Repdigit - Repdigit

v rekreační matematika, a oprava nebo někdy monodigit^[1] je přirozené číslo složený z opakovaných instancí stejné číslice v a systém pozičních čísel (často implicitně desetinný ). Slovo je a portmanteau z repjedl a číslice.Příklady jsou 11, 666, 4444, a 999999. Všechny číslice jsou palindromická čísla a jsou násobky odměny. Mezi další známá repdigity patří splácení prvočísel a zejména Mersenne připraví (což jsou repdigity, jsou-li zastoupeny v binární podobě).

Repdigits jsou zastoupení v základna ${ displaystyle B}$ čísla ${ displaystyle x { frac {B ^ {y} -1} {B-1}}}$ kde ${ displaystyle 0$ je opakovaná číslice a ${ displaystyle 1$ je počet opakování. Například repdigit 77777 v základně 10 je ${ displaystyle 7 krát { frac {10 ^ {5} -1} {10-1}}}$.

Variace repdigitů Brazilská čísla jsou čísla, která lze zapsat jako repdigit v nějaké základně, což neumožňuje repdigit 11. Například 27 je brazilské číslo, protože 27 je repdigit 33 v základně 8, zatímco 9 není brazilské číslo, protože jeho jediná repdigitová reprezentace je 11₈, není povoleno v definici brazilských čísel. Reprezentace formy 11 jsou považovány za triviální a jsou v definici brazilských čísel zakázány, protože všechna přirozená čísla n větší než dva mají zastoupení 11_{n − 1}.^[2] Prvních dvacet brazilských čísel je

7, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 31, 32, 33, ... (sekvence A125134 v OEIS ).

Dějiny

Koncept repigmentu byl pod tímto názvem studován přinejmenším od roku 1974,^[3] a dříve Beiler (1966) nazval je „monodigitová čísla“.^[1] Brazilská čísla byla představena později, v roce 1994, na 9. iberoamerické matematické olympiádě, která se konala v Fortaleza v Brazílii. První problém v této soutěži, který navrhlo Mexiko, byl následující:^[4]

Číslo n > 0 se nazývá „brazilský“, pokud existuje celé číslo b takhle 1 < b < n – 1 pro které je zastoupení n v základně b je psáno se všemi stejnými číslicemi. Dokažte, že rok 1994 je brazilský a rok 1993 není brazilský.

Prémie a odměny

Má-li být repdigit prvočíslo, musí to být a odměna a mají v základně hlavní počet číslic. Zejména vzhledem k tomu, že brazilské odměny neumožňují, aby počet číslic byl přesně dva, brazilská prvočísla musí mít lichý primární počet číslic.^[5] Mít lichý prvočíselný počet číslic nestačí k zajištění toho, že odměna je prvočíslo; například 21 = 111₄ = 3 × 7 a 111 = 111₁₀ = 3 × 37 nejsou prvočísla. V jakékoli dané základně b, každá odměna prime v této základně s výjimkou 11_b (je-li hlavní) je brazilský. Nejmenší brazilská prvočísla jsou

7 = 111₂, 13 = 111₃, 31 = 11111₂ = 111₅, 43 = 111₆, 73 = 111₈, ... (sekvence A085104 v OEIS )

Zatímco součet převrácených čísel prvočísel je divergentní řada, součet převrácených čísel brazilských prvočísel je konvergentní řada, jejíž hodnota zvaná „brazilská prvočíselná konstanta“ je o něco větší než 0,33 (posloupnost A306759 v OEIS ).^[6] Tato konvergence znamená, že brazilská prvočísla tvoří mizivě malý zlomek všech prvočísel. Například mezi 3,7 × 10¹⁰ prvočísla pod 10¹², pouze 8,8 × 10⁴ jsou brazilští.

The desetinný odměny za odměnu mají formu ${ displaystyle R_ {n} = { tfrac {10 ^ {n} -1} {9}} { mbox {with}} n geq 3}$ pro hodnoty n uvedené v OEIS: A004023. Předpokládalo se, že existuje nekonečně mnoho desetinných odměn za odměnu.^[7] The binární odměny jsou Mersennova čísla a binární připravená prvočísla jsou Mersenne připraví.

Není známo, zda existuje nekonečně mnoho brazilských prvočísel. Pokud Dohoda Bateman – Horn je pravda, pak pro každý primární počet číslic by existovalo nekonečně mnoho připravených prvočísel s tímto počtem číslic (a následně nekonečně mnoho brazilských prvočísel). Alternativně, pokud existuje nekonečně mnoho desetinných prvočíselných odměn, nebo nekonečně mnoho Mersennových prvočísel, pak existuje nekonečně mnoho brazilských prvočísel.^[8] Protože mizivě malý zlomek prvočísel je brazilský, existuje nekonečně mnoho jiných než brazilských prvočísel, které tvoří posloupnost

2, 3, 5, 11, 17, 19, 23, 29, 37, 41, 47, 53, ... (sekvence A220627 v OEIS )

