Pokračující zlomek - Continued fraction

${ displaystyle a_ {0} + { cfrac {1} {a_ {1} + { cfrac {1} {a_ {2} + { cfrac {1} { ddots + { cfrac {1} {a_ {n}}}}}}}}}}$

Konečný zlomek, kde ${ displaystyle n}$ je nezáporné celé číslo, ${ displaystyle a_ {0}}$ je celé číslo a ${ displaystyle a_ {i}}$ je kladné celé číslo pro ${ displaystyle i = 1, ldots, n}$.

v matematika, a pokračující zlomek je výraz získané prostřednictvím iterativní proces reprezentace čísla jako jeho součtu celá část a reciproční jiného čísla, pak toto další číslo zapíšete jako součet jeho celočíselné části a jiného převráceného atd.^[1] V konečný zlomek (nebo ukončená pokračující frakce), iterace /rekurze je ukončen po konečně mnoha krocích pomocí celého čísla namísto dalšího pokračujícího zlomku. Naproti tomu an nekonečný pokračující zlomek je nekonečný výraz. V obou případech musí být všechna celá čísla v pořadí, jiná než první pozitivní. Celá čísla ${ displaystyle a_ {i}}$ se nazývají koeficienty nebo podmínky pokračující frakce.^[2]

Pokračující zlomky mají řadu pozoruhodných vlastností souvisejících s Euklidovský algoritmus pro celá čísla nebo reálná čísla. Každý racionální číslo ${ displaystyle p}$/${ displaystyle q}$ má dva úzce související výrazy jako konečný zlomek, jehož koeficienty A_i lze určit použitím euklidovského algoritmu na ${ displaystyle (p, q)}$. Numerická hodnota nekonečného pokračujícího zlomku je iracionální; je definován ze své nekonečné posloupnosti celých čísel jako omezit posloupnosti hodnot pro konečné zlomky. Každá konečná pokračující část posloupnosti se získá použitím konečné předpona nekonečné pokračující zlomky definující posloupnost celých čísel. Navíc každé iracionální číslo ${ displaystyle alpha}$ je hodnota a unikátní nekonečný pokračující zlomek, jehož koeficienty lze najít pomocí nekončící verze euklidovského algoritmu aplikovaného na nesouměřitelný hodnoty ${ displaystyle alpha}$ a 1. Tento způsob vyjádření reálných čísel (racionálních a iracionálních) se nazývá jejich pokračující reprezentace zlomku.

Obecně se předpokládá, že čitatel všech zlomků je 1. Pokud jsou libovolné hodnoty a / nebo funkce jsou použity místo jednoho nebo více čitatelů nebo celých čísel ve jmenovatelích, výsledný výraz je a zobecněná pokračující frakce. Pokud je nutné odlišit první formu od zobecněných pokračujících zlomků, lze první pojmenovat a jednoduchý nebo pravidelný pokračující zlomek, nebo řekl, aby byl v kanonická forma.

Termín pokračující zlomek může také odkazovat na vyjádření racionální funkce, vznikající v jejich analytická teorie. Pro toto použití termínu viz Aproximace Padé a Čebyševovy racionální funkce.

Motivace a notace

Zvažte například racionální číslo 415/93, což je kolem 4,4624. Jako první přiblížení, začněte 4, což je celá část; 415/93 = 4 + 43/93. Frakční část je reciproční z 93/43 což je asi 2,1628. Použijte celočíselnou část 2 jako aproximaci pro reciproční, abyste získali druhou aproximaci 4 + 1/2 = 4.5; 93/43 = 2 + 7/43Zbývající zlomková část, 7/43, je reciproční 43/7, a 43/7 je kolem 6,1429. Pro získání použijte 6 jako aproximaci 2 + 1/6 jako aproximace pro 93/43 a 4 + 1/2 + 1/6, asi 4,4615, jako třetí aproximace; 43/7 = 6 + 1/7. Nakonec zlomková část, 1/7, je převrácená hodnota 7, takže její aproximace v tomto schématu, 7, je přesná (7/1 = 7 + 0/1) a vytvoří přesný výraz 4 + 1/2 + 1/6 + 1/7 pro 415/93.

Výraz 4 + 1/2 + 1/6 + 1/7 se nazývá pokračující zlomková reprezentace 415/93. To lze vyjádřit zkrácenou notací 415/93 = [4; 2, 6, 7]. (Obvykle se nahrazuje pouze za prvé Čárka středníkem.) Některé starší učebnice používají všechny čárky v (n + 1)-tuple, například [4, 2, 6, 7].^[3][4]

Pokud je počáteční číslo racionální, pak tento proces přesně odpovídá paralele Euklidovský algoritmus. Zejména musí ukončit a vytvořit konečnou zlomkovou reprezentaci čísla. Pokud je startovní číslo iracionální, pak proces pokračuje neurčitě. To produkuje posloupnost aproximací, z nichž všechna jsou racionální čísla, a ty konvergují k počátečnímu číslu jako limit. Toto je (nekonečná) pokračující zlomková reprezentace čísla. Příklady pokračujících zlomkových reprezentací iracionálních čísel jsou:

• √19 = [4;2,1,3,1,2,8,2,1,3,1,2,8,...] (sekvence A010124 v OEIS ). Vzor se neomezeně opakuje s periodou 6.
• E = [2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,...] (sekvence A003417 v OEIS ). Vzor se opakuje neomezeně s periodou 3 s tím rozdílem, že k jednomu z termínů v každém cyklu jsou přidány 2.
• π = [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,...] (sekvence A001203 v OEIS ). V této reprezentaci nebyl nikdy nalezen žádný vzor.
• ϕ = [1;1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,...] (sekvence A000012 v OEIS ). The Zlatý řez, iracionální číslo, které je „nejobtížnější“ racionálně aproximovat. Vidět: Vlastnost zlatého řezu φ.

