Hypergeometrická řada Lauricella - Lauricella hypergeometric series - Wikipedia

V roce 1893 Giuseppe Lauricella definoval a studoval čtyři hypergeometrická řada F_A, F_B, F_C, F_D tří proměnných. Oni jsou (Lauricella 1893 ):

${ displaystyle F_ {A} ^ {(3)} (a, b_ {1}, b_ {2}, b_ {3}, c_ {1}, c_ {2}, c_ {3}; x_ {1} , x_ {2}, x_ {3}) = sum _ {i_ {1}, i_ {2}, i_ {3} = 0} ^ { infty} { frac {(a) _ {i_ {1 } + i_ {2} + i_ {3}} (b_ {1}) _ {i_ {1}} (b_ {2}) _ {i_ {2}} (b_ {3}) _ {i_ {3} }} {(c_ {1}) _ {i_ {1}} (c_ {2}) _ {i_ {2}} (c_ {3}) _ {i_ {3}} , i_ {1}! , i_ {2}! , i_ {3}!}} , x_ {1} ^ {i_ {1}} x_ {2} ^ {i_ {2}} x_ {3} ^ {i_ {3}} }$

pro |X₁| + |X₂| + |X₃| <1 a

${ displaystyle F_ {B} ^ {(3)} (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, b_ {1}, b_ {2}, b_ {3}, c; x_ {1} , x_ {2}, x_ {3}) = sum _ {i_ {1}, i_ {2}, i_ {3} = 0} ^ { infty} { frac {(a_ {1}) _ { i_ {1}} (a_ {2}) _ {i_ {2}} (a_ {3}) _ {i_ {3}} (b_ {1}) _ {i_ {1}} (b_ {2}) _ {i_ {2}} (b_ {3}) _ {i_ {3}}} {(c) _ {i_ {1} + i_ {2} + i_ {3}} , i_ {1}! , i_ {2}! , i_ {3}!}} , x_ {1} ^ {i_ {1}} x_ {2} ^ {i_ {2}} x_ {3} ^ {i_ {3}} }$

pro |X₁| < 1, |X₂| < 1, |X₃| <1 a

${ displaystyle F_ {C} ^ {(3)} (a, b, c_ {1}, c_ {2}, c_ {3}; x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = součet _ {i_ {1}, i_ {2}, i_ {3} = 0} ^ { infty} { frac {(a) _ {i_ {1} + i_ {2} + i_ {3}} ( b) _ {i_ {1} + i_ {2} + i_ {3}}} {(c_ {1}) _ {i_ {1}} (c_ {2}) _ {i_ {2}} (c_ { 3}) _ {i_ {3}} , i_ {1}! , I_ {2}! , I_ {3}!}} , X_ {1} ^ {i_ {1}} x_ {2} ^ {i_ {2}} x_ {3} ^ {i_ {3}}}$

pro |X₁|^½ + |X₂|^½ + |X₃|^½ <1 a

${ displaystyle F_ {D} ^ {(3)} (a, b_ {1}, b_ {2}, b_ {3}, c; x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = součet _ {i_ {1}, i_ {2}, i_ {3} = 0} ^ { infty} { frac {(a) _ {i_ {1} + i_ {2} + i_ {3}} ( b_ {1}) _ {i_ {1}} (b_ {2}) _ {i_ {2}} (b_ {3}) _ {i_ {3}}} {(c) _ {i_ {1} + i_ {2} + i_ {3}} , i_ {1}! , i_ {2}! , i_ {3}!}} , x_ {1} ^ {i_ {1}} x_ {2} ^ {i_ {2}} x_ {3} ^ {i_ {3}}}$

pro |X₁| < 1, |X₂| < 1, |X₃| <1. Tady Pochhammer symbol (q)_i označuje i-th rostoucí faktoriál z q, tj.

${ displaystyle (q) _ {i} = q , (q + 1) cdots (q + i-1) = { frac { gama (q + i)} { gama (q)}} ~ ,}$

kde druhá rovnost platí pro všechny složité ${ displaystyle q}$ až na ${ displaystyle q = 0, -1, -2, ldots}$.

