Smířit - Repunit
Ne. známých výrazů | 9 |
---|---|
Domnělý Ne. podmínek | Nekonečný |
První termíny | 11, 1111111111111111111, 11111111111111111111111 |
Největší známý termín | (10270343−1)/9 |
OEIS index |
|
v rekreační matematika, a odměna je číslo jako 11, 111 nebo 1111, která obsahuje pouze číslici 1 - konkrétnější typ oprava. Termín znamená repjedl jednotka a byl vytvořen v roce 1966 autorem Albert H. Beiler ve své knize Rekreace v teorii čísel.[poznámka 1]
A hlavní odměna je odměna, která je také a prvočíslo. Prvočísla, která jsou odměnami základna-2 jsou Mersenne připraví.
Definice
Základna-b odměny jsou definovány jako (toto b může být pozitivní nebo negativní)
Tedy číslo Rn(b) skládá se z n kopie číslice 1 v základněb zastoupení. První dvě repunits base-b pro n = 1 a n = 2 jsou
Zejména desetinný (základna-10) odměny které jsou často označovány jako jednoduše odměny jsou definovány jako
Tedy číslo Rn = Rn(10) skládá se z n kopie číslice 1 v základu 10. Sekvence repunits base-10 začíná
Podobně jsou repunits base-2 definovány jako
Tedy číslo Rn(2) skládá se z n kopie číslice 1 v reprezentaci základny-2. Ve skutečnosti jsou základní odměny 2 dobře známé Mersennova čísla Mn = 2n - 1, začínají
- 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16383, 32767, 65535, ... (sekvence A000225 v OEIS ).
Vlastnosti
- Jakákoli náhrada v jakékoli základně, která má složený počet číslic, je nutně složená. Prime mohou být pouze odměny (v jakékoli základně), které mají primární počet číslic. Toto je nezbytná, ale nedostatečná podmínka. Například,
- R35(b) = 11111111111111111111111111111111111 = 11111 × 1000010000100001000010000100001 = 1111111 × 10000001000000100000010000001,
- protože 35 = 7 × 5 = 5 × 7. Tato faktorizace úhrady nezávisí na základněb ve kterém je vyjádřena odměna.
- Li p je lichý prime, pak každý prime q který rozděluje Rp(b) musí být buď 1 plus násobek 2p, nebo faktor b - 1. Například hlavní faktor R29 je 62003 = 1 + 2,29 · 1069. Důvodem je, že hlavní p je nejmenší exponent větší než 1 takový, že q rozděluje bp - 1, protože p je hlavní. Proto, pokud q rozděluje b − 1, p rozděluje funkci Carmichael z q, což je sudé a rovno q − 1.
- Jakýkoli kladný násobek odměny Rn(b) obsahuje alespoň n nenulové číslice v základněb.
- Jakékoliv číslo X je dvouciferné splácení v základně x - 1.
- Jediná známá čísla, která jsou opakovanými jednotkami s alespoň 3 číslicemi ve více než jedné základně současně, jsou 31 (111 v základně-5, 11111 v základně-2) a 8191 (111 v základně-90, 11111111111111 v základně-2). The Goormaghigh dohad říká, že existují pouze tyto dva případy.
- Za použití princip holubí díry lze snadno ukázat, že pro relativně prime přirozená čísla n a b, existuje úhrada v base-b to je násobek n. Chcete-li to vidět, zvažte odměny R1(b),...,Rn(b). Protože tam jsou n splácení, ale pouze n-1 nenulové zbytky modulo n existují dvě odměny Ri(b) a Rj(b) s 1 ≤ i < j ≤ n takhle Ri(b) a Rj(b) mají stejné zbytky modulo n. Z toho vyplývá, že Rj(b) − Ri(b) má zbytek 0 modulo n, tj. je dělitelné n. Od té doby Rj(b) − Ri(b) skládá se z j − i následované i nuly, Rj(b) − Ri(b) = Rj−i(b) × bi. Nyní n rozděluje levou stranu této rovnice, takže rozděluje také pravou stranu, ale protože n a b jsou relativně nejlepší, n musí se rozdělit Rj−i(b).
- The Feit-Thompsonova domněnka je to Rq(p) nikdy nedělí Rp(q) pro dvě odlišná prvočísla p a q.
- Za použití Euklidovský algoritmus pro definici odměn: R1(b) = 1; Rn(b) = Rn−1(b) × b +1, případné po sobě jdoucí odměny Rn−1(b) a Rn(b) jsou relativně nejlepší v jakékoli základněb pro všechny n.
- Li m a n mít společného dělitele d, Rm(b) a Rn(b) mít společného dělitele Rd(b) v jakékoli základněb pro všechny m a n. To znamená, že úhrady pevné základny tvoří a silná sekvence dělitelnosti. V důsledku toho, pokud m a n jsou relativně nejlepší, Rm(b) a Rn(b) jsou relativně nejlepší. Euklidovský algoritmus je založen na gcd(m, n) = gcd(m − n, n) pro m > n. Podobně pomocí Rm(b) − Rn(b) × bm−n = Rm−n(b), lze to snadno ukázat gcd(Rm(b), Rn(b)) = gcd(Rm−n(b), Rn(b)) pro m > n. Proto pokud gcd(m, n) = d, pak gcd(Rm(b), Rn(b)) = Rd(b).
Faktorizace desetinných odměn
(Prvočísla jsou barevná Červené znamená „nové faktory“, tj. E. primární faktor dělí Rn ale nedělí se Rk pro všechny k < n) (sekvence.) A102380 v OEIS )[2]
|
|
|
Nejmenší primární faktor Rn pro n > 1 jsou
- 11, 3, 11, 41, 3, 239, 11, 3, 11, 21649, 3, 53, 11, 3, 11, 2071723, 3, 1111111111111111111, 11, 3, 11, 11111111111111111111111, 3, 41, 11, 3, 11, 3191, 3, 2791, 11, 3, 11, 41, 3, 2028119, 11, 3, 11, 83, 3, 173, 11, 3, 11, 35121409, 3, 239, 11, .. (sekvence A067063 v OEIS )
Znovu sjednejte prvočísla
Definice odměn byla motivována hledáním rekreačních matematiků hlavní faktory takových čísel.