Pokud Číslo Fermata ${ displaystyle F_ {n} = 2 ^ {2 ^ {n}} + 1}$ je hlavní, není brazilský, ale pokud je složený, je brazilský.^[9]V rozporu s předchozí domněnkou,^[10] Resta, Marcus, Grantham a Graves našli příklady Sophie Germain připravuje které jsou brazilské, včetně 28792661 = 11111₇₃.^[11]

Jiné než brazilské kompozity a schopnosti splácení

Jedinými kladnými celými čísly, která mohou být jiná než brazilská, jsou 1, 6, prvočísla a druhé mocniny prvočísel, protože každé další číslo je součinem dvou faktorů X a y s 1 < X < y - 1, a lze jej zapsat jako xx v základně y − 1.^[12] Pokud je čtverec prvočísla p² je brazilský, pak prime p musí uspokojit Diophantine rovnice

Norský matematik Trygve Nagell se ukázalo^[13] že tato rovnice má pouze jedno řešení, když p je prvočíslo odpovídající (p, b, q) = (11, 3, 5). Jediným čtvercovým prvočíslem, které je brazilské, je tedy 11² = 121 = 11111₃Existuje ještě jeden netriviální čtverec odměny, řešení (p, b, q) = (20, 7, 4) odpovídající 20² = 400 = 1111₇, ale není to výjimečné, pokud jde o klasifikaci brazilských čísel, protože 20 není prvočíslo.

Perfektní síly, které jsou opakováním se třemi nebo více číslicemi v nějaké základně b jsou popsány v Diophantine rovnice Nagell a Ljunggren^[14]

Yann Bugeaud a Maurice Mignotte se domnívají, že brazilskými odměnami jsou pouze tři dokonalé síly. Jsou to 121, 343 a 400, dva čtverce uvedené výše a krychle 343 = 7³ = 111₁₈.^[15]

k-Brazilská čísla

• Počet způsobů, jako je číslo n je brazilský je v OEIS: A220136. Proto existují čísla, která nejsou brazilská, a další, která jsou brazilská; mezi těmito posledními celými čísly jsou některá jednou brazilská, jiná dvakrát brazilská nebo třikrát nebo více. Číslo, které je k krát brazilský k-brazilské číslo.

• Non-brazilská čísla nebo čísla 0-Brazilský jsou složeny z 1 a 6, spolu s některými prvočísly a čtverci prvočísel. Posloupnost jiných než brazilských čísel začíná 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 17, 19, 23, 25,… (posloupnost A220570 v OEIS ).

• Posloupnost 1-Brazilská čísla se skládá z dalších prvočísel, jediného čtverce prvočísla, který je brazilský, 121 a složených čísel ≥ 8 které jsou výsledkem pouze dvou odlišných faktorů, jako je tento n = A × b = aa_b–1 s 1 < A < b – 1. (sekvence A288783 v OEIS ).

• 2-Brazilská čísla (sekvence A290015 v OEIS ) se skládá z kompozitů a pouze ze dvou prvočísel: 31 a 8191. Ve skutečnosti podle Goormaghigh dohad, tato dvě prvočísla jsou jedinými známými řešeními Diophantine rovnice:
  ${ displaystyle p = { frac {x ^ {m} -1} {x-1}} = { frac {y ^ {n} -1} {y-1}}}$ s X, y > 1 a n, m > 2 :
  • (p, X, y, m, n) = (31, 5, 2, 3, 5) odpovídající 31 = 11111₂ = 111₅, a,
  • (p, X, y, m, n) = (8191, 90, 2, 3, 13) odpovídající 8191 = 1111111111111₂ = 111₉₀, s 11111111111 je odměna se třinácti číslicemi 1.

• Pro každou sekvenci k-brazilská čísla, existuje nejmenší výraz. Sekvence s těmito nejmenšími k-Brazilská čísla začínají 1, 7, 15, 24, 40, 60, 144, 120, 180, 336, 420, 360, ... a jsou v OEIS: A284758. Například 40 je nejmenší 4-brazilské číslo s 40 = 1111₃ = 55₇ = 44₉ = 22₁₉.

• V Dictionnaire de (presque) tous les nombres entiers,^[16] Daniel Lignon navrhuje, aby celé číslo bylo vysoce brazilský pokud se jedná o kladné celé číslo s více brazilskými reprezentacemi než jakékoli menší kladné celé číslo. Tato definice pochází z definice vysoce složená čísla vytvořil Srinivasa Ramanujan v roce 1915. První čísla vysoce brazilský jsou 1, 7, 15, 24, 40, 60, 120, 180, 336, 360, 720, ... a jsou přesně v OEIS: A329383. Od 360 do 321 253 732 800 (možná více) existuje 80 po sobě jdoucích vysoce složených čísel, která jsou také vysoce brazilskými čísly, viz OEIS: A279930.

Reference

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Repdigit“. MathWorld.
• Problemas IX Olimpíada Iberoamericana de Matemática