Dvourozměrný prostor - Two-dimensional space - Wikipedia

Bi-dimenzionální Kartézský souřadnicový systém

Geometrie
Projektování A koule do a letadlo
Obrys Dějiny
Pobočky Euklidovský Neeuklidovský Eliptický Sférické Hyperbolický Non-Archimédova geometrie Projektivní Afinní Syntetický Analytický Algebraický Aritmetický Diofantin Rozdíl Riemannian Symplektický Diskrétní diferenciál Komplex Konečný Diskrétní / kombinatorické Digitální Konvexní Výpočetní Fraktál Incidence
Koncepty Funkce Dimenze Konstrukce pravítka a kompasu Úhel Křivka Úhlopříčka Ortogonalita (Kolmý ) Paralelní Vrchol Shoda Podobnost Symetrie
Zero-dimenzionální Směřovat
Jednorozměrný Čára segment paprsek Délka
Dvourozměrný Letadlo Plocha Polygon Trojúhelník Nadmořská výška Přepona Pythagorova věta Rovnoběžník Náměstí Obdélník Kosočtverec Kosodélník Čtyřúhelník Lichoběžník papírový drak Kruh Průměr Obvod Plocha
Trojrozměrný Objem Krychle kvádr Válec Pyramida Koule
Čtyři - / jinak-dimenzionální Tesseract Hypersféra
Geometry
podle jména Aida Aryabhata Ahmes Alhazen Apollonius Archimedes Atiyah Baudhayana Bolyai Brahmagupta Cartan Coxeter Descartes Euklid Euler Gauss Gromov Hilbert Jyeṣṭhadeva Katyjana Khayyám Klein Lobachevsky Manava Minkowski Minggatu Pascal Pythagoras Parameshvara Poincaré Riemann Sakabe Sijzi al-Tusi Veblen Virasena Yang Hui al-Yasamin Zhang Seznam geometrů
podle období BCE Ahmes Baudhayana Manava Pythagoras Euklid Archimedes Apollonius 1–1400 Zhang Katyjana Aryabhata Brahmagupta Virasena Alhazen Sijzi Khayyám al-Yasamin al-Tusi Yang Hui Parameshvara 1400–1700 Jyeṣṭhadeva Descartes Pascal Minggatu Euler Sakabe Aida 1700–1900 Gauss Lobachevsky Bolyai Riemann Klein Poincaré Hilbert Minkowski Cartan Veblen Coxeter Současnost Atiyah Gromov

Dvourozměrný prostor (také známý jako bi-dimenzionální prostor) je geometrické nastavení, ve kterém jsou dvě hodnoty (tzv parametry ) jsou určeny k určení polohy prvku (tj. směřovat ). Sada ℝ² dvojic reálných čísel s vhodnou strukturou často slouží jako kanonický příklad dvojrozměrného euklidovského prostoru. Zobecnění konceptu viz dimenze.

Na dvourozměrný prostor lze pohlížet jako na projekci fyzického vesmír na a letadlo. Obvykle je to považováno za Euklidovský prostor a tyto dva rozměry se nazývají délka a šířka.

Dějiny

Knihy I až IV a VI z Euklidovy prvky zabýval se dvojrozměrnou geometrií, rozvíjel takové pojmy jako podobnost tvarů, Pythagorova věta (Tvrzení 47), rovnost úhlů a oblastech, paralelismus, součet úhlů v trojúhelníku a tři případy, ve kterých jsou trojúhelníky „stejné“ (mají stejnou oblast), kromě mnoha dalších témat.

Později bylo letadlo popsáno v tzv Kartézský souřadnicový systém, a souřadnicový systém který určuje každý směřovat jedinečně v letadlo párem numerické souřadnice, což jsou podepsaný vzdálenosti od bodu ke dvěma pevným kolmý směrované čáry, měřené stejným způsobem jednotka délky. Každá referenční čára se nazývá a souřadnicová osa nebo prostě osa systému a bod, kde se setkají, je jeho původ, obvykle u objednaného páru (0, 0). Souřadnice lze také definovat jako polohy kolmé projekce bodu na dvě osy, vyjádřené jako podepsané vzdálenosti od počátku.