Tyto funkce lze rozšířit na další hodnoty proměnných X₁, X₂, X₃ pomocí analytické pokračování.

Lauricella také naznačila existenci deseti dalších hypergeometrických funkcí tří proměnných. Tito byli jmenováni F_E, F_F, ..., F_T a studoval Shanti Saran v roce 1954 (Saran 1954 ). Existuje tedy celkem 14 hypergeometrických funkcí Lauricella – Saran.

Zobecnění na n proměnné

Tyto funkce lze přímo rozšířit na n proměnné. Jeden například píše

${ displaystyle F_ {A} ^ {(n)} (a, b_ {1}, ldots, b_ {n}, c_ {1}, ldots, c_ {n}; x_ {1}, ldots, x_ {n}) = sum _ {i_ {1}, ldots, i_ {n} = 0} ^ { infty} { frac {(a) _ {i_ {1} + ldots + i_ {n }} (b_ {1}) _ {i_ {1}} cdots (b_ {n}) _ {i_ {n}}} {(c_ {1}) _ {i_ {1}} cdots (c_ { n}) _ {i_ {n}} , i_ {1}! cdots , i_ {n}!}} , x_ {1} ^ {i_ {1}} cdots x_ {n} ^ {i_ {n}} ~,}$

kde |X₁| + ... + |X_n| <1. I tyto zobecněné řady se někdy označují jako funkce Lauricella.

Když n = 2, funkce Lauricella odpovídají Appellova hypergeometrická řada dvou proměnných:

${ displaystyle F_ {A} ^ {(2)} equiv F_ {2}, quad F_ {B} ^ {(2)} equiv F_ {3}, quad F_ {C} ^ {(2) } equiv F_ {4}, quad F_ {D} ^ {(2)} equiv F_ {1}.}$

Když n = 1, všechny čtyři funkce se sníží na Gaussova hypergeometrická funkce:

${ displaystyle F_ {A} ^ {(1)} (a, b, c; x) equiv F_ {B} ^ {(1)} (a, b, c; x) equiv F_ {C} ^ {(1)} (a, b, c; x) equiv F_ {D} ^ {(1)} (a, b, c; x) equiv {_ {2}} F_ {1} (a, b; c; x).}$

Integrální zastoupení F_D

Analogicky s Appellova funkce F₁, Lauricella F_D lze napsat jako jednorozměrný Euler -typ integrální pro libovolné číslo n proměnných:

${ displaystyle F_ {D} ^ {(n)} (a, b_ {1}, ldots, b_ {n}, c; x_ {1}, ldots, x_ {n}) = { frac { Gamma (c)} { Gamma (a) Gamma (ca)}} int _ {0} ^ {1} t ^ {a-1} (1-t) ^ {ca-1} (1-x_ {1} t) ^ {- b_ {1}} cdots (1-x_ {n} t) ^ {- b_ {n}} , mathrm {d} t, qquad operatorname {Re} c> operatorname {Re} a> 0 ~.}$

Toto vyjádření lze snadno ověřit pomocí Taylorova expanze integrand, následovaná integrací termwise. Z reprezentace vyplývá, že neúplný eliptický integrál Π je zvláštní případ Lauricelliny funkce F_D se třemi proměnnými:

${ displaystyle Pi (n, phi, k) = int _ {0} ^ { phi} { frac { mathrm {d} theta} {(1-n sin ^ {2} theta ) { sqrt {1-k ^ {2} sin ^ {2} theta}}}} = sin ( phi) , F_ {D} ^ {(3)} ({ tfrac {1} {2}}, 1, { tfrac {1} {2}}, { tfrac {1} {2}}, { tfrac {3} {2}}; n sin ^ {2} phi, sin ^ {2} phi, k ^ {2} sin ^ {2} phi), qquad | operatorname {Re} phi | <{ frac { pi} {2}} ~.}$

