celé číslo 142857, což odpovídá zbytku 1, permutuje na 428571, když se vynásobí 3, odpovídající zbytek druhého.
• Celé číslo 142857, odpovídající zbytku 1, permutuje na 857142, když se vynásobí 6, odpovídající zbytek druhého.
• Celé číslo 857142, které odpovídá zbytku 6, permutuje na 571428, když se vynásobí⁵⁄₆; tj. děleno 6 a vynásobeno 5, odpovídající zbytek druhého.

Tímto způsobem lze provádět cyklický posun doleva nebo doprava libovolného počtu pozic.

Méně důležité je, že tuto techniku ​​lze použít na jakékoli celé číslo cyklicky řadit doprava nebo doleva o libovolný počet míst z následujícího důvodu:

• Každé opakující se desetinné číslo lze vyjádřit jako racionální číslo (zlomek).
• Každé celé číslo, pokud je přidáno s desetinnou čárkou vpředu a nekonečně zřetězeno, lze převést na zlomek, např. tímto způsobem můžeme transformovat 123456 na 0,123456123456 ..., kterou lze tedy převést na zlomek¹²³⁴⁵⁶⁄₉₉₉₉₉₉. Tuto část lze dále zjednodušit, ale zde to nebude provedeno.
• Chcete-li permutovat celé číslo 123456 na 234561, je třeba vynásobit 123456 tím²³⁴⁵⁶¹⁄₁₂₃₄₅₆. Vypadá to jako podvádění, ale pokud²³⁴⁵⁶¹⁄₁₂₃₄₅₆ je celé číslo (v tomto případě není), mise je dokončena.

Důkaz vzorce pro cyklickou operaci posunu doprava

Celé číslo X cyklicky přesouvat o k pozice, když se vynásobí celým číslem n. Prokázat jeho vzorec.

Důkaz

Nejprve to poznejte X je opakující se číslice a opakování desetinného místa, který má při násobení vždy cyklické chování. Celé číslo X a jeho násobek n X pak bude mít následující vztah:

1. Celé číslo X jsou opakující se číslice zlomku¹⁄_F, řekněme d_pd_p-1... d₃d₂d₁, kde d_p, d_p-1, ..., d₃, d₂ a d₁ každý představuje číslici a p je počet číslic.
2. Násobek n X je tedy opakující se číslice zlomkuⁿ⁄_F, řekněme d_kd_k-1... d₃d₂d₁d_pd_p-1... d_{k + 2}d_{k + 1}, představující výsledky po pravém cyklickém posunu o k pozic.
3. F musí být coprime na 10, takže když¹⁄_F je vyjádřeno v desítkové soustavě, neexistují žádné předchozí neopakující se číslice, jinak opakující se desetinná čárka nemá cyklické chování při násobení.
4. Pokud se vezme první zbytek n pak 1 bude (k + 1) první zbytek v dlouhé divizi proⁿ⁄_F aby došlo k této cyklické obměně.
5. Aby n × 10^k = 1 (mod F) pak F bude buď F₀ = (n × 10^k - 1) nebo činitel F₀; ale s vyloučením jakýchkoli hodnot ne více než n a jakákoli hodnota mající netriviální společný faktor s 10, jak je odvozeno výše.

Tím je důkaz dokončen.

Důkaz vzorce pro cyklický levý směnný provoz

Celé číslo X cyklicky posunout doleva o k pozice, když se vynásobí celé číslo n. Prokázat jeho vzorec.

Důkaz

Nejprve to poznejte X je opakující se číslice a opakování desetinného místa, který má při násobení vždy cyklické chování. Celé číslo X a jeho násobek n X pak bude mít následující vztah:

1. Celé číslo X jsou opakující se číslice zlomku¹⁄_F, řekněme d_pd_p-1... d₃d₂d₁ .
2. Násobek n X je tedy opakující se číslice zlomkuⁿ⁄_F, řekněme d_p-kd_p-k-1... d₃d₂d₁d_pd_p-1... d_{p-k + 1},

což představuje výsledky po levém cyklickém posunu o k pozic.