Je snadné ukázat, že pokud n je dělitelné A, pak Rn(b) je dělitelné RA(b):
kde je cyklotomický polynom a d se pohybuje nad děliteli n. Pro p primární,
který má očekávanou formu odměny, když X je nahrazen b.
Například 9 je dělitelné 3, a tedy R9 je dělitelné R3—V podstatě 111111111 = 111 · 1001001. Odpovídající cyklotomické polynomy a jsou a , resp. Tedy pro Rn být hlavní, n musí být nutně prvočíslo, ale není to dostatečné pro n být hlavní. Například, R3 = 111 = 3,37 není prvočíslo. Až na tento případ R3, p lze jen rozdělit Rn pro prime n -li p = 2kn + 1 pro některé k.
Desítková odměna za prvočíslo
Rn je pro n = 2, 19, 23, 317, 1031, ... (sekvence A004023 v OEIS ). R49081 a R86453 jsou pravděpodobně prime. 3. dubna 2007 Harvey Dubner (který také našel R49081) to oznámil R109297 je pravděpodobné prvočíslo.[3] Později oznámil, že už nejsou žádní další R86453 na R200000.[4] 15. července 2007 oznámil Maksym Voznyy R270343 být pravděpodobně nejlepší,[5] spolu s jeho záměrem hledat na 400 000. Od listopadu 2012 všichni další kandidáti až R2500000 byly testovány, ale zatím nebyla nalezena žádná nová pravděpodobná prvočísla.
Předpokládalo se, že existuje nekonečně mnoho připravených odměn[6] a zdá se, že se vyskytují zhruba stejně často jako věta o prvočísle předpovídá: exponent Nth odměna prime je obecně kolem pevného násobku exponentu (N-1) th.
Prime repunits jsou triviální podmnožinou permutovatelné prvočísla, tj. prvočísla, která zůstanou po každém primární permutace jejich číslic.
Zvláštní vlastnosti jsou
- Zbývající část Rn modulo 3 se rovná zbytku n modulo 3. Použití 10A ≡ 1 (mod 3) pro všechny A ≥ 0,
n ≡ 0 (mod 3) ⇔ Rn ≡ 0 (mod 3) ⇔ Rn ≡ 0 (mod R3),
n ≡ 1 (mod 3) ⇔ Rn ≡ 1 (mod 3) ⇔ Rn ≡ R1 ≡ 1 (mod R3),
n ≡ 2 (mod 3) ⇔ Rn ≡ 2 (mod 3) ⇔ Rn ≡ R2 ≡ 11 (mod R3).
Proto 3 | n ⇔ 3 | Rn ⇔ R3 | Rn. - Zbývající část Rn modulo 9 se rovná zbytku n modulo 9. Použití 10A ≡ 1 (mod 9) pro všechny A ≥ 0,
n ≡ r (mod 9) ⇔ Rn ≡ r (mod 9) ⇔ Rn ≡ Rr (mod R9),
pro 0 ≤ r < 9.
Proto 9 | n ⇔ 9 | Rn ⇔ R9 | Rn.
Základní 2 odměny připraví
Jsou volána základní odměna Base-2 Mersenne připraví.
Základní 3 odměny připraví
Prvních několik základních odměn základny-3 je
- 13, 1093, 797161, 3754733257489862401973357979128773, 6957596529882152968992225251835887181478451547013 (sekvence A076481 v OEIS ),
souhlasí s z
Základní 4 odměny za prvenství
Jedinou základní odměnou základny-4 je 5 (). a 3 vždy rozdělí když n je liché a když n je sudý. Pro n větší než 2, obě a jsou větší než 3, takže odstranění faktoru 3 ponechá dva faktory větší než 1. Číslo tedy nemůže být prvočíslo.
Základ 5 odměn připraví
Prvních několik základních odměn za základní odměnu 5 je
- 31, 19531, 12207031, 305175781, 177635683940025046467781066894531, 14693679385278593849609206715278070972733319459651094018859396328480215743184089660644531, 35032461608120426773093239582247903282006548546912894293926707097244777067146515037165954709053039550781, 815663058499815565838786763657068444462645532258620818469829556933715405574685778402862015856733535201783524826169013977050781 (sekvence A086122 v OEIS ),
souhlasí s z
Základní 6 odměn připraví
Prvních několik základních odměn za základnu 6 je
- 7, 43, 55987, 7369130657357778596659, 3546245297457217493590449191748546458005595187661976371, 1337330638182543493355017795900814604230134162580604075318577207551818574419619508408508408 A165210 v OEIS ),
souhlasí s z
Základní 7 odměn připraví
Prvních několik základních odměn základny-7 je
- 2801, 16148168401, 85053461164796801949539541639542805770666392330682673302530819774105141531698707146930307290253537320447270457,
138502212710103408700774381033135503926663324993317631729227790657325163310341833227775945426052637092067324133850503035623601
souhlasí s z
Základní 8 odměn připraví
Jediný prime-8 repunit prime je 73 (). a 7 dělení když n není dělitelné 3 a když n je násobkem 3.
Základní 9 odměn připraví
Neexistují žádné základní odměny za 9 odměn. a obojí a jsou sudé a větší než 4.
