Stella octangula číslo - Stella octangula number - Wikipedia

124 magnetické koule uspořádány do tvaru a stella octangula

V matematice, a číslo stella octangula je figurativní číslo založeno na stella octangula, formuláře n(2n2 − 1).[1][2]

Pořadí čísel stella octangula je

0, 1, 14, 51, 124, 245, 426, 679, 1016, 1449, 1990, ... (sekvence A007588 v OEIS )[1]

Pouze dvě z těchto čísel jsou náměstí.

Ljunggrenova rovnice

Existují pouze dva pozitivní náměstí čísla stella octangula, 1 a 9653449 = 31072 = (13 × 239)2, souhlasí s n = 1 a n = 169 resp.[1][3] The eliptická křivka popisující čtvercová čísla stella octangula,

mohou být umístěny v ekvivalentní formě Weierstrass

změnou proměnných X = 2m, y = 2n. Protože dva faktory n a 2n2 − 1 čtvercového čísla m2 jsou relativně prime, musí to být každý sám čtverce a druhá změna proměnných a vede k Ljunggrenova rovnice

[3]

Věta o Siegel uvádí, že každá eliptická křivka má pouze konečně mnoho celočíselných řešení, a Wilhelm Ljunggren  (1942 ) našel obtížný důkaz, že jediným celočíselným řešením jeho rovnice byla (1,1) a (239,13), což odpovídá dvěma čtvercovým číslům stella octangula.[4] Louis J. Mordell domníval se, že důkaz lze zjednodušit, a několik pozdějších autorů zveřejnilo zjednodušení.[3][5][6]

Další aplikace

Čísla stella octangula vznikají v parametrické rodině instancí do problém se zkříženými žebříky ve kterých jsou délky a výšky žebříků a výška jejich křížení všechna celá čísla. V těchto případech je poměr mezi výškami obou žebříků číslo stella octangula.[7]

Reference

  1. ^ A b C Sloane, N. J. A. (vyd.), "Pořadí A007588 (Stella octangula numbers: n * (2 * n ^ 2 - 1))" ", The On-line encyklopedie celočíselných sekvencí, Nadace OEIS.
  2. ^ Conway, Johne; Chlapi, Richarde (1996), Kniha čísel, Springer, str. 51, ISBN  978-0-387-97993-9.
  3. ^ A b C Siksek, Samir (1995), Sjezdy na křivkách rodu I. (PDF), Ph.D. práce, University of Exeter, s. 16–17[trvalý mrtvý odkaz ].
  4. ^ Ljunggren, Wilhelm (1942), „Zur Theorie der Gleichung X2 + 1 = Dy4", Avh. Norske Vid. Akad. Oslo. I., 1942 (5): 27, PAN  0016375.
  5. ^ Steiner, Ray; Tzanakis, Nikos (1991), „Zjednodušení řešení Ljunggrenovy rovnice X2 + 1 = 2Y4" (PDF), Žurnál teorie čísel, 37 (2): 123–132, doi:10.1016 / S0022-314X (05) 80029-0, PAN  1092598.
  6. ^ Draziotis, Konstantinos A. (2007), „Ljunggrenova rovnice se znovu objevila“, Kolokvium Mathematicum, 109 (1): 9–11, doi:10,4064 / cm109-1-2, PAN  2308822.
  7. ^ Bremner, A .; Høibakk, R .; Lukkassen, D. (2009), „Překřížené žebříky a Eulerova kvartika“ (PDF), Annales Mathematicae et Informaticae, 36: 29–41, PAN  2580898.

externí odkazy