Konečný součet řešení F_D

Případ 1: ${ displaystyle a> c}$, ${ displaystyle a-c}$ celé číslo

Jeden se může týkat F_D do Carlson R. funkce ${ displaystyle R_ {n}}$ přes

${ displaystyle F_ {D} (a, { overline {b}}, c, { overline {z}}) = R_ {ac} ({ overline {b ^ {*}}}, { overline { z ^ {*}}}) cdot prod _ {i} (z_ {i} ^ {*}) ^ {b_ {i} ^ {*}} = { frac { Gamma (a-c + 1 ) Gamma (b ^ {*})} { Gamma (a-c + b ^ {*})}} cdot D_ {ac} ({ overline {b ^ {*}}}, { overline { z ^ {*}}}) cdot prod _ {i} (z_ {i} ^ {*}) ^ {b_ {i} ^ {*}}}$

s iterační částkou

${ displaystyle D_ {n} ({ overline {b ^ {*}}}, { overline {z ^ {*}}}) = { frac {1} {n}} sum _ {k = 1 } ^ {n} left ( sum _ {i = 1} ^ {N} b_ {i} ^ {*} cdot (z_ {i} ^ {*}) ^ {k} right) cdot D_ {ki}}$ a ${ displaystyle D_ {0} = 1}$

kde lze využít funkci, kterou používá Carlson R. ${ displaystyle n> 0}$ má přesné zastoupení (viz ^[1] Pro více informací).

Vektory jsou definovány jako

${ displaystyle { overline {b ^ {*}}} = [{ overline {b}}, c- sum _ {i} b_ {i}]}$

${ displaystyle { overline {z ^ {*}}} = [{ frac {1} {1-z_ {1}}}, ldots, { frac {1} {1-z_ {N-1} }}, 1]}$

kde délka ${ displaystyle { overline {z}}}$ a ${ displaystyle { overline {b}}}$ je ${ displaystyle N-1}$, zatímco vektory ${ displaystyle { overline {z ^ {*}}}}$ a ${ displaystyle { overline {b ^ {*}}}}$ mít délku ${ displaystyle N}$.

Případ 2: ${ displaystyle c> a}$, ${ displaystyle c-a}$ celé číslo

V tomto případě existuje také známá analytická forma, ale je poměrně komplikované zapisovat a zahrnuje několik kroků. Viz ^[2] Pro více informací.

Reference

• Appell, Paul; Kampé de Fériet, Joseph (1926). Fonty hypergéométriques et hypersphériques; Polynômes d'Hermite (francouzsky). Paříž: Gauthier – Villars. JFM  52.0361.13.CS1 maint: ref = harv (odkaz) (viz str. 114)
• Exton, Harold (1976). Více hypergeometrických funkcí a aplikací. Matematika a její aplikace. Chichester, Velká Británie: Halsted Press, Ellis Horwood Ltd. ISBN  0-470-15190-0. PAN  0422713.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Lauricella, Giuseppe (1893). "Sulle funzioni ipergeometriche a più variabili". Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (v italštině). 7 (S1): 111–158. doi:10.1007 / BF03012437. JFM  25.0756.01.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Saran, Shanti (1954). "Hypergeometrické funkce tří proměnných". Ganita. 5 (1): 77–91. ISSN  0046-5402. PAN  0087777. Zbl  0058.29602.CS1 maint: ref = harv (odkaz) (oprava 1956 v Ganita 7, str. 65)
• Slater, Lucy Joan (1966). Zobecněné hypergeometrické funkce. Cambridge, Velká Británie: Cambridge University Press. ISBN  0-521-06483-X. PAN  0201688.CS1 maint: ref = harv (odkaz) (existuje brožovaná brožura z roku 2008 s ISBN  978-0-521-09061-2)
• Srivastava, Hari M .; Karlsson, Per W. (1985). Více Gaussova hypergeometrická řada. Matematika a její aplikace. Chichester, Velká Británie: Halsted Press, Ellis Horwood Ltd. ISBN  0-470-20100-2. PAN  0834385.CS1 maint: ref = harv (odkaz) (existuje další vydání s ISBN  0-85312-602-X)

• Ronald M. Aarts. „Lauricella Functions“. MathWorld.