Základna 11 odměn připravuje
Prvních několik základních odměn základny-11 je
- 50544702849929377, 6115909044841454629, 1051153199500053598403188407217590190707671147285551702341089650185945215953, 567000232521795739625828281267171344486805385881217575081149660163046217465544573355710592079769932651989153833612198334843467861091902034340949
souhlasí s z
Základní 12 odměn připraví
Prvních několik základních odměn za základ 12 je
- 13, 157, 22621, 29043636306420266077, 43570062353753446053455610056679740005056966111842089407838902783209959981593077811330507328327968191581, 388475052482842970801320278964160171426121951256610654799120070705613530182445862582590623785872890159937874339918941
souhlasí s z
Základ 20 odměn za prvenství
Prvních několik základních odměn základny-20 je
- 421, 10778947368421, 689852631578947368421
souhlasí s z
Základny takhle je prime pro prime
Nejmenší základna takhle je prime (kde je th prime) jsou
- 2, 2, 2, 2, 5, 2, 2, 2, 10, 6, 2, 61, 14, 15, 5, 24, 19, 2, 46, 3, 11, 22, 41, 2, 12, 22, 3, 2, 12, 86, 2, 7, 13, 11, 5, 29, 56, 30, 44, 60, 304, 5, 74, 118, 33, 156, 46, 183, 72, 606, 602, 223, 115, 37, 52, 104, 41, 6, 338, 217, 13, 136, 220, 162, 35, 10, 218, 19, 26, 39, 12, 22, 67, 120, 195, 48, 54, 463, 38, 41, 17, 808, 404, 46, 76, 793, 38, 28, 215, 37, 236, 59, 15, 514, 260, 498, 6, 2, 95, 3, ... (sekvence A066180 v OEIS )
Nejmenší základna takhle je prime (kde je th prime) jsou
- 3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 7, 2, 16, 61, 2, 6, 10, 6, 2, 5, 46, 18, 2, 49, 16, 70, 2, 5, 6, 12, 92, 2, 48, 89, 30, 16, 147, 19, 19, 2, 16, 11, 289, 2, 12, 52, 2, 66, 9, 22, 5, 489, 69, 137, 16, 36, 96, 76, 117, 26, 3, 159, 10, 16, 209, 2, 16, 23, 273, 2, 460, 22, 3, 36, 28, 329, 43, 69, 86, 271, 396, 28, 83, 302, 209, 11, 300, 159, 79, 31, 331, 52, 176, 3, 28, 217, 14, 410, 252, 718, 164, ... (sekvence A103795 v OEIS )
základny takhle je hlavní (uvádí pouze kladné báze) | OEIS sekvence | |
2 | 2, 4, 6, 10, 12, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 78, 82, 88, 96, 100, 102, 106, 108, 112, 126, 130, 136, 138, 148, 150, 156, 162, 166, 172, 178, 180, 190, 192, 196, 198, 210, 222, 226, 228, 232, 238, 240, 250, 256, 262, 268, 270, 276, 280, 282, 292, 306, 310, 312, 316, 330, 336, 346, 348, 352, 358, 366, 372, 378, 382, 388, 396, 400, 408, 418, 420, 430, 432, 438, 442, 448, 456, 460, 462, 466, 478, 486, 490, 498, 502, 508, 520, 522, 540, 546, 556, 562, 568, 570, 576, 586, 592, 598, 600, 606, 612, 616, 618, 630, 640, 642, 646, 652, 658, 660, 672, 676, 682, 690, 700, 708, 718, 726, 732, 738, 742, 750, 756, 760, 768, 772, 786, 796, 808, 810, 820, 822, 826, 828, 838, 852, 856, 858, 862, 876, 880, 882, 886, 906, 910, 918, 928, 936, 940, 946, 952, 966, 970, 976, 982, 990, 996, ... | A006093 |
3 | 2, 3, 5, 6, 8, 12, 14, 15, 17, 20, 21, 24, 27, 33, 38, 41, 50, 54, 57, 59, 62, 66, 69, 71, 75, 77, 78, 80, 89, 90, 99, 101, 105, 110, 111, 117, 119, 131, 138, 141, 143, 147, 150, 153, 155, 161, 162, 164, 167, 168, 173, 176, 188, 189, 192, 194, 203, 206, 209, 215, 218, 231, 236, 245, 246, 266, 272, 278, 279, 287, 288, 290, 293, 309, 314, 329, 332, 336, 342, 344, 348, 351, 357, 369, 378, 381, 383, 392, 395, 398, 402, 404, 405, 414, 416, 426, 434, 435, 447, 453, 455, 456, 476, 489, 495, 500, 512, 518, 525, 530, 531, 533, 537, 540, 551, 554, 560, 566, 567, 572, 579, 582, 584, 603, 605, 609, 612, 621, 624, 626, 635, 642, 644, 668, 671, 677, 686, 696, 701, 720, 726, 728, 735, 743, 747, 755, 761, 762, 768, 773, 782, 785, 792, 798, 801, 812, 818, 819, 825, 827, 836, 839, 846, 855, 857, 860, 864, 875, 878, 890, 894, 897, 899, 911, 915, 918, 920, 927, 950, 959, 960, 969, 974, 981, 987, 990, 992, 993, ... | A002384 |
5 | 2, 7, 12, 13, 17, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 40, 43, 44, 50, 62, 63, 68, 73, 74, 77, 79, 83, 85, 94, 99, 110, 117, 118, 120, 122, 127, 129, 134, 143, 145, 154, 162, 164, 165, 172, 175, 177, 193, 198, 204, 208, 222, 227, 239, 249, 254, 255, 260, 263, 265, 274, 275, 277, 285, 288, 292, 304, 308, 327, 337, 340, 352, 359, 369, 373, 393, 397, 408, 414, 417, 418, 437, 439, 448, 457, 459, 474, 479, 490, 492, 495, 503, 505, 514, 519, 528, 530, 538, 539, 540, 550, 557, 563, 567, 568, 572, 579, 594, 604, 617, 637, 645, 650, 662, 679, 694, 699, 714, 728, 745, 750, 765, 770, 772, 793, 804, 805, 824, 837, 854, 860, 864, 868, 880, 890, 919, 942, 954, 967, 968, 974, 979, ... | A049409 |