Pokračující zlomky jsou v některých ohledech více „matematicky přirozenými“ reprezentacemi a reálné číslo než jiná reprezentace jako např desetinná vyjádření a mají několik žádoucích vlastností:

• Pokračující zlomková reprezentace pro racionální číslo je konečná a pouze racionální čísla mají konečnou reprezentaci. Naproti tomu desítkové vyjádření racionálního čísla může být například konečné 137/1600 = 0.085625, nebo například nekonečný s opakujícím se cyklem 4/27 = 0.148148148148...
• Každé racionální číslo má v podstatě jedinečné pokračující zlomkové zastoupení. Každý racionál lze od té doby reprezentovat přesně dvěma způsoby [A₀;A₁,... A_n−1,A_n] = [A₀;A₁,... A_n−1,(A_n−1),1]. Jako první je obvykle vybrán první, kratší kanonická reprezentace.
• Pokračující zlomkové zastoupení iracionálního čísla je jedinečné.
• Skutečná čísla, jejichž pokračující zlomek se nakonec opakuje, jsou přesně ta kvadratické iracionály.^[5] Například opakující se pokračující zlomek [1;1,1,1,...] je Zlatý řez a opakující se pokračující zlomek [1;2,2,2,...] je druhá odmocnina ze 2. Naproti tomu desetinná vyjádření kvadratických iracionálů jsou zjevná náhodný. Druhé odmocniny všech (kladných) celých čísel, která nejsou dokonalými čtverci, jsou kvadratické iracionály, a proto jsou jedinečné periodické zlomky.
• Postupné aproximace generované při hledání pokračující zlomkové reprezentace čísla, tj. Zkrácením pokračující zlomkové reprezentace, jsou v určitém smyslu (popsány níže) „nejlepší možné“.

Základní vzorec

Pokračující zlomek je výrazem formy

${ displaystyle a_ {0} + { cfrac {b_ {1}} {a_ {1} + { cfrac {b_ {2}} {a_ {2} + { cfrac {b_ {3}} {a_ { 3} + {_ { ddots}}}}}}}}}$

kde_i a b_i mohou být libovolná komplexní čísla. Obvykle musí být celá čísla. B_i = 1 pro všechny i výraz se nazývá a jednoduchý pokračující zlomek. Pokud výraz obsahuje konečný počet výrazů, nazývá se a konečný pokračující zlomek. Pokud výraz obsahuje nekonečný počet výrazů, nazývá se nekonečný pokračující zlomek.^[6]

Všechny následující příklady tedy ilustrují platné konečné jednoduché jednoduché pokračující zlomky:

Příklady konečných jednoduchých pokračujících zlomků

Vzorec	Číselné	Poznámky
${ displaystyle a_ {0}}$	${ displaystyle 2}$	Všechna celá čísla jsou a zvrhlý případ
${ displaystyle a_ {0} + { cfrac {1} {a_ {1}}}}$	${ displaystyle 2 + { cfrac {1} {3}}}$	Nejjednodušší možná zlomková forma
${ displaystyle a_ {0} + { cfrac {1} {a_ {1} + { cfrac {1} {a_ {2}}}}}}$	${ displaystyle -3 + { cfrac {1} {2 + { cfrac {1} {18}}}}}$	První celé číslo může být záporné
${ displaystyle a_ {0} + { cfrac {1} {a_ {1} + { cfrac {1} {a_ {2} + { cfrac {1} {a_ {3}}}}}}} }$	${ displaystyle { cfrac {1} {15 + { cfrac {1} {1 + { cfrac {1} {102}}}}}}}$	První celé číslo může být nula

Výpočet reprezentací pokračujících zlomků

Zvažte skutečné číslo r.Nechat ${ displaystyle i = lfloor r rfloor}$ být celá část z r a nechte${ displaystyle f = r-i}$ být zlomková část z rPotom pokračující zlomkové zastoupení r je${ displaystyle [i; a_ {1}, a_ {2}, ldots]}$, kde ${ displaystyle [a_ {1}; a_ {2}, ldots]}$ je pokračující zlomkové zastoupení ${ displaystyle 1 / f}$.

Pro výpočet pokračující zlomkové reprezentace čísla r, zapište celočíselnou část (technicky podlaha ) z r. Odečtěte tuto celočíselnou část r. Pokud je rozdíl 0, stop; jinak najděte reciproční rozdílu a opakujte. Postup se zastaví tehdy a jen tehdy r je racionální. Tento proces lze efektivně implementovat pomocí Euklidovský algoritmus když je číslo racionální. Níže uvedená tabulka ukazuje implementaci tohoto postupu pro číslo 3.245, což má za následek pokračující rozšiřování zlomků [3; 4,12,4].

Najděte pokračující zlomek pro ${ displaystyle 3.245 = { frac {649} {200}}}$

Krok	Nemovitý Číslo	Celé číslo část	Frakční část	Zjednodušený	Reciproční z F
1	${ displaystyle r = { frac {649} {200}}}$	${ displaystyle i = 3}$	${ displaystyle f = { frac {649} {200}} - 3}$	${ displaystyle = { frac {49} {200}}}$	${ displaystyle { frac {1} {f}} = { frac {200} {49}}}$
2	${ displaystyle r = { frac {200} {49}}}$	${ displaystyle i = 4}$	${ displaystyle f = { frac {200} {49}} - 4}$	${ displaystyle = { frac {4} {49}}}$	${ displaystyle { frac {1} {f}} = { frac {49} {4}}}$
3	${ displaystyle r = { frac {49} {4}}}$	${ displaystyle i = 12}$	${ displaystyle f = { frac {49} {4}} - 12}$	${ displaystyle = { frac {1} {4}}}$	${ displaystyle { frac {1} {f}} = { frac {4} {1}}}$
4	${ displaystyle r = 4}$	${ displaystyle i = 4}$	${ displaystyle f = 4-4}$	${ displaystyle = 0}$	STOP
Forma pokračující frakce pro ${ displaystyle 3.245 = { frac {649} {200}} = [3; 4,12,4]}$ = 3 + 1/4 + 1/12 + 1/4

Zápisy

Celá čísla ${ displaystyle a_ {0}}$, ${ displaystyle a_ {1}}$ atd., se nazývají koeficienty nebo podmínky pokračující frakce.^[2] Lze zkrátit pokračující zlomek

${ displaystyle x = a_ {0} + { cfrac {1} {a_ {1} + { cfrac {1} {a_ {2} + { cfrac {1} {a_ {3}}}}}} }}$

v zápisu Carl Friedrich Gauss

${ displaystyle x = a_ {0} + { podmnožina {i = 1} { přesahující {3} { mathrm {K}}}} ~ { frac {1} {a_ {i}}}}$

nebo jako

${ displaystyle x = [a_ {0}; a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}]}$,

nebo v zápisu Pringsheim tak jako

${ displaystyle x = a_ {0} + { frac {1 mid} { mid a_ {1}}} + { frac {1 mid} { mid a_ {2}}} + { frac { 1 mid} { mid a_ {3}}},}$

nebo v jiné související notaci jako

${ displaystyle x = a_ {0} + {1 nad a_ {1} + {}} {1 nad a_ {2} + {}} {1 nad a_ {3} {}}.}$