1. F musí být coprime do 10, takže¹⁄_F nemá žádné předchozí neopakující se číslice, jinak opakující se desetinné místo nemá cyklické chování při násobení.
2. Pokud je první zbytek považován za 1, pak n bude (k + 1) první zbytek v dlouhé divizi pro¹⁄_F aby došlo k této cyklické obměně.
3. Aby to 1 × 10^k = n (režim F) pak F bude buď F₀ = (10^k -n) nebo činitel F₀; ale s vyloučením jakékoli hodnoty nejvýše na jakákoli hodnota, která má netriviální společný faktor s 10, jak je odvozeno výše.

Tím je důkaz dokončen. Důkaz pro neintegrální multiplikátor, jako jeⁿ⁄_s lze odvodit podobným způsobem a není zde zdokumentován.

Cyklické řazení celého čísla

Obměny mohou být:

• Cyklické řazení doprava o jednu pozici (parazitní čísla );
• Cyklické řazení doprava o dvojnásobné pozice;
• Cyklické řazení doprava o libovolný počet pozic;
• Cyklické řazení doleva o jednu pozici;
• Cyklické řazení doleva o dvojnásobné pozice; a
• Cyklické řazení doleva o libovolný počet pozic

Parazitická čísla

Když je parazitní číslo vynásobeno n, nejenže vykazuje cyklické chování, ale permutace je taková, že poslední číslice parazitního čísla se nyní stává první číslicí násobku. Například 102564 x 4 = 410256. Všimněte si, že 102564 je opakující se číslice⁴⁄₃₉ a 410256 opakujících se číslic¹⁶⁄₃₉.

Cyklické řazení doprava o dvojnásobné pozice

Celé číslo X cyklické posunutí doprava o dvojnásobné pozice, když je vynásobeno celým číslem n. X je pak opakující se číslice¹⁄_F, čímž F = n × 10² - 1; nebo jeho faktor; ale bez hodnot, pro které¹⁄_F má délku období dělící 2 (nebo ekvivalentně méně než 3); a F musí být coprime do 10.

Nejčastěji je vhodné zvolit nejmenší F to odpovídá výše uvedenému.

Souhrn výsledků

Následující násobení přesune poslední dvě číslice každého původního celého čísla na první dvě číslice a posune všechny další číslice doprava:

Všimněte si, že:

• 299 = 13 x 23 a období¹⁄₂₉₉ je přesně určena vzorcem, LCM (6, 22) = 66, podle Opakující se desetinné číslo # Zobecnění.
• 399 = 3 x 7 x 19 a období¹⁄₃₉₉ je přesně určena vzorcem, LCM (1, 6, 18) = 18.

Existuje mnoho dalších možností.

Cyklické řazení doleva o jednu pozici

Problém: Celé číslo X cyklický posun doleva o jednu pozici, když se vynásobí 3. Najít X.

Řešení: Nejprve si to uvědomte X je opakující se číslice a opakování desetinného místa, které má v násobení vždy nějaké zajímavé cyklické chování. Celé číslo X a jeho násobek pak bude mít následující vztah:

• Celé číslo X jsou opakující se číslice zlomku¹⁄_F, řekněme ab ***.
• Násobek je tedy opakující se číslice zlomku³⁄_F, řekněme b *** a.
• Aby tato cyklická permutace proběhla, pak 3 bude další zbytek v dlouhém dělení pro¹⁄_F. Tím pádem F musí být 7, protože 1 × 10 ÷ 7 dává zbytek 3.