7 | 2, 3, 5, 6, 13, 14, 17, 26, 31, 38, 40, 46, 56, 60, 61, 66, 68, 72, 73, 80, 87, 89, 93, 95, 115, 122, 126, 128, 146, 149, 156, 158, 160, 163, 180, 186, 192, 203, 206, 208, 220, 221, 235, 237, 238, 251, 264, 266, 280, 282, 290, 294, 300, 303, 320, 341, 349, 350, 353, 363, 381, 395, 399, 404, 405, 417, 418, 436, 438, 447, 450, 461, 464, 466, 478, 523, 531, 539, 548, 560, 583, 584, 591, 599, 609, 611, 622, 646, 647, 655, 657, 660, 681, 698, 700, 710, 717, 734, 760, 765, 776, 798, 800, 802, 805, 822, 842, 856, 863, 870, 878, 899, 912, 913, 926, 927, 931, 940, 941, 942, 947, 959, 984, 998, ... | A100330 |
11 | 5, 17, 20, 21, 30, 53, 60, 86, 137, 172, 195, 212, 224, 229, 258, 268, 272, 319, 339, 355, 365, 366, 389, 390, 398, 414, 467, 480, 504, 534, 539, 543, 567, 592, 619, 626, 654, 709, 735, 756, 766, 770, 778, 787, 806, 812, 874, 943, 973, ... | A162862 |
13 | 2, 3, 5, 7, 34, 37, 43, 59, 72, 94, 98, 110, 133, 149, 151, 159, 190, 207, 219, 221, 251, 260, 264, 267, 282, 286, 291, 319, 355, 363, 373, 382, 397, 398, 402, 406, 408, 412, 436, 442, 486, 489, 507, 542, 544, 552, 553, 582, 585, 592, 603, 610, 614, 634, 643, 645, 689, 708, 720, 730, 744, 769, 772, 806, 851, 853, 862, 882, 912, 928, 930, 952, 968, 993, ... | A217070 |
17 | 2, 11, 20, 21, 28, 31, 55, 57, 62, 84, 87, 97, 107, 109, 129, 147, 149, 157, 160, 170, 181, 189, 191, 207, 241, 247, 251, 274, 295, 297, 315, 327, 335, 349, 351, 355, 364, 365, 368, 379, 383, 410, 419, 423, 431, 436, 438, 466, 472, 506, 513, 527, 557, 571, 597, 599, 614, 637, 653, 656, 688, 708, 709, 720, 740, 762, 835, 836, 874, 974, 976, 980, 982, 986, ... | A217071 |
19 | 2, 10, 11, 12, 14, 19, 24, 40, 45, 46, 48, 65, 66, 67, 75, 85, 90, 103, 105, 117, 119, 137, 147, 164, 167, 179, 181, 205, 220, 235, 242, 253, 254, 263, 268, 277, 303, 315, 332, 337, 366, 369, 370, 389, 399, 404, 424, 431, 446, 449, 480, 481, 506, 509, 521, 523, 531, 547, 567, 573, 581, 622, 646, 651, 673, 736, 768, 787, 797, 807, 810, 811, 817, 840, 846, 857, 867, 869, 870, 888, 899, 902, 971, 988, 990, 992, ... | A217072 |
23 | 10, 40, 82, 113, 127, 141, 170, 257, 275, 287, 295, 315, 344, 373, 442, 468, 609, 634, 646, 663, 671, 710, 819, 834, 857, 884, 894, 904, 992, 997, ... | A217073 |
29 | 6, 40, 65, 70, 114, 151, 221, 229, 268, 283, 398, 451, 460, 519, 554, 587, 627, 628, 659, 687, 699, 859, 884, 915, 943, 974, 986, ... | A217074 |
31 | 2, 14, 19, 31, 44, 53, 71, 82, 117, 127, 131, 145, 177, 197, 203, 241, 258, 261, 276, 283, 293, 320, 325, 379, 387, 388, 406, 413, 461, 462, 470, 486, 491, 534, 549, 569, 582, 612, 618, 639, 696, 706, 723, 746, 765, 767, 774, 796, 802, 877, 878, 903, 923, 981, 991, 998, ... | A217075 |
37 | 61, 77, 94, 97, 99, 113, 126, 130, 134, 147, 161, 172, 187, 202, 208, 246, 261, 273, 285, 302, 320, 432, 444, 503, 523, 525, 563, 666, 680, 709, 740, 757, 787, 902, 962, 964, 969, ... | A217076 |
41 | 14, 53, 55, 58, 71, 76, 82, 211, 248, 271, 296, 316, 430, 433, 439, 472, 545, 553, 555, 596, 663, 677, 682, 746, 814, 832, 885, 926, 947, 959, ... | A217077 |
43 | 15, 21, 26, 86, 89, 114, 123, 163, 180, 310, 332, 377, 409, 438, 448, 457, 477, 526, 534, 556, 586, 612, 653, 665, 690, 692, 709, 760, 783, 803, 821, 848, 877, 899, 909, 942, 981, ... | A217078 |
47 | 5, 17, 19, 55, 62, 75, 89, 98, 99, 132, 172, 186, 197, 220, 268, 278, 279, 288, 439, 443, 496, 579, 583, 587, 742, 777, 825, 911, 966, ... | A217079 |
53 | 24, 45, 60, 165, 235, 272, 285, 298, 307, 381, 416, 429, 623, 799, 858, 924, 929, 936, ... | A217080 |
59 | 19, 70, 102, 116, 126, 188, 209, 257, 294, 359, 451, 461, 468, 470, 638, 653, 710, 762, 766, 781, 824, 901, 939, 964, 995, ... | A217081 |
61 | 2, 19, 69, 88, 138, 155, 205, 234, 336, 420, 425, 455, 470, 525, 555, 561, 608, 626, 667, 674, 766, 779, 846, 851, 937, 971, 998, ... | A217082 |
67 | 46, 122, 238, 304, 314, 315, 328, 332, 346, 372, 382, 426, 440, 491, 496, 510, 524, 528, 566, 638, 733, 826, ... | A217083 |
71 | 3, 6, 17, 24, 37, 89, 132, 374, 387, 402, 421, 435, 453, 464, 490, 516, 708, 736, 919, 947, 981, ... | A217084 |
73 | 11, 15, 75, 114, 195, 215, 295, 335, 378, 559, 566, 650, 660, 832, 871, 904, 966, ... | A217085 |
79 | 22, 112, 140, 158, 170, 254, 271, 330, 334, 354, 390, 483, 528, 560, 565, 714, 850, 888, 924, 929, 933, 935, 970, ... | A217086 |