Někdy se používají úhelníky, například:

${ displaystyle x = left langle a_ {0}; a_ {1}, a_ {2}, a_ {3} right rangle.}$

Středník v hranatých a hranatých závorkách je někdy nahrazen čárkou.^[3][4]

Lze také definovat nekonečné jednoduché pokračující zlomky tak jako limity:

${ displaystyle [a_ {0}; a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, , ldots] = lim _ {n to infty} [a_ {0}; a_ {1} , a_ {2}, , ldots, a_ {n}].}$

Tento limit existuje pro jakoukoli volbu ${ displaystyle a_ {0}}$ a kladná celá čísla ${ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, ldots}$^[7][8]

Konečné zlomky

Každý konečný zlomek představuje a racionální číslo a každé racionální číslo lze reprezentovat přesně dvěma různými způsoby jako konečný zlomek s podmínkou, že první koeficient je celé číslo a ostatní koeficienty jsou kladná celá čísla. Tato dvě prohlášení souhlasí s výjimkou jejich konečných podmínek. V delším zastoupení je konečný člen v pokračujícím zlomku 1; kratší zastoupení klesne na konečnou 1, ale zvýší nový konečný člen o 1. Konečný prvek v krátkém zastoupení je proto vždy větší než 1, pokud je přítomen. V symbolech:

[A₀; A₁, A₂, ..., A_{n − 1}, A_n, 1] = [A₀; A₁, A₂, ..., A_{n − 1}, A_n + 1].

[A₀; 1] = [A₀ + 1].

Vzájemných

Pokračující zlomkové reprezentace kladného racionálního čísla a jeho reciproční jsou identické s výjimkou posunu o jedno místo doleva nebo doprava v závislosti na tom, zda je počet menší než nebo větší než jedno. Jinými slovy, čísla představovaná${ displaystyle [a_ {0}; a_ {1}, a_ {2}, ldots, a_ {n}]}$ a ${ displaystyle [0; a_ {0}, a_ {1}, ldots, a_ {n}]}$ jsou vzájemné.

Například pokud ${ displaystyle a}$ je celé číslo a ${ displaystyle x <1}$ pak

${ displaystyle x = 0 + { frac {1} {a + { frac {1} {b}}}}}$ a ${ displaystyle { frac {1} {x}} = a + { frac {1} {b}}}$.

Li ${ displaystyle x> 1}$ pak

${ displaystyle x = a + { frac {1} {b}}}$ a ${ displaystyle { frac {1} {x}} = 0 + { frac {1} {a + { frac {1} {b}}}}}$.

Poslední číslo, které generuje zbytek pokračujícího zlomku, je pro oba stejné ${ displaystyle x}$ a jeho vzájemnost.

Například,

${ displaystyle 2.25 = { frac {9} {4}} = [2; 4]}$ a ${ displaystyle { frac {1} {2.25}} = { frac {4} {9}} = [0; 2,4]}$.

Nekonečné pokračující zlomky a konvergenty

Každá nekonečná pokračující část je iracionální a každé iracionální číslo lze přesně určitým způsobem reprezentovat jako nekonečný pokračující zlomek.

Nekonečné pokračování zlomkové reprezentace iracionálního čísla je užitečné, protože jeho počáteční segmenty poskytují racionální aproximace čísla. Tato racionální čísla se nazývají konvergenty pokračující frakce.^[9][10] Čím větší je člen v pokračujícím zlomku, tím blíže je odpovídající konvergent k aproximaci iracionálního čísla. Čísla jako π mají ve svém pokračujícím zlomku občas velké termíny, což usnadňuje jejich aproximaci pomocí racionálních čísel. Další čísla jako E mají jen malé termíny na začátku jejich pokračujícího zlomku, což ztěžuje jejich racionální aproximaci. The Zlatý řez ϕ má výrazy rovné 1 všude - nejmenší možné hodnoty - což ϕ činí nejobtížnější číslo racionálně aproximovat. V tomto smyslu je tedy „nejracionálnější“ ze všech iracionálních čísel. Sudé konvergenty jsou menší než původní číslo, liché jsou větší.

Pro pokračující zlomek [A₀; A₁, A₂, ...], první čtyři konvergenty (číslované 0 až 3) jsou

A₀/1, A₁A₀ + 1/A₁, A₂(A₁A₀ + 1) + A₀/A₂A₁ + 1, A₃(A₂(A₁A₀ + 1) + A₀) + (A₁A₀ + 1)/ A₃(A₂A₁ + 1) + A₁.

Čitatel třetího konvergentu je tvořen vynásobením čitatele druhého konvergentu třetím koeficientem a přidáním čitatele prvního konvergentu. Jmenovatelé jsou vytvořeni podobně. Proto lze každý konvergent výslovně vyjádřit jako pokračující zlomek jako poměr jistého vícerozměrné polynomy volala pokračovatelé.

Pokud jsou nalezeny postupné konvergenty, s čitateli h₁, h₂, ... a jmenovatelé k₁, k₂, ... pak relevantní rekurzivní vztah je:

h_n = A_nh_{n − 1} + h_{n − 2},

k_n = A_nk_{n − 1} + k_{n − 2}.

Postupné konvergenty jsou dány vzorcem

h_n/k_n = A_nh_{n − 1} + h_{n − 2}/A_nk_{n − 1} + k_{n − 2}.

K začlenění nového termínu do racionální aproximace jsou tedy nutné pouze dva předchozí konvergenty. Počáteční „konvergenty“ (požadované pro první dva termíny) jsou ⁰⁄₁ a ¹⁄₀. Například zde jsou konvergenty pro [0; 1,5,2,2].

n	−2	−1	0	1	2	3	4
An			0	1	5	2	2
hn	0	1	0	1	5	11	27
kn	1	0	1	1	6	13	32

Při použití Babylonská metoda pro generování postupných aproximací druhé odmocniny celého čísla, pokud začínáme nejnižším celým číslem jako prvním aproximantem, generované racionální hodnoty se zobrazí v seznamu konvergentů pro pokračující zlomek. Konkrétně se přibližné hodnoty objeví v seznamu konvergentů na pozicích 0, 1, 3, 7, 15, ...,2^k−1, ... Například pokračující rozšiřování zlomků pro √3 je [1; 1,2,1,2,1,2,1,2, ...]. Porovnání konvergentů s přibližnými odvozenými z babylonské metody:

n	−2	−1	0	1	2	3	4	5	6	7
An			1	1	2	1	2	1	2	1
hn	0	1	1	2	5	7	19	26	71	97
kn	1	0	1	1	3	4	11	15	41	56

