Prvočísla v aritmetickém postupu - Primes in arithmetic progression

v teorie čísel, prvočísla v aritmetické posloupnosti jsou nějaké sekvence nejméně tří prvočísla to jsou po sobě jdoucí termíny v aritmetický postup. Příkladem je posloupnost prvočísel (3, 7, 11), která je dána vztahem ${displaystyle a_ {n} = 3 + 4n}$ pro ${displaystyle 0leq nleq 2}$.

Podle Věta o Green-Tao, existují libovolně dlouhá posloupnosti prvočísel v aritmetické posloupnosti. Někdy může být fráze použita také o prvočíslech, která patří do aritmetického postupu, který také obsahuje složená čísla. Například jej lze použít o prvočísla v aritmetickém postupu formuláře ${displaystyle an + b}$, kde A a b jsou coprime který podle Dirichletova věta o aritmetických postupech obsahuje nekonečně mnoho prvočísel a nekonečně mnoho kompozitů.

Pro celé číslo k ≥ 3, an AP-k (také zvaný PAP-k) je libovolná posloupnost k prvočísla v aritmetické posloupnosti. Zdřímnutí-k lze psát jako k prvočísla formy A·n + b, pro pevná celá čísla A (nazývá se společný rozdíl) a b, a k po sobě jdoucí celočíselné hodnoty n. Zdřímnutí-k je obvykle vyjádřeno pomocí n = 0 až k - 1. Toho lze vždy dosáhnout definováním b být prvním prvkem v aritmetickém postupu.

Vlastnosti

Jakýkoli daný aritmetický postup prvočísel má konečnou délku. V roce 2004 Ben J. Green a Terence Tao usadil starý dohad prokázáním Věta o Green-Tao: Prvočísla obsahují libovolně dlouhá aritmetické průběhy.^[1] Okamžitě z toho vyplývá, že existuje nekonečně mnoho AP-k pro všechny k.

Pokud AP-k nezačíná prvočíslem k, pak společný rozdíl je násobkem primitivní k# = 2·3·5·...·j, kde j je největší prvočíslo ≤ k.

Důkaz: Nechte AP-k být A·n + b pro k po sobě jdoucí hodnoty n. Je-li hlavní str nerozděluje A, pak modulární aritmetika říká to str rozdělí každý p 'th termín aritmetické progrese. (Od HJ Weber, Cor.10 v dokumentu „Exceptional Prime Number Twins, Triplets and Multiplets,“ arXiv: 1102.3075 [math.NT]. Viz také Theor.2.3 v části „Regularities of Twin, Triplet and Multiplet Prime Numbers“, arXiv : 1103.0447 [math.NT], Global JPAMath 8 (2012), v tisku.) Pokud je AP hlavním k po sobě jdoucích hodnot A musí být tedy dělitelná všemi prvočísly str ≤ k.

To také ukazuje, že AP se společným rozdílem A nemůže obsahovat více po sobě jdoucích prvočísel, než je hodnota nejmenšího prvočísla, které se nedělí A.

Li k je prime pak AP-k může začít k a mají společný rozdíl, který je pouze násobkem (k-1) # místo k#. (Od HJ Webera, „Méně pravidelné výjimečné a opakující se multiplety prvočísel“, arXiv: 1105.4092 [math.NT], oddíl 3.) Například AP-3 s prvočísly {3, 5, 7} a společným rozdílem 2 # = 2 nebo AP-5 s prvočísly {5, 11, 17, 23, 29} a společným rozdílem 4 # = 6. Předpokládá se, že takové příklady existují pro všechna prvočísla k. Od roku 2018^{[Aktualizace]}, největší vrchol, u kterého je to potvrzeno, je k = 19, pro tento AP-19 nalezený Wojciechem Iżykowskim v roce 2013:

19 + 4244193265542951705 · 17 # · n, pro n = 0 až 18.^[2]

Vyplývá to ze široce věřených domněnek, jako např Dicksonova domněnka a některé varianty připravte domněnku k-n-tice, to když str > 2 je nejmenší prvočíslo, které se nedělí A, pak je nekonečně mnoho AP- (str-1) se společným rozdílem A. Například 5 je nejmenší prvočíslo nerozdělující 6, takže se očekává nekonečně mnoho AP-4 se společným rozdílem 6, kterému se říká a sexy prime čtyřče. Když A = 2, str = 3, to je dvojče hlavní domněnka, s „AP-2“ 2 prvočísel (b, b + 2).

Minimální prvočísla v AP

Minimalizujeme poslední termín.^[3]

Největší známá prvočísla v AP

Pro nejlepší q, q# označuje primitivní 2·3·5·7·...·q.

Od září 2019^{[Aktualizace]}, nejdelší známý AP-k je AP-27. Pro AP-26 je známo několik příkladů. První, kdo byl objeven, našel 12. dubna 2010 Benoãt Perichon na a PlayStation 3 se softwarem od Jarosława Wróblewského a Geoffa Reynoldse, portovaný na PlayStation 3 Bryanem Littleem, v distribuovaném PrimeGrid projekt:^[2]

43142746595714191 + 23681770·23#·n, pro n = 0 až 25. (23 # = 223092870) (sekvence A204189 v OEIS )

V době, kdy byl nalezen první AP-26, bylo vyhledávání rozděleno na 131 436 182 segmentů podle PrimeGrid^[4] a zpracovány 32 / 64bitovými CPU, Nvidia CUDA GPU a Mikroprocesory buněk okolo světa.