83 | 41, 146, 386, 593, 667, 688, 906, 927, 930, ... | A217087 |
89 | 2, 114, 159, 190, 234, 251, 436, 616, 834, 878, ... | A217088 |
97 | 12, 90, 104, 234, 271, 339, 420, 421, 428, 429, 464, 805, 909, 934, ... | A217089 |
101 | 22, 78, 164, 302, 332, 359, 387, 428, 456, 564, 617, 697, 703, 704, 785, 831, 979, ... | |
103 | 3, 52, 345, 392, 421, 472, 584, 617, 633, 761, 767, 775, 785, 839, ... | |
107 | 2, 19, 61, 68, 112, 157, 219, 349, 677, 692, 700, 809, 823, 867, 999, ... | |
109 | 12, 57, 72, 79, 89, 129, 158, 165, 239, 240, 260, 277, 313, 342, 421, 445, 577, 945, ... | |
113 | 86, 233, 266, 299, 334, 492, 592, 641, 656, 719, 946, ... | |
127 | 2, 5, 6, 47, 50, 126, 151, 226, 250, 401, 427, 473, 477, 486, 497, 585, 624, 644, 678, 685, 687, 758, 896, 897, 936, ... | |
131 | 7, 493, 567, 591, 593, 613, 764, 883, 899, 919, 953, ... | |
137 | 13, 166, 213, 355, 586, 669, 707, 768, 833, ... | |
139 | 11, 50, 221, 415, 521, 577, 580, 668, 717, 720, 738, 902, ... | |
149 | 5, 7, 68, 79, 106, 260, 319, 502, 550, 779, 855, ... | |
151 | 29, 55, 57, 160, 176, 222, 255, 364, 427, 439, 642, 660, 697, 863, ... | |
157 | 56, 71, 76, 181, 190, 317, 338, 413, 426, 609, 694, 794, 797, 960, ... | |
163 | 30, 62, 118, 139, 147, 291, 456, 755, 834, 888, 902, 924, ... | |
167 | 44, 45, 127, 175, 182, 403, 449, 453, 476, 571, 582, 700, 749, 764, 929, 957, ... | |
173 | 60, 62, 139, 141, 303, 313, 368, 425, 542, 663, ... | |
179 | 304, 478, 586, 942, 952, 975, ... | |
181 | 5, 37, 171, 427, 509, 571, 618, 665, 671, 786, ... | |
191 | 74, 214, 416, 477, 595, 664, 699, 712, 743, 924, ... | |
193 | 118, 301, 486, 554, 637, 673, 736, ... | |
197 | 33, 236, 248, 262, 335, 363, 388, 593, 763, 813, ... | |
199 | 156, 362, 383, 401, 442, 630, 645, 689, 740, 921, 936, 944, 983, 988, ... | |
211 | 46, 57, 354, 478, 539, 581, 653, 829, 835, 977, ... | |
223 | 183, 186, 219, 221, 661, 749, 905, 914, ... | |
227 | 72, 136, 235, 240, 251, 322, 350, 500, 523, 556, 577, 671, 688, 743, 967, ... | |
229 | 606, 725, 754, 858, 950, ... | |
233 | 602, ... | |
239 | 223, 260, 367, 474, 564, 862, ... | |
241 | 115, 163, 223, 265, 270, 330, 689, 849, ... | |
251 | 37, 246, 267, 618, 933, ... | |
257 | 52, 78, 435, 459, 658, 709, ... | |
263 | 104, 131, 161, 476, 494, 563, 735, 842, 909, 987, ... | |
269 | 41, 48, 294, 493, 520, 812, 843, ... | |
271 | 6, 21, 186, 201, 222, 240, 586, 622, 624, ... | |
277 | 338, 473, 637, 940, 941, 978, ... | |
281 | 217, 446, 606, 618, 790, 864, ... | |
283 | 13, 197, 254, 288, 323, 374, 404, 943, ... | |
293 | 136, 388, 471, ... |
Seznam základny připravených odměn
Nejmenší prime takhle je prime are (začněte , 0 pokud žádný takový není existuje)
- 3, 3, 0, 3, 3, 5, 3, 0, 19, 17, 3, 5, 3, 3, 0, 3, 25667, 19, 3, 3, 5, 5, 3, 0, 7, 3, 5, 5, 5, 7, 0, 3, 13, 313, 0, 13, 3, 349, 5, 3, 1319, 5, 5, 19, 7, 127, 19, 0, 3, 4229, 103, 11, 3, 17, 7, 3, 41, 3, 7, 7, 3, 5, 0, 19, 3, 19, 5, 3, 29, 3, 7, 5, 5, 3, 41, 3, 3, 5, 3, 0, 23, 5, 17, 5, 11, 7, 61, 3, 3, 4421, 439, 7, 5, 7, 3343, 17, 13, 3, 0, .. (sekvence A128164 v OEIS )
Nejmenší prime takhle je prime are (začněte , 0 pokud žádný takový není existuje, otazník, pokud je tento termín v současné době neznámý)
- 3, 3, 3, 5, 3, 3, 0, 3, 5, 5, 5, 3, 7, 3, 3, 7, 3, 17, 5, 3, 3, 11, 7, 3, 11, 0, 3, 7, 139, 109, 0, 5, 3, 11, 31, 5, 5, 3, 53, 17, 3, 5, 7, 103, 7, 5, 5, 7, 1153, 3, 7, 21943, 7, 3, 37, 53, 3, 17, 3, 7, 11, 3, 0, 19, 7, 3, 757, 11, 3, 5, 3, 7, 13, 5, 3, 37, 3, 3, 5, 3, 293, 19, 7, 167, 7, 7, 709, 13, 3, 3, 37, 89, 71, 43, 37,?, 19, 7, 3, .. (sekvence A084742 v OEIS )
čísla takhle je prvočíslo (některé velké výrazy odpovídají pouze pravděpodobné prvočísla, tyto jsou kontrolovány do 100 000) | OEIS sekvence | |
−50 | 1153, 26903, 56597, ... | A309413 |
−49 | 7, 19, 37, 83, 1481, 12527, 20149, ... | A237052 |
−48 | 2*, 5, 17, 131, 84589, ... | A236530 |
−47 | 5, 19, 23, 79, 1783, 7681, ... | A236167 |
−46 | 7, 23, 59, 71, 107, 223, 331, 2207, 6841, 94841, ... | A235683 |
−45 | 103, 157, 37159, ... | A309412 |
−44 | 2*, 7, 41233, ... | A309411 |
−43 | 5, 7, 19, 251, 277, 383, 503, 3019, 4517, 9967, 29573, ... | A231865 |
−42 | 2*, 3, 709, 1637, 17911, 127609, 172663, ... | A231604 |
−41 | 17, 691, 113749, ... | A309410 |