Myšlenka tohoto systému byla vyvinuta v roce 1637 ve spisech Descartes a nezávisle Pierre de Fermat, ačkoli Fermat také pracoval ve třech rozměrech, a nezveřejnil objev.^[1] Oba autoři použili při léčbě jednu osu a mají proměnnou délku měřenou ve vztahu k této ose. Koncept použití dvojice os byl představen později, po Descartově La Géométrie byl přeložen do latiny v roce 1649 autorem Frans van Schooten a jeho studenty. Tito komentátoři představili několik konceptů a pokusili se objasnit myšlenky obsažené v Descartově díle.^[2]

Později bylo letadlo považováno za pole, kde lze libovolné dva body vynásobit a kromě 0 rozdělit. Toto bylo známé jako složité letadlo. Komplexní rovině se někdy říká Argandova rovina, protože se používá v Argandových diagramech. Jsou pojmenovány po Jean-Robert Argand (1768–1822), ačkoli je poprvé popsal dánsko-norský zeměměřič a matematik Caspar Wessel (1745–1818).^[3] Argandové diagramy se často používají k vykreslení pozic póly a nuly a funkce v komplexní rovině.

V geometrii

Souřadnicové systémy

V matematice analytická geometrie (také nazývaný kartézská geometrie) popisuje každý bod ve dvourozměrném prostoru pomocí dvou souřadnic. Dva kolmé souřadnicové osy jsou uvedeny, které se navzájem kříží na původ. Obvykle jsou označeny X a y. Ve vztahu k těmto osám je poloha libovolného bodu v dvourozměrném prostoru dána uspořádanou dvojicí reálných čísel, přičemž každé číslo udává vzdálenost tohoto bodu od původ měřeno podél dané osy, která se rovná vzdálenosti tohoto bodu od druhé osy.

Další široce používaný souřadnicový systém je polární souřadnicový systém, který určuje bod, pokud jde o jeho vzdálenost od počátku a jeho úhel vzhledem k pravému referenčnímu paprsku.

• 

  Kartézský souřadnicový systém

• 

  Polární souřadnicový systém

Polytopes

Ve dvou dimenzích existuje nekonečně mnoho polytopů: polygony. Prvních několik pravidelných je zobrazeno níže:

Konvexní

The Schläfliho symbol {p} představuje a pravidelný str-gon.

název	Trojúhelník (2-simplexní )	Náměstí (2-orthoplex ) (2 kostky )	Pentagon	Šestiúhelník	Sedmiúhelník	Osmiúhelník
Schläfli	{3}	{4}	{5}	{6}	{7}	{8}
obraz
název	Nonagon	Decagon	Hendecagon	Dodekagon	Tridecagon	Tetradekagon
Schläfli	{9}	{10}	{11}	{12}	{13}	{14}
obraz
název	Pentadekagon	Hexadekagon	Heptadekagon	Octadecagon	Enneadecagon	Icosagon	...n-gon
Schläfli	{15}	{16}	{17}	{18}	{19}	{20}	{n}
obraz

Degenerát (sférický)

Pravidelný monogon (nebo henagon) {1} a pravidelné digon {2} lze považovat za zdegenerované pravidelné polygony a existují nedegenerativně v neeuklidovských prostorech jako 2 koule, 2-torus nebo pravý kruhový válec.

název	Monogon	Digone
Schläfli	{1}	{2}
obraz

Nekonvexní

Existuje nekonečně mnoho nekonvexních pravidelných polytopů ve dvou dimenzích, jejichž Schläfliho symboly se skládají z racionálních čísel {n / m}. Se nazývají hvězdné polygony a sdílet to samé uspořádání vrcholů konvexních pravidelných mnohoúhelníků.

Obecně platí, že pro každé přirozené číslo n existují n-konvexní nekonvexní pravidelné polygonální hvězdy se Schläfliho symboly {n/m} pro všechny m takhle m < n/ 2 (přísně vzato {n/m} = {n/(n − m)}) a m a n jsou coprime.

název	Pentagram	Heptagramy		Octagram	Enneagramy		Dekagram	...n-agramů
Schläfli	{5/2}	{7/2}	{7/3}	{8/3}	{9/2}	{9/4}	{10/3}	{n / m}
obraz

Kruh

The hypersféra ve 2 rozměrech je a kruh, někdy nazývaná 1 koule (S¹), protože je jednorozměrný potrubí. V euklidovské rovině má délku 2πr a plocha jeho interiér je

${ displaystyle A = pi r ^ {2}}$

kde ${ displaystyle r}$ je poloměr.

Jiné tvary

Existuje nekonečnost dalších zakřivených tvarů ve dvou rozměrech, zejména včetně kuželovité úseky: elipsa, parabola a hyperbola.

V lineární algebře

Další matematický způsob pohledu na dvourozměrný prostor se nachází v lineární algebra, kde je zásadní myšlenka nezávislosti. Rovina má dva rozměry, protože délka a obdélník je nezávislý na jeho šířce. V technickém jazyce lineární algebry je rovina dvourozměrná, protože každý bod v rovině lze popsat lineární kombinací dvou nezávislých vektory.