X₀ = 1 = 1/1

X₁ = 1/2(1 + 3/1) = 2/1 = 2

X₂ = 1/2(2 + 3/2) = 7/4

X₃ = 1/2(7/4 + 3/7/4) = 97/56

Vlastnosti

A Baireův prostor je topologický prostor na nekonečných posloupnostech přirozených čísel. Nekonečná pokračující frakce poskytuje a homeomorfismus z prostoru Baire do prostoru iracionálních reálných čísel (s topologií podprostoru zděděnou z obvyklá topologie ve skutečnosti). Nekonečný pokračující zlomek také poskytuje mapu mezi kvadratické iracionály a dyadické racionály a z jiných iracionálních do množiny nekonečných řetězců binárních čísel (tj Cantor set ); tato mapa se nazývá Minkowski otazník funkce. Mapování má zajímavé podobné fraktální vlastnosti; ty jsou dány modulární skupina, což je podskupina Möbiovy transformace s celočíselnými hodnotami v transformaci. Zhruba řečeno, pokračující zlomkové konvergenty lze považovat za Möbiovy transformace působící na (hyperbolické) horní polorovina; to je to, co vede k fraktální autosymetrii.

Některé užitečné věty

Li ${ displaystyle a_ {0}}$, ${ displaystyle a_ {1}}$, ${ displaystyle a_ {2}}$, ${ displaystyle ldots}$ je nekonečná sekvence kladných celých čísel, definujte sekvence ${ displaystyle h_ {n}}$ a ${ displaystyle k_ {n}}$ rekurzivně:

${ displaystyle h_ {n} = a_ {n} h_ {n-1} + h_ {n-2}}$			${ displaystyle h _ {- 1} = 1}$		${ displaystyle h _ {- 2} = 0}$
${ displaystyle k_ {n} = a_ {n} k_ {n-1} + k_ {n-2}}$			${ displaystyle k _ {- 1} = 0}$		${ displaystyle k _ {- 2} = 1}$

Věta 1. Pro jakékoli kladné reálné číslo ${ displaystyle z}$

${ displaystyle left [a_ {0}; a_ {1}, , dots, a_ {n-1}, z right] = { frac {zh_ {n-1} + h_ {n-2} } {zk_ {n-1} + k_ {n-2}}}.}$

Věta 2. Konvergenty [${ displaystyle a_ {0}}$; ${ displaystyle a_ {1}}$, ${ displaystyle a_ {2}}$, ${ displaystyle ldots}$] jsou dány

${ displaystyle left [a_ {0}; a_ {1}, , dots, a_ {n} right] = { frac {h_ {n}} {k_ {n}}}.}$

Věta 3. Pokud ${ displaystyle n}$konvergentní k pokračujícímu zlomku je ${ displaystyle h_ {n}}$/${ displaystyle k_ {n}}$, pak

${ displaystyle k_ {n} h_ {n-1} -k_ {n-1} h_ {n} = (- 1) ^ {n}.}$

Dodatek 1: Každý konvergent je ve svých nejnižších termínech (pro if ${ displaystyle h_ {n}}$ a ${ displaystyle k_ {n}}$ měl netriviálního společného dělitele, který by rozdělil ${ displaystyle k_ {n} h_ {n-1} -k_ {n-1} h_ {n}}$, což je nemožné).

Dodatek 2: Rozdíl mezi po sobě jdoucími konvergenty je zlomek, jehož čitatelem je jednota:

${ displaystyle { frac {h_ {n}} {k_ {n}}} - { frac {h_ {n-1}} {k_ {n-1}}} = { frac {h_ {n} k_ {n-1} -k_ {n} h_ {n-1}} {k_ {n} k_ {n-1}}} = { frac {(-1) ^ {n + 1}} {k_ {n } k_ {n-1}}}.}$

Dodatek 3: Pokračující zlomek je ekvivalentní řadě střídavých výrazů:

${ displaystyle a_ {0} + sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {k_ {n} k_ {n + 1}}}.}$

Dodatek 4: Matice

${ displaystyle { begin {bmatrix} h_ {n} & h_ {n-1} k_ {n} & k_ {n-1} end {bmatrix}}}$

má určující plus mínus jedna, a patří tedy do skupiny${ displaystyle 2 krát 2}$ unimodulární matice ${ displaystyle mathrm {GL} (2, mathbb {Z})}$.

Věta 4. Každý (${ displaystyle s}$th) konvergentní je blíže k následujícímu (${ displaystyle n}$th) konvergentní než kterýkoli předchozí (${ displaystyle r}$th) konvergentní je. V symbolech, pokud ${ displaystyle n}$th konvergentní je považován za ${ displaystyle [a_ {0}; a_ {1}, ldots, a_ {n}] = x_ {n}}$, pak

${ displaystyle left | x_ {r} -x_ {n} right |> left | x_ {s} -x_ {n} right |}$

pro všechny ${ displaystyle r$.

Dodatek 1: Rovnoměrné konvergenty (před ${ displaystyle n}$th) neustále rostou, ale vždy jsou menší než ${ displaystyle x_ {n}}$.

Dodatek 2: Liché konvergenty (před ${ displaystyle n}$th) neustále se snižují, ale jsou vždy větší než ${ displaystyle x_ {n}}$.

Věta 5.

${ displaystyle { frac {1} {k_ {n} (k_ {n + 1} + k_ {n})}} < left | x - { frac {h_ {n}} {k_ {n}} } right | <{ frac {1} {k_ {n} k_ {n + 1}}}.}$

Dodatek 1: Konvergent je blíže k limitu pokračujícího zlomku než kterýkoli zlomek, jehož jmenovatel je menší než konvergentní.

Dodatek 2: Konvergentní získaný ukončením pokračujícího zlomku těsně před velkým termínem je blízké přiblížení k limitu pokračujícího zlomku.

Polokonvergenty

Li

${ displaystyle { frac {h_ {n-1}} {k_ {n-1}}}, { frac {h_ {n}} {k_ {n}}}}$

jsou po sobě jdoucí konvergenty, pak jakékoli zlomky formuláře

${ displaystyle { frac {h_ {n-1} + mh_ {n}} {k_ {n-1} + mk_ {n}}},}$

kde ${ displaystyle m}$ je celé číslo takové, že ${ displaystyle 0 leq m leq a_ {n + 1}}$, jsou nazývány polokonvergenty, sekundární konvergentynebo střední frakce. The ${ displaystyle (m + 1)}$-st polokonvergentní se rovná zprostředk z ${ displaystyle m}$-tý a konvergentní ${ displaystyle { tfrac {h_ {n}} {k_ {n}}}}$. Někdy se pod tímto pojmem rozumí, že být polokonvergentní vylučuje možnost být konvergentní (tj. ${ displaystyle 0$), spíše než to, že konvergent je druh polokonvergentního.