−40 | 53, 67, 1217, 5867, 6143, 11681, 29959, ... | A229663 |
−39 | 3, 13, 149, 15377, ... | A230036 |
−38 | 2*, 5, 167, 1063, 1597, 2749, 3373, 13691, 83891, 131591, ... | A229524 |
−37 | 5, 7, 2707, 163193, ... | A309409 |
−36 | 31, 191, 257, 367, 3061, 110503, ... | A229145 |
−35 | 11, 13, 79, 127, 503, 617, 709, 857, 1499, 3823, 135623, ... | A185240 |
−34 | 3, 294277, ... | |
−33 | 5, 67, 157, 12211, ... | A185230 |
−32 | 2* (žádné další) | |
−31 | 109, 461, 1061, 50777, ... | A126856 |
−30 | 2*, 139, 173, 547, 829, 2087, 2719, 3109, 10159, 56543, 80599, ... | A071382 |
−29 | 7, 112153, 151153, ... | A291906 |
−28 | 3, 19, 373, 419, 491, 1031, 83497, ... | A071381 |
−27 | (žádný) | |
−26 | 11, 109, 227, 277, 347, 857, 2297, 9043, ... | A071380 |
−25 | 3, 7, 23, 29, 59, 1249, 1709, 1823, 1931, 3433, 8863, 43201, 78707, ... | A057191 |
−24 | 2*, 7, 11, 19, 2207, 2477, 4951, ... | A057190 |
−23 | 11, 13, 67, 109, 331, 587, 24071, 29881, 44053, ... | A057189 |
−22 | 3, 5, 13, 43, 79, 101, 107, 227, 353, 7393, 50287, ... | A057188 |
−21 | 3, 5, 7, 13, 37, 347, 17597, 59183, 80761, 210599, 394579, ... | A057187 |
−20 | 2*, 5, 79, 89, 709, 797, 1163, 6971, 140053, 177967, 393257, ... | A057186 |
−19 | 17, 37, 157, 163, 631, 7351, 26183, 30713, 41201, 77951, 476929, ... | A057185 |
−18 | 2*, 3, 7, 23, 73, 733, 941, 1097, 1933, 4651, 481147, ... | A057184 |
−17 | 7, 17, 23, 47, 967, 6653, 8297, 41221, 113621, 233689, 348259, ... | A057183 |
−16 | 3, 5, 7, 23, 37, 89, 149, 173, 251, 307, 317, 30197, 1025393, ... | A057182 |
−15 | 3, 7, 29, 1091, 2423, 54449, 67489, 551927, ... | A057181 |
−14 | 2*, 7, 53, 503, 1229, 22637, 1091401, ... | A057180 |
−13 | 3, 11, 17, 19, 919, 1151, 2791, 9323, 56333, 1199467, ... | A057179 |
−12 | 2*, 5, 11, 109, 193, 1483, 11353, 21419, 21911, 24071, 106859, 139739, 495953, ... | A057178 |
−11 | 5, 7, 179, 229, 439, 557, 6113, 223999, 327001, ... | A057177 |
−10 | 5, 7, 19, 31, 53, 67, 293, 641, 2137, 3011, 268207, ... | A001562 |
−9 | 3, 59, 223, 547, 773, 1009, 1823, 3803, 49223, 193247, 703393, ... | A057175 |
−8 | 2* (žádné další) | |
−7 | 3, 17, 23, 29, 47, 61, 1619, 18251, 106187, 201653, 1178033, ... | A057173 |
−6 | 2*, 3, 11, 31, 43, 47, 59, 107, 811, 2819, 4817, 9601, 33581, 38447, 41341, 131891, 196337, 1313371, ... | A057172 |
−5 | 5, 67, 101, 103, 229, 347, 4013, 23297, 30133, 177337, 193939, 266863, 277183, 335429, 1856147, ... | A057171 |
−4 | 2*, 3 (žádné další) | |
−3 | 2*, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 281, 359, 487, 577, 1579, 1663, 1741, 3191, 9209, 11257, 12743, 13093, 17027, 26633, 104243, 134227, 152287, 700897, 1205459, ... | A007658 |
−2 | 3, 4*, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 79, 101, 127, 167, 191, 199, 313, 347, 701, 1709, 2617, 3539, 5807, 10501, 10691, 11279, 12391, 14479, 42737, 83339, 95369, 117239, 127031, 138937, 141079, 267017, 269987, 374321, 986191, 4031399, ..., 13347311, 13372531, ... | A000978 |
2 | 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609, ..., 57885161, ..., 74207281, ..., 77232917, ... | A000043 |
3 | 3, 7, 13, 71, 103, 541, 1091, 1367, 1627, 4177, 9011, 9551, 36913, 43063, 49681, 57917, 483611, 877843, 2215303, ... | A028491 |
4 | 2 (žádné další) | |
5 | 3, 7, 11, 13, 47, 127, 149, 181, 619, 929, 3407, 10949, 13241, 13873, 16519, 201359, 396413, 1888279, ... | A004061 |
6 | 2, 3, 7, 29, 71, 127, 271, 509, 1049, 6389, 6883, 10613, 19889, 79987, 608099, ... | A004062 |
7 | 5, 13, 131, 149, 1699, 14221, 35201, 126037, 371669, 1264699, ... | A004063 |
8 | 3 (žádné další) | |
9 | (žádný) | |
10 | 2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343, ... | A004023 |
11 | 17, 19, 73, 139, 907, 1907, 2029, 4801, 5153, 10867, 20161, 293831, ... | A005808 |
12 | 2, 3, 5, 19, 97, 109, 317, 353, 701, 9739, 14951, 37573, 46889, 769543, ... | A004064 |
13 | 5, 7, 137, 283, 883, 991, 1021, 1193, 3671, 18743, 31751, 101089, ... | A016054 |
14 | 3, 7, 19, 31, 41, 2687, 19697, 59693, 67421, 441697, ... | A006032 |
15 | 3, 43, 73, 487, 2579, 8741, 37441, 89009, 505117, 639833, ... | A006033 |
16 | 2 (žádné další) | |
17 | 3, 5, 7, 11, 47, 71, 419, 4799, 35149, 54919, 74509, ... | A006034 |
18 | 2, 25667, 28807, 142031, 157051, 180181, 414269, ... | A133857 |
19 | 19, 31, 47, 59, 61, 107, 337, 1061, 9511, 22051, 209359, ... | A006035 |