Tečkovaný produkt, úhel a délka

Tečkový produkt dvou vektorů A = [A₁, A₂] a B = [B₁, B₂] je definován jako:^[4]

${ displaystyle mathbf {A} cdot mathbf {B} = A_ {1} B_ {1} + A_ {2} B_ {2}}$

Vektor lze zobrazit jako šipka. Jeho velikost je jeho délka a jeho směr je směr, na který ukazuje šipka. Velikost vektoru A je označen ${ displaystyle | mathbf {A} |}$. V tomto pohledu jde o bodový produkt dvou euklidovských vektorů A a B je definováno^[5]

${ displaystyle mathbf {A} cdot mathbf {B} = | mathbf {A} | , | mathbf {B} | cos theta,}$

kde θ je úhel mezi A a B.

Tečkový produkt vektoru A samo o sobě je

${ displaystyle mathbf {A} cdot mathbf {A} = | mathbf {A} | ^ {2},}$

který dává

${ displaystyle | mathbf {A} | = { sqrt { mathbf {A} cdot mathbf {A}}},}$

vzorec pro Euklidovská délka vektoru.

V počtu

Spád

V pravoúhlém souřadnicovém systému je gradient dán vztahem

${ displaystyle nabla f = { frac { částečné f} { částečné x}} mathbf {i} + { frac { částečné f} { částečné y}} mathbf {j}}$

Line integrály a dvojité integrály

Pro některé skalární pole F : U ⊆ R² → R, čára integrální podél a po částech hladké křivka C ⊂ U je definován jako

${ displaystyle int limity _ {C} f , ds = int _ {a} ^ {b} f ( mathbf {r} (t)) | mathbf {r} '(t) | , dt.}$

kde r: [a, b] → C je libovolný bijektivní parametrizace křivky C takhle r(A) a r(b) uveďte koncové body C a ${ displaystyle a$.

Pro vektorové pole F : U ⊆ R² → R², čára integrální podél a po částech hladký křivka C ⊂ U, ve směru r, je definován jako

${ displaystyle int limity _ {C} mathbf {F} ( mathbf {r}) cdot , d mathbf {r} = int _ {a} ^ {b} mathbf {F} ( mathbf {r} (t)) cdot mathbf {r} '(t) , dt.}$

kde je Tečkovaný produkt a r: [a, b] → C je bijektivní parametrizace křivky C takhle r(A) a r(b) uveďte koncové body C.

A dvojitý integrál odkazuje na integrální v rámci regionu D v R² a funkce ${ displaystyle f (x, y),}$ a obvykle se píše jako:

${ displaystyle iint limity _ {D} f (x, y) , dx , dy.}$

Základní věta lineárních integrálů

The základní věta lineárních integrálů říká, že a linka integrální přes a spád pole lze vyhodnotit vyhodnocením původního skalárního pole v koncových bodech křivky.

Nechat ${ displaystyle varphi: U subseteq mathbb {R} ^ {2} to mathbb {R}}$. Pak

${ displaystyle varphi left ( mathbf {q} right) - varphi left ( mathbf {p} right) = int _ { gamma [ mathbf {p}, , mathbf {q }]} nabla varphi ( mathbf {r}) cdot d mathbf {r}.}$

Greenova věta

Nechat C být pozitivně orientované, po částech hladké, jednoduchá uzavřená křivka v letadlo a nechte D být region ohraničený C. Li L a M jsou funkce (X, y) definované na otevřený region obsahující D a mít kontinuální částečné derivace tam tedy^[6][7]

${ displaystyle mast _ {C} (L , dx + M , dy) = iint _ {D} vlevo ({ frac { částečné M} { částečné x}} - { frac { částečné L} { částečné y}} pravé) , dx , dy}$

kde je cesta integrace podél C proti směru hodinových ručiček.

V topologii

v topologie, letadlo je charakterizováno jako jedinečné smluvní 2-potrubí.

Jeho rozměr je charakterizován skutečností, že odstranění bodu z roviny ponechá prostor, který je spojen, ale ne jednoduše připojeno.

V teorii grafů

v teorie grafů, a rovinný graf je graf to může být vložený v rovině, tj. lze ji rovinou nakreslit tak, že se její hrany protínají pouze v jejich koncových bodech. Jinými slovy to lze nakreslit tak, aby se žádné hrany nepřekřížily.^[8] Takový výkres se nazývá a rovinný graf nebo rovinné vložení grafu. Rovinný graf lze definovat jako rovinný graf s mapováním od každého uzlu k bodu v rovině a od každé hrany k rovinná křivka v této rovině tak, že krajní body každé křivky jsou body mapované z jejích koncových uzlů a všechny křivky jsou disjunktní kromě jejich krajních bodů.

Viz také

• Funkce obrazu

Reference