Před tím byl záznam AP-25 nalezený Raananem Chermonim a Jarosławem Wróblewskim dne 17. května 2008:^[2]

6171054912832631 + 366384·23#·n, pro n = 0 až 24. (23 # = 223092870)

Hledání AP-25 bylo rozděleno do segmentů, což trvalo přibližně 3 minuty Athlon 64 a Wróblewski uvedl: „Myslím, že Raanan prošel méně než 10 000 000 takových segmentů“^[5] (na Athlonu 64 by to trvalo asi 57 let CPU).

Dřívější záznam byl AP-24 nalezený samotným Jarosławem Wróblewskim 18. ledna 2007:

468395662504823 + 205619·23#·n, pro n = 0 až 23.

Wróblewski uvedl, že použil celkem 75 počítačů: 15 64bitových Athlons, 15 dvoujádrových 64bitových Pentium D 805, 30 32bitových Athlonů 2500 a 15 Durons 900.^[6]

Následující tabulka ukazuje největší známý AP-k s rokem objevu a počtem desetinný číslice v koncovém prvočísle. Všimněte si, že největší známý AP-k může být konec AP- (k+1). Někteří zakladatelé záznamů se rozhodnou nejprve vypočítat velkou sadu prvočísel formy C·str# + 1 s pevnou stra poté vyhledejte AP mezi hodnotami C který produkoval prime. To se odráží ve výrazu u některých záznamů. Výraz lze snadno přepsat na A·n + b.

Postupná prvočísla v aritmetickém postupu

Postupná prvočísla v aritmetickém postupu označuje nejméně tři po sobě prvočísla, která jsou po sobě jdoucími členy v aritmetické posloupnosti. Všimněte si, že na rozdíl od AP-k, všechna ostatní čísla mezi podmínkami postupu musí být složená. Například AP-3 {3, 7, 11} se nekvalifikuje, protože 5 je také prvočíslo.

Pro celé číslo k ≥ 3, a CPAP-k je k po sobě jdoucí prvočísla v aritmetické posloupnosti. Předpokládá se, že existují libovolně dlouhé CPAP. To by znamenalo nekonečně mnoho CPAP-k pro všechny k. Střední prime v CPAP-3 se nazývá a vyvážený prime. Největší známý od roku 2018^{[Aktualizace]} má 10546 číslic.

První známý CPAP-10 byl nalezen v roce 1998 Manfredem Toplicem v USA distribuované výpočty projekt CP10, který organizovali Harvey Dubner, Tony Forbes, Nik Lygeros, Michel Mizony a Paul Zimmermann.^[7] Tento CPAP-10 má nejmenší možný společný rozdíl, 7 # = 210. Jediný další známý CPAP-10 od roku 2018 našli stejní lidé v roce 2008.

Pokud CPAP-11 existuje, musí mít společný rozdíl, který je násobkem 11 # = 2310. Rozdíl mezi prvním a posledním z 11 prvočísel by tedy byl násobkem 23100. Požadavek na nejméně 23090 složených čísel mezi 11 prvočísly je velmi obtížné najít CPAP-11. Dubner a Zimmermann odhadují, že by to bylo nejméně 10¹² krát těžší než CPAP-10.^[8]

Minimální po sobě jdoucí prvočísla v AP

První výskyt CPAP-k je znám pouze pro k ≤ 6 (sekvence A006560 v OEIS ).

Největší známá po sobě jdoucí prvočísla v AP

Tabulka ukazuje největší známý případ k po sobě jdoucí prvočísla v aritmetickém postupu, pro k = 3 až 10.

X_d je d-místné číslo použité v jednom z výše uvedených záznamů k zajištění malého faktoru v neobvykle mnoha požadovaných kompozitech mezi prvočísly.
X₇₇ = 54538241683887582 668189703590110659057865934764 604873840781923513421103495579
X₈₇ = 279872509634587186332039135 414046330728180994209092523040 703520843811319320930380677867
X₉₉ = 158794709 618074229409987416174386945728 371523590452459863667791687440 944143462160821328735143564091
X₂₅₃ = 1617599298905 320471304802538356587398499979 836255156671030473751281181199 911312259550734373874520536148 519300924327947507674746679858 816780182478724431966587843672 408773388445788142740274329621 811879827349575247851843514012 399313201211101277175684636727

Viz také

• Cunninghamův řetěz
• Szemerédiho věta
• PrimeGrid
• Problémy spojené s aritmetickými průběhy

Poznámky

Reference

• Chris Caldwell, Hlavní glosář: aritmetická posloupnost, Prvních dvacet: Aritmetický postup prvočísel a Prvních dvacet: Po sobě jdoucí prvočísla v aritmetické progresi, vše z Prime Stránky.
• Weisstein, Eric W. „Prime Arithmetic Progression“. MathWorld.
• Jarosław Wróblewski, Jak hledat 26 prvočísel v aritmetické posloupnosti?
• P. Erdős a P. Turán, O některých sekvencích celých čísel, J. London Math. Soc. 11 (1936), 261–264.