20 | 3, 11, 17, 1487, 31013, 48859, 61403, 472709, ... | A127995 |
21 | 3, 11, 17, 43, 271, 156217, 328129, ... | A127996 |
22 | 2, 5, 79, 101, 359, 857, 4463, 9029, 27823, ... | A127997 |
23 | 5, 3181, 61441, 91943, 121949, ... | A204940 |
24 | 3, 5, 19, 53, 71, 653, 661, 10343, 49307, 115597, 152783, ... | A127998 |
25 | (žádný) | |
26 | 7, 43, 347, 12421, 12473, 26717, ... | A127999 |
27 | 3 (žádné další) | |
28 | 2, 5, 17, 457, 1423, 115877, ... | A128000 |
29 | 5, 151, 3719, 49211, 77237, ... | A181979 |
30 | 2, 5, 11, 163, 569, 1789, 8447, 72871, 78857, 82883, ... | A098438 |
31 | 7, 17, 31, 5581, 9973, 101111, ... | A128002 |
32 | (žádný) | |
33 | 3, 197, 3581, 6871, 183661, ... | A209120 |
34 | 13, 1493, 5851, 6379, 125101, ... | A185073 |
35 | 313, 1297, ... | |
36 | 2 (žádné další) | |
37 | 13, 71, 181, 251, 463, 521, 7321, 36473, 48157, 87421, 168527, ... | A128003 |
38 | 3, 7, 401, 449, 109037, ... | A128004 |
39 | 349, 631, 4493, 16633, 36341, ... | A181987 |
40 | 2, 5, 7, 19, 23, 29, 541, 751, 1277, ... | A128005 |
41 | 3, 83, 269, 409, 1759, 11731, ... | A239637 |
42 | 2, 1319, ... | |
43 | 5, 13, 6277, 26777, 27299, 40031, 44773, ... | A240765 |
44 | 5, 31, 167, 100511, ... | A294722 |
45 | 19, 53, 167, 3319, 11257, 34351, ... | A242797 |
46 | 2, 7, 19, 67, 211, 433, 2437, 2719, 19531, ... | A243279 |
47 | 127, 18013, 39623, ... | A267375 |
48 | 19, 269, 349, 383, 1303, 15031, ... | A245237 |
49 | (žádný) | |
50 | 3, 5, 127, 139, 347, 661, 2203, 6521, ... | A245442 |
* Úhrady se záporným základem a rovnoměrné n jsou negativní. Pokud je jejich absolutní hodnota prvočíselná, jsou zahrnuty výše a označeny hvězdičkou. Nejsou zahrnuty v odpovídajících sekvencích OEIS.
Další informace viz.[7][8][9][10]
Algebraická faktorizace zobecněných čísel odměn
Li b je dokonalá síla (lze psát jako mn, s m, n celá čísla, n > 1) se liší od 1, pak existuje maximálně jedna odměna vb. Li n je hlavní síla (lze psát jako pr, s p primární, r celé číslo, p, r > 0), pak se všechny odměny v base-b nejsou prime stranou od Rp a R2. Rp mohou být buď primární nebo kompozitní, dřívější příklady, b = -216, -128, 4, 8, 16, 27, 36, 100, 128, 256 atd., Poslední příklady, b = −243, −125, −64, −32, −27, −8, 9, 25, 32, 49, 81, 121, 125, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 289 atd., a R2 může být prime (když p se liší od 2) pouze pokud b je záporná, například síla −2, b = −8, −32, −128, −8192 atd., Ve skutečnosti R2 může být také složený, například b = −512, −2048, −32768 atd. Pokud n není hlavní síla, pak žádná základnab repunit prime existuje například b = 64 729 (s n = 6), b = 1024 (s n = 10) a b = -1 nebo 0 (s n jakékoli přirozené číslo). Další zvláštní situace je b = −4k4, s k kladné celé číslo, které má aurifeuillská faktorizace, například, b = −4 (s k = 1, tedy R2 a R3 jsou prvočísla) a b = −64, −324, −1024, −2500, −5184, ... (s k = 2, 3, 4, 5, 6, ...), pak žádná základna-b repunit prime existuje. Rovněž se předpokládá, že když b není ani dokonalá síla, ani −4k4 s k kladné celé číslo, pak existuje nekonečno mnoho základ-b splácení prvočísel.
Zobecněný dohad o náhradě
Domněnka týkající se zobecněných úplatných prvočísel:[11][12] (domněnka předpovídá, kde je další zobecněný Mersennovo prvočíslo, je-li domněnka pravdivá, pak existuje nekonečně mnoho připravených prvočísel pro všechny báze )
Pro jakékoli celé číslo , který splňuje podmínky:
- .
- není dokonalá síla. (od kdy je perfektní Je možné ukázat, že existuje nanejvýš jedna hodnotu takovou je hlavní a toto hodnota je sám nebo a vykořenit z )
- není ve formě . (pokud ano, pak číslo aurifeuillská faktorizace )
zobecnil primární odměnu za formu
pro prime , prvočísla budou distribuována v blízkosti nejlépe vyhovující linie
kde limit ,
a je jich asi
základna-b splácení připravuje méně než N.
- je základ přirozeného logaritmu.
- je Euler – Mascheroniho konstanta.
- je logaritmus v základna
- je th generalizovaná odměna prime v základub (s prime p)
- je konstanta přizpůsobení dat, která se mění s .
- -li , -li .
- je největší přirozené číslo takové, že je th síla.
Máme také následující 3 vlastnosti:
- Počet prvočísel formuláře (s prime ) menší nebo rovno je o .
- Očekávaný počet prvočísel formuláře s prime mezi a je o .
- Pravděpodobnost, že číslo formuláře je prime (pro prime ) je o .