Z toho vyplývá, že polokonvergenty představují a monotónní sekvence zlomků mezi konvergenty ${ displaystyle { tfrac {h_ {n-1}} {k_ {n-1}}}}$ (souhlasí s ${ displaystyle m = 0}$) a ${ displaystyle { tfrac {h_ {n + 1}} {k_ {n + 1}}}}$ (souhlasí s ${ displaystyle m = a_ {n + 1}}$). Po sobě jdoucí polokonvergenty ${ displaystyle { tfrac {a} {b}}}$ a ${ displaystyle { tfrac {c} {d}}}$ uspokojit majetek ${ displaystyle ad-bc = pm 1}$.

Pokud racionální aproximace ${ displaystyle { tfrac {p} {q}}}$ na skutečné číslo ${ displaystyle x}$ je taková, že hodnota ${ displaystyle left | x - { tfrac {p} {q}} vpravo |}$ je menší než aproximace s menším jmenovatelem ${ displaystyle { tfrac {p} {q}}}$ je polokonvergent pokračujícího rozšiřování zlomků ${ displaystyle x}$. Konverzace však není pravdivá.

Nejlepší racionální aproximace

Je možné definovat a nejlepší racionální aproximace na skutečné číslo X jako racionální číslo n/d, d > 0, to je blíže X než jakákoli aproximace s menším nebo stejným jmenovatelem. Jednoduchý pokračující zlomek pro X lze použít ke generování Všechno nejlepších racionálních aproximací pro X uplatněním těchto tří pravidel:

1. Zkraťte pokračující zlomek a snižte jeho poslední člen o zvolenou částku (možná nulu).
2. Zkrácený termín nemůže mít méně než polovinu své původní hodnoty.
3. Pokud je konečný člen sudý, je poloviční jeho hodnota přípustná, pouze pokud je odpovídající semikonvergent lepší než předchozí konvergentní. (Viz. níže.)

Například 0,84375 má pokračující zlomek [0; 1,5,2,2]. Zde jsou všechny jeho nejlepší racionální aproximace.

Pokračující zlomek	[0;1]	[0;1,3]	[0;1,4]	[0;1,5]	[0;1,5,2]	[0;1,5,2,1]	[0;1,5,2,2]
Racionální aproximace	1	3/4	4/5	5/6	11/13	16/19	27/32
Desetinný ekvivalent	1	0.75	0.8	~0.83333	~0.84615	~0.84211	0.84375
Chyba	+18.519%	−11.111%	−5.1852%	−1.2346%	+0.28490%	−0.19493%	0%

Striktně monotónní nárůst jmenovatelů, když jsou zahrnuty další výrazy, umožňuje algoritmu uvalit limit, ať už na velikost jmenovatele nebo blízkost aproximace.

Výše uvedené „pravidlo poloviny“ to vyžaduje, když A_k je sudý, poloviční termín A_k/ 2 je přípustný tehdy a jen tehdy |X − [A₀ ; A₁, ..., A_{k − 1}]| > |X − [A₀ ; A₁, ..., A_{k − 1}, A_k/2]|^[11] To je ekvivalent^[11] na:^[12]

[A_k; A_{k − 1}, ..., A₁] > [A_k; A_{k + 1}, ...].

Konvergenty na X jsou „nejlepší aproximace“ v mnohem silnějším smyslu, než je definováno výše. A to, n/d je konvergentní pro X kdyby a jen kdyby |dx − n| má nejmenší hodnotu mezi analogickými výrazy pro všechny racionální aproximace m/C s C ≤ d; to znamená, že máme |dx − n| < |cx − m| Pokud C < d. (Všimněte si také toho |d_kX − n_k| → 0 tak jako k → ∞.)

Nejlepší racionální v intervalu

Racionální, který spadá do intervalu (X, y), pro 0 < X < y, lze najít s pokračujícími zlomky pro X a y. Když obojí X a y jsou iracionální a

X = [A₀; A₁, A₂, ..., A_{k − 1}, A_k, A_{k + 1}, ...]

y = [A₀; A₁, A₂, ..., A_{k − 1}, b_k, b_{k + 1}, ...]

kde X a y mají stejné pokračující expanze zlomků až do konce A_k−1, racionální, který spadá do daného intervalu (X, y) je dána konečným zlomkem,

z(X,y) = [A₀; A₁, A₂, ..., A_{k − 1}, min (A_k, b_k) + 1]

Tento racionální bude nejlepší v tom smyslu, že žádný jiný racionální (X, y) bude mít menší čitatel nebo menší jmenovatel.^{[Citace je zapotřebí ]}

Li X je racionální, bude mít dva pokračující zlomková reprezentace, která jsou konečný, X₁ a X₂a podobně racionálníy bude mít dvě zastoupení, y₁ a y₂. Koeficienty za posledním v kterémkoli z těchto zobrazení by měly být interpretovány jako +∞; a nejlepší racionální bude jeden z z(X₁, y₁), z(X₁, y₂), z(X₂, y₁)nebo z(X₂, y₂).

Například desítkové vyjádření 3.1416 lze zaokrouhlit z libovolného čísla v intervalu [3.14155, 3.14165). Pokračující zlomková reprezentace 3,14155 a 3,14165 jsou

3.14155 = [3; 7, 15, 2, 7, 1, 4, 1, 1] = [3; 7, 15, 2, 7, 1, 4, 2]

3.14165 = [3; 7, 16, 1, 3, 4, 2, 3, 1] = [3; 7, 16, 1, 3, 4, 2, 4]

a nejlepší racionální mezi těmito dvěma je

[3; 7, 16] = 355/113 = 3.1415929....

Tím pádem, 355/113 je nejlepší racionální číslo odpovídající zaokrouhlenému desetinnému číslu 3.1416 v tom smyslu, že žádné jiné racionální číslo, které by bylo zaokrouhleno na 3.1416, nebude mít menšího čitatele nebo menšího jmenovatele.