To přináší výsledky, které:

X = opakující se číslice¹⁄₇

= 142857 a

násobek = 142857 × 3 = 428571, opakující se číslice³⁄₇

Druhé řešení představuje²⁄₇ x 3 =⁶⁄₇:

• 285714 x 3 = 857142

Neexistují žádná další řešení ^[1] protože:

• Celé číslo n musí být následným zbytkem v dlouhém dělení zlomku¹⁄_F. Vzhledem k tomu, že n = 10 - F, a F je coprime na 10, aby¹⁄_F být tedy opakujícím se desetinným místem n musí být menší než 10.
• Pro n = 2, F musí být 10 - 2 = 8. Nicméně¹⁄₈ negeneruje opakující se desetinná místa, podobně pro n = 5.
• Pro n = 7, F musí být 10 - 7 = 3. Nicméně 7> 3 a⁷⁄₃ = 2,333> 1 a neodpovídá účelu.
• Podobně neexistuje řešení pro žádné jiné celé číslo n méně než 10 kromě n = 3.

Pokud však multiplikátor není omezen na celé číslo (i když je ošklivý), existuje mnoho dalších řešení z této metody. Např. Pokud je celé číslo X cyklický posun doprava o jednu pozici, když je vynásobena³⁄₂, pak 3 bude další zbytek po 2 v dlouhém dělení zlomku²⁄_F. Z toho lze odvodit, že F = 2 x 10 - 3 = 17, což dává X jako opakující se číslice²⁄₁₇, tj. 1176470588235294, a jeho násobek je 1764705882352941.

Následující text shrnuje některé z výsledků nalezených tímto způsobem:

Cyklické řazení doleva o dvojnásobné pozice

Celé číslo X cyklický posun doleva o dvojnásobné pozice, když je vynásoben celým číslem n. X je pak opakující se číslice¹⁄_F, čímž F je R = 10² - n nebo činitel R; kromě hodnot F pro které¹⁄_F má délku období dělící 2 (nebo ekvivalentně méně než 3); a F musí být coprime do 10.

Nejčastěji je vhodné zvolit nejmenší F to odpovídá výše uvedenému.

Souhrn výsledků

Následující text shrnuje některé z výsledků získaných tímto způsobem, kde bílá místa mezi číslicemi rozdělují číslice do 10místných skupin:

Jiné základy

v duodecimální systému jsou transponovatelná celá čísla: (s použitím obrácených dvou a tří pro deset a jedenáct)

Všimněte si, že problém „Cyklické posunutí doleva o jednu pozici“ nemá řešení pro multiplikátor menší než 12 kromě 2 a 5, stejný problém v desítkové soustavě nemá řešení pro multiplikátor menší než 10 kromě 3.

Poznámky

Reference

• P. Yiu, k-pravá transponovatelná celá čísla, k-levá transponovatelná celá kap. 18.1, 18,2 str. 168/360 v „Rekreační matematice“, https://web.archive.org/web/20090901180500/http://math.fau.edu/Yiu/RecreationalMathematics2003.pdf
• C. A. Pickover, Zázraky čísel, Kapitola 28, Oxford University Press Velká Británie, 2000.
• Sloane, N. J. A. (vyd.). "Pořadí A092697 (Pro 1 <= n <= 9, a (n) = nejmenší počet m, takže součin n * m je získán pouze posunutím číslice nejvíce vpravo m na levý konec)". The On-line encyklopedie celočíselných sekvencí. Nadace OEIS.
• Gardner, Martin. Mathematical Circus: More Puzzles, Games, Paradoxes and Other Mathematical Entertainments from Scientific American. New York: The Mathematical Association of America, 1979. s. 111–122.
• Kalman, Dan; „Frakce s cyklickými číslicovými vzory“ The College Mathematics Journal, sv. 27, č. 2 (březen, 1996), s. 109–115.
• Leslie, John. „The Philosophy of Arithmetic: Exhibiting a Progressive View of the Theory and Practice of ....“, Longman, Hurst, Rees, Orme a Brown, 1820, ISBN  1-4020-1546-1
• Wells, David; "Slovník tučňáků zvědavých a zajímavých čísel ", Penguin Press. ISBN  0-14-008029-5