Dějiny
Ačkoliv tehdy nebyly známy pod tímto jménem, studovaly odměny v základně 10 mnoho matematiků během devatenáctého století ve snaze vypracovat a předpovědět cyklické vzorce opakování desetinných míst.[13]
Bylo zjištěno velmi brzy na to pro všechny prime p větší než 5, doba desítkové expanze 1 /p se rovná délce nejmenšího čísla návratnosti, které je dělitelné p. Tabulky období vzájemnosti prvočísel do 60 000 byly zveřejněny do roku 1860 a povolily faktorizace takovými matematiky, jako je Reuschle ze všech odměn až do R16 a mnoho větších. Dokonce do roku 1880 R17 na R36 byly zohledněny[13] a to je zvláštní, že Édouard Lucas neprokázaly žádné prvočíslo pod 3 miliony období devatenáct, až do počátku dvacátého století nedošlo k žádnému pokusu otestovat jakoukoli náhradu za primalitu. Dokázal to americký matematik Oscar Hoppe R19 být premiérem v roce 1916[14] a Lehmer a Kraitchik nezávisle našli R23 být premiérem v roce 1929.
K dalšímu pokroku ve studiu odměn došlo až v šedesátých letech, kdy počítače umožnily nalézt mnoho nových faktorů odměn a napravit mezery v dřívějších tabulkách hlavních období. R317 bylo zjištěno, že pravděpodobný prime kolem roku 1966 a byla prokázána jako jedenáct let později, kdy R1031 Ukázalo se, že je jediným dalším možným primárním splácením s méně než deseti tisíci číslic. Ukázalo se, že v roce 1986 bylo hlavní, ale hledání dalších hlavních odměn v následujícím desetiletí trvale selhalo. Došlo však k významnému vedlejšímu vývoji v oblasti generalizovaných odměn, který přinesl velké množství nových prvočísel a pravděpodobných prvočísel.
Od roku 1999 byly nalezeny další čtyři pravděpodobně prvotřídní odměny, ale je nepravděpodobné, že by se některému z nich v dohledné budoucnosti z důvodu jeho obrovské velikosti ukázalo, že je to prime.
The Cunninghamův projekt snaží se zdokumentovat celočíselné faktorizace (mimo jiné čísel) odměn na základnu 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11 a 12.
Demlo čísla
D. R. Kaprekar definoval Demlo čísla jako zřetězení levé, střední a pravé části, kde levá a pravá část musí mít stejnou délku (až k možné úvodní nule doleva) a musí sčítat až číslo opakovatelného čísla a střední část může obsahovat jakékoli další číslo této opakované číslice.[15] Jsou pojmenovány po Demlo tehdejší železniční stanice vzdálená 30 mil od Bombaje G.I.P. Železnice, kde je Kaprekar začal vyšetřovat. Volá Nádherná čísla Demlo ty z formy 1, 121, 12321, 1234321, ..., 12345678987654321. Skutečnost, že se jedná o druhou mocninu repunitů, vedla některé autory k tomu, aby nazývali Demlova čísla jejich nekonečnou posloupností[16], 1, 121, 12321, ..., 12345678987654321, 1234567900987654321, 123456790120987654321, ..., (sekvence A002477 v OEIS ), i když lze zkontrolovat, že nejde o čísla Demlo p = 10, 19, 28, ...
Viz také
- Všechny jeden polynom - Další zobecnění
- Goormaghigh dohad
- Opakování desetinného místa
- Repdigit
- Wagstaff prime - lze považovat za odměnu připravenou s záporný základ
Poznámky pod čarou
Poznámky
Reference
- ^ Beiler 2013, s. 83
- ^ Další informace viz Faktorizace čísel odměn.
- ^ Harvey Dubner, Nové Repunit R (109297)
- ^ Harvey Dubner, Limit hledání v jednotce
- ^ Maksym Voznyy, Nový PRP Repunit R (270343)
- ^ Chris Caldwell, “Hlavní glosář: odměna " na Prime Stránky.
- ^ Znovu sjednejte základny −50 až 50
- ^ Znovu sjednejte základní čísla 2 až 160
- ^ Znovu sjednejte základní částku od -160 do -2
- ^ Znovu sjednejte základní částku od -200 do -2
- ^ Odvození domněnky Wagstaff Mersenne
- ^ Zobecněný dohad o domněnce
- ^ A b Dickson & Cresse 1999, str. 164–167
- ^ Francis 1988, s. 240–246
- ^ Kaprekar 1938 , Gunjikar a Kaprekar 1939
- ^ Weisstein, Eric W. „Demlo Number“. MathWorld.
Reference
- Beiler, Albert H. (2013) [1964], Rekreace v teorii čísel: Královna matematiky baví, Dover Recreational Math (2. přepracované vydání), New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-21096-4
- Dickson, Leonard Eugene; Cresse, G.H. (1999-04-24), Dějiny teorie čísel, AMS Chelsea Publishing, svazek I (2. dotisk ed.), Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1934-0
- Francis, Richard L. (1988), „Mathematical Haystacks: Another Look at Repunit Numbers“, The College Mathematics Journal, 19 (3): 240–246
- Gunjikar, K. R.; Kaprekar, D. R. (1939), „Theory of Demlo numbers“ (PDF), Journal of the University of Bombay, VIII (3): 3–9
- Kaprekar, D. R. (1938), „On Wonderful Demlo numbers“, Student matematiky, 6: 68
- Kaprekar, D. R. (1938), "Demlo numbers", J. Phys. Sci. Univ. Bombaj, VII (3)
- Kaprekar, D. R. (1948), Demlo čísla, Devlali, Indie: Khareswada
- Ribenboim, Paulo (1996-02-02), Nová kniha rekordů prvočísel, Počítače a medicína (3. vydání), New York: Springer, ISBN 978-0-387-94457-9
- Yates, Samuel (1982), Znovu sjednává a opakuje FL: Delray Beach, ISBN 978-0-9608652-0-8
externí odkazy
- Weisstein, Eric W. „Opětovné sjednocení“. MathWorld.
- Hlavní tabulky z Cunninghamův projekt.
- Smířit na Prvotní stránky Chris Caldwell.
- Úhrady a jejich hlavní faktory na Svět čísel!.
- Prime generalizované odměny nejméně 1000 desetinných míst od Andy Stewarda
- Znovu připravit projekt Stránka připravených odměn Giovanniho Di Maria.
- Nejmenší liché prvočíslo p takové, že (b ^ p-1) / (b-1) a (b ^ p + 1) / (b + 1) je prvočíslo pro báze 2 <= b <= 1024
- Faktorizace čísel odměn
- Zobecněné základní odměny v základně -50 až 50