Interval pro konvergentní

Racionální číslo, které lze vyjádřit jako konečný zlomek dvěma způsoby,

z = [A₀; A₁, ..., A_{k − 1}, A_k, 1] = [A₀; A₁, ..., A_{k − 1}, A_k + 1]

bude jedním z konvergentů pro pokračující zlomkové rozšiřování čísla, právě když je číslo striktně mezi

X = [A₀; A₁, ..., A_{k − 1}, A_k, 2] a

y = [A₀; A₁, ..., A_{k − 1}, A_k + 2]

Čísla X a y jsou tvořeny zvýšením posledního koeficientu ve dvou reprezentacích pro z. Je tomu tak X < y když k je sudý, a X > y když k je zvláštní.

Například číslo 355/113 má pokračující zlomková reprezentace

355/113 = [3; 7, 15, 1] = [3; 7, 16]

a tudíž 355/113 je konvergent libovolného počtu přesně mezi

[3; 7, 15, 2]	=	688/219 ≈ 3.1415525
[3; 7, 17]	=	377/120 ≈ 3.1416667

Srovnání

Zvážit X = [A₀; A₁, ...] a y = [b₀; b₁, ...]. Li k je nejmenší index, pro který A_k je nerovné b_k pak X < y -li (−1)^k(A_k − b_k) < 0 a y < X v opačném případě.

Pokud takový není k, ale jedna expanze je kratší než ta druhá, řekněme X = [A₀; A₁, ..., A_n] a y = [b₀; b₁, ..., b_n, b_{n + 1}, ...] s A_i = b_i pro 0 ≤ i ≤ n, pak X < y -li n je sudé a y < X -li n je zvláštní.

Pokračující zlomky expanzí π

Pro výpočet konvergentů π můžeme nastavit A₀ = ⌊π⌋ = 3, definovat u₁ = 1/π − 3 ≈ 7.0625 a A₁ = ⌊u₁⌋ = 7, u₂ = 1/u₁ − 7 ≈ 15.9966 a A₂ = ⌊u₂⌋ = 15, u₃ = 1/u₂ − 15 ≈ 1.0034. Pokračováním takto lze určit nekonečný pokračující zlomek π tak jako

[3; 7,15,1 292,1,1, ...] (sekvence A001203 v OEIS ).

Čtvrtý konvergent z π je [3; 7,15,1] = 355/113 = 3.14159292035 ..., někdy nazývané Milü, což je docela blízko ke skutečné hodnotě π.

Předpokládejme, že nalezené podíly jsou, jak je uvedeno výše, [3; 7,15,1]. Následuje pravidlo, podle kterého můžeme najednou zapsat konvergentní zlomky, které jsou výsledkem těchto podílů, aniž bychom vyvinuli spojitý zlomek.

První kvocient, předpokládaný děleno jednotou, dá první zlomek, který bude příliš malý, konkrétně 3/1. Pak vynásobením čitatele a jmenovatele tohoto zlomku druhým kvocientem a přidáním jednoty do čitatele získáme druhý zlomek, 22/7, který bude příliš velký. Podobným vynásobením čitatele a jmenovatele tohoto zlomku třetím kvocientem a přidáním čitatele k čitateli předchozího zlomku a ke jmenovateli jmenovatele předchozího zlomku budeme mít třetí zlomek, který bude také malý. Tedy, třetí kvocient je 15, máme pro našeho čitatele (22 × 15 = 330) + 3 = 333, a pro našeho jmenovatele, (7 × 15 = 105) + 1 = 106. Třetí konvergentní tedy je 333/106. Stejným způsobem postupujeme u čtvrté konvergentní. Čtvrtý kvocient je 1, říkáme, že 333 krát 1 je 333, a tento plus 22, čitatel předchozího zlomku, je 355; podobně 106 krát 1 je 106 a toto plus 7 je 113. Tímto způsobem získáme použitím čtyř kvocientů [3; 7,15,1] čtyři zlomky:

3/1, 22/7, 333/106, 355/113, ....

Následující kód Maple vygeneruje pokračující zlomky expanze Pi

Stručně řečeno, vzor je${ displaystyle Numerator_ {i} = čitatel _ {(i-1)} cdot kvocient_ {i} + čitatel _ {(i-2)}}$${ displaystyle Denominator_ {i} = jmenovatel _ {(i-1)} cdot kvocient_ {i} + jmenovatel _ {(i-2)}}$

Tyto konvergenty jsou střídavě menší a větší než skutečná hodnota πa přiblížit se blíž a blíže k π. Rozdíl mezi danou konvergentní a π je menší než převrácená hodnota součinu jmenovatelů konvergentního a následujícího konvergentního. Například zlomek 22/7 je větší než π, ale 22/7 − π je méně než 1/7 × 106 = 1/742 (ve skutečnosti, 22/7 − π je jen víc než 1/791 = 1/7 × 113).

Demonstrace výše uvedených vlastností je odvozena ze skutečnosti, že pokud budeme hledat rozdíl mezi jednou z konvergentních zlomků a druhou sousedící s ní, získáme zlomek, jehož čitatelem je vždy jednota a jmenovatelem součin dvou jmenovatelů . Rozdíl tedy mezi 22/7 a 3/1 je 1/7, v přebytku; mezi 333/106 a 22/7, 1/742v deficitu; mezi 355/113 a 333/106, 1/11978, v přebytku; a tak dále. Výsledkem je, že použitím této řady rozdílů můžeme jiným a velmi jednoduchým způsobem vyjádřit zlomky, kterých se zde týká, pomocí druhé řady zlomků, jejichž čitateli jsou jednota a jmenovateli postupně produkt dvou sousedních jmenovatelů. Namísto výše napsaných zlomků máme tedy řadu:

3/1 + 1/1 × 7 − 1/7 × 106 + 1/106 × 113 − ...

První člen, jak vidíme, je první zlomek; první a druhý společně dávají druhý zlomek, 22/7; první, druhý a třetí dávají třetí zlomek 333/106a tak dále se zbytkem; výsledkem je, že celá řada je ekvivalentní původní hodnotě.

Zobecněná pokračující frakce

Zobecněná pokračující frakce je výrazem formy

${ displaystyle x = b_ {0} + { cfrac {a_ {1}} {b_ {1} + { cfrac {a_ {2}} {b_ {2} + { cfrac {a_ {3}} { b_ {3} + { cfrac {a_ {4}} {b_ {4} + ddots ,}}}}}}}}}$

Kde A_n (n > 0) jsou dílčí čitatele, b_n jsou dílčími jmenovateli a vedoucím pojmem b₀ se nazývá celé číslo část pokračující frakce.

Pro ilustraci použití zobecněných pokračujících zlomků zvažte následující příklad. Posloupnost dílčích jmenovatelů jednoduchého pokračujícího zlomku π neukazuje žádný zjevný vzor:

${ displaystyle pi = [3; 7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1, ldots]}$

nebo

${ displaystyle pi = 3 + { cfrac {1} {7 + { cfrac {1} {15 + { cfrac {1} {1 + { cfrac {1} {292 + { cfrac {1} {1 + { cfrac {1} {1 + { cfrac {1} {1 + { cfrac {1} {2 + { cfrac {1} {1 + { cfrac {1} {3 + { cfrac {1} {1+ ddots}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

Několik zobecněných pokračujících zlomků pro π mít dokonale pravidelnou strukturu, například:

${ displaystyle pi = { cfrac {4} {1 + { cfrac {1 ^ {2}} {2 + { cfrac {3 ^ {2}} {2 + { cfrac {5 ^ {2} } {2 + { cfrac {7 ^ {2}} {2 + { cfrac {9 ^ {2}} {2+ ddots}}}}}}}}}}}} = { cfrac {4 } {1 + { cfrac {1 ^ {2}} {3 + { cfrac {2 ^ {2}} {5 + { cfrac {3 ^ {2}} {7 + { cfrac {4 ^ { 2}} {9+ ddots}}}}}}}}}}} = 3 + { cfrac {1 ^ {2}} {6 + { cfrac {3 ^ {2}} {6 + { cfrac {5 ^ {2}} {6 + { cfrac {7 ^ {2}} {6 + { cfrac {9 ^ {2}} {6+ ddots}}}}}}}}}}}$

${ displaystyle displaystyle pi = 2 + { cfrac {2} {1 + { cfrac {1} {1/2 + { cfrac {1} {1/3 + { cfrac {1} {1 / 4+ ddots}}}}}}}} = 2 + { cfrac {2} {1 + { cfrac {1 cdot 2} {1 + { cfrac {2 cdot 3} {1 + { cfrac {3 cdot 4} {1+ ddots}}}}}}}}$

${ displaystyle displaystyle pi = 2 + { cfrac {4} {3 + { cfrac {1 cdot 3} {4 + { cfrac {3 cdot 5} {4 + { cfrac {5 cdot 7} {4+ ddots}}}}}}}}$

První dva z nich jsou speciální případy arkustangens funkce s π = 4 arktan (1).

${ displaystyle pi = 3 + { cfrac {1 ^ {3}} {6 + { cfrac {1 ^ {3} + 2 ^ {3}} {6 + { cfrac {1 ^ {3} + 2 ^ {3} + 3 ^ {3} + 4 ^ {3}} {6 + { cfrac {1 ^ {3} + 2 ^ {3} + 3 ^ {3} + 4 ^ {3} +5 ^ {3} + 6 ^ {3}} {6 + { cfrac {1 ^ {3} + 2 ^ {3} + 3 ^ {3} + 4 ^ {3} + 5 ^ {3} + 6 ^ {3} + 7 ^ {3} + 8 ^ {3}} {6+ ddots}}}}}}}}}}$

Pokračující část ${ displaystyle pi}$ výše sestávající z kostek využívá sérii Nilakantha a exploit od Leonharda Eulera.^[13]

Další pokračující expanze zlomků

Periodické pokračující frakce

Čísla s periodickým pokračováním expanze zlomků jsou přesně ta iracionální řešení z kvadratické rovnice s racionálními koeficienty; racionální řešení mají konečná pokračující zlomková expanze, jak bylo uvedeno výše. Nejjednodušší příklady jsou Zlatý řez φ = [1; 1,1,1,1,1, ...] a √2 = [1; 2,2,2,2, ...], zatímco √14 = [3; 1,2,1,6,1,2,1,6 ...] a √42 = [6; 2,12,2,12,2,12 ...]. Všechny iracionální druhé odmocniny celých čísel mají zvláštní formu pro období; symetrický řetězec, jako je prázdný řetězec (pro √2) nebo 1,2,1 (pro √14), následovaný dvojnásobkem vedoucího celého čísla.

Vlastnost zlatého řezu φ

Protože pokračující expanze frakce pro φ nepoužívá žádná celá čísla větší než 1, φ je jedno z „nejobtížnějších“ reálných čísel, které lze aproximovat racionálními čísly. Hurwitzova věta^[14] uvádí, že jakékoli iracionální číslo k lze aproximovat nekonečně mnoha racionálními m/n s

${ displaystyle left | k- {m over n} right | <{1 over n ^ {2} { sqrt {5}}}.}$

Zatímco prakticky všechna reálná čísla k nakonec bude mít nekonečně mnoho konvergentů m/n jejichž vzdálenost od k je výrazně menší než tento limit, konvergenty pro φ (tj. čísla 5/3, 8/5, 13/8, 21/13atd.) důsledně „překračují hranici“ a udržují vzdálenost téměř přesně ${ displaystyle { scriptstyle {1 nad n ^ {2} { sqrt {5}}}}}$ daleko od φ, takže nikdy nevznikne aproximace téměř tak působivá jako například 355/113 pro π. Lze také ukázat, že každé skutečné číslo formuláře A + bφ/C + dφ, kde A, b, C, a d jsou celá čísla taková A d − b C = ±1, sdílí tuto vlastnost se zlatým řezem φ; a že všechna ostatní reálná čísla lze blíže přiblížit.

Pravidelné vzory v pokračujících zlomcích

Zatímco v jednoduchém pokračujícím rozšiřování zlomků z. Není patrný žádný vzorec π, existuje jeden pro E, základ přirozeného logaritmu:

${ displaystyle e = e ^ {1} = [2; 1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,1, 1, tečky],}$

což je speciální případ tohoto obecného výrazu pro kladné celé číslo n:

${ displaystyle e ^ {1 / n} = [1; n-1,1,1,3n-1,1,1,5n-1,1,1,7n-1,1,1, tečky] , !.}$

V tomto pokračujícím rozšiřování zlomků pro pozitivní liché se objeví další, složitější vzor n:

${ displaystyle e ^ {2 / n} = left [1; { frac {n-1} {2}}, 6n, { frac {5n-1} {2}}, 1,1, { frac {7n-1} {2}}, 18n, { frac {11n-1} {2}}, 1,1, { frac {13n-1} {2}}, 30n, { frac {17n -1} {2}}, 1,1, tečky vpravo] , !,}$

se speciálním pouzdrem pro n = 1:

${ displaystyle e ^ {2} = [7; 2,1,1,3,18,5,1,1,6,30,8,1,1,9,42,11,1,1,12, 54,14,1,1 tečky, 3k, 12k + 6,3k + 2,1,1 tečky] , !.}$

Další pokračující zlomky tohoto druhu jsou

${ displaystyle tanh (1 / n) = [0; n, 3n, 5n, 7n, 9n, 11n, 13n, 15n, 17n, 19n, tečky]}$

kde n je kladné celé číslo; také pro celé číslo n:

${ displaystyle tan (1 / n) = [0; n-1,1,3n-2,1,5n-2,1,7n-2,1,9n-2,1, tečky] , !,}$

se speciálním pouzdrem pro n = 1:

${ displaystyle tan (1) = [1; 1,1,3,1,5,1,7,1,9,1,11,1,13,1,15,1,17,1,19, 1, tečky] , !.}$

Li Já_n(X) je upravený nebo hyperbolický, Besselova funkce prvního druhu můžeme definovat funkci na racionálech str/q podle

${ displaystyle S (p / q) = { frac {I_ {p / q} (2 / q)} {I_ {1 + p / q} (2 / q)}},}$

který je definován pro všechna racionální čísla, s str a q v nejnižších termínech. Pak pro všechny nezáporné racionály máme

${ displaystyle S (p / q) = [p + q; p + 2q, p + 3q, p + 4q, tečky],}$

s podobnými vzorci pro negativní racionály; zejména máme

${ displaystyle S (0) = S (0/1) = [1; 2,3,4,5,6,7, tečky].}$

Mnoho vzorců lze prokázat pomocí Gaussova pokračující část.

Typické pokračující zlomky

Většina iracionálních čísel nemá ve svém pokračujícím rozšiřování zlomků žádné pravidelné nebo pravidelné chování. Nicméně, Khinchin dokázal, že pro téměř všechny reálná čísla X, A_i (pro i = 1, 2, 3, ...) mají úžasnou vlastnost: jejich geometrický průměr má sklon ke konstantě (známé jako Khinchinova konstanta, K. ≈ 2.6854520010...) nezávisle na hodnotě X. Paul Lévy ukázal, že nkořen jmenovatele nkonvergent pokračující expanze zlomků téměř všech reálných čísel se blíží asymptotickému limitu, přibližně 3,27582, který je známý jako Lévyho konstanta. Lochsova věta tvrdí, že nKonvergent pokračujícího rozšiřování zlomků téměř všech reálných čísel určuje číslo s průměrnou přesností těsně nad n desetinná místa.

Aplikace

Odmocniny

Zobecněné pokračující frakce se používají v a metoda výpočtu druhé odmocniny.

Identita

${ displaystyle { sqrt {x}} = 1 + { frac {x-1} {1 + { sqrt {x}}}}}$

(1)

vede rekurzí k zobecněné pokračující frakci pro jakoukoli druhou odmocninu:^[15]

${ displaystyle { sqrt {x}} = 1 + { cfrac {x-1} {2 + { cfrac {x-1} {2 + { cfrac {x-1} {2 + { ddots} }}}}}}}$

(2)

Pellova rovnice

Pokračující zlomky hrají zásadní roli při řešení Pellova rovnice. Například pro kladná celá čísla str a qa non-square n, je pravda, že pokud str² − nq² = ±1, pak str/q je konvergent pravidelného pokračujícího zlomku pro √n. Konverzace platí, pokud je perioda pravidelného pokračujícího zlomku pro √n je 1 a obecně období popisuje, které konvergenty dávají řešení Pellovy rovnice.^[16]

Dynamické systémy

Pokračující zlomky také hrají roli při studiu dynamické systémy, kde spojují dohromady Farey zlomky které jsou vidět v Mandelbrotova sada s Funkce Minkowského otazníku a modulární skupina Gama.

Zpětně operátor směny pro pokračující zlomky je mapa h(X) = 1/X − ⌊1/X⌋ volal Gaussova mapa, který vynechává číslice pokračujícího rozšiřování zlomků: h([0; A₁, A₂, A₃, ...]) = [0; A₂, A₃, ...]. The operátor přenosu této mapy se nazývá Operátor Gauss – Kuzmin – Wirsing. Rozdělení číslic v pokračujících zlomcích je dáno nultou vlastní vektor tohoto operátora a nazývá se Gauss – Kuzminova distribuce.

Vlastní čísla a vlastní vektory

The Lanczosův algoritmus používá pokračující expanzi zlomků k iterativní aproximaci vlastních čísel a vlastních vektorů velké řídké matice.^[17]

Síťové aplikace

Pokračující zlomky byly také použity při modelování problémů s optimalizací pro bezdrátové připojení virtualizace sítě najít cestu mezi zdrojem a cílem.^[18]

Příklady racionálních a iracionálních čísel

ra: racionální přibližný získaný rozšířením pokračujícího zlomku až na A_r

Dějiny

• 300 př. N. L Euklidovy prvky obsahuje algoritmus pro největší společný dělitel který generuje pokračující zlomek jako vedlejší produkt
• 499 The Aryabhatiya obsahuje řešení neurčitých rovnic pomocí spojitých zlomků
• 1572 Rafael Bombelli, Opera L'Algebra - metoda extrakce druhé odmocniny, která souvisí s pokračujícími zlomky
• 1613 Pietro Cataldi, Trattato del modo brevissimo di trovar la radice quadra delli numeri – first notation for continued fractions

Cataldi represented a continued fraction as ${ displaystyle a_ {0}}$ & ${displaystyle {frac {n_{1}}{d_{1}cdot }}}$ & ${displaystyle {frac {n_{2}}{d_{2}cdot }}}$ & ${displaystyle {frac {n_{3}}{d_{3}cdot }}}$ with the dots indicating where the following fractions went.

• 1695 John Wallis, Opera Mathematica – introduction of the term "continued fraction"
• 1737 Leonhard Euler, De fractionibus continuis dissertatio – Provided the first then-comprehensive account of the properties of continued fractions, and included the first proof that the number E je iracionální.^[19]
• 1748 Euler, Introductio in analysin infinitorum. Sv. I, Chapter 18 – proved the equivalence of a certain form of continued fraction and a generalized nekonečná řada, proved that every rational number can be written as a finite continued fraction, and proved that the continued fraction of an irrational number is infinite.^[20]
• 1761 Johann Lambert – gave the first proof of the irrationality of π using a continued fraction for tan(x).
• 1768 Joseph-Louis Lagrange – provided the general solution to Pell's equation using continued fractions similar to Bombelli's
• 1770 Lagrange – proved that quadratic irrationals expand to periodic continued fractions.
• 1813 Carl Friedrich Gauss, Werke, Sv. 3, pp. 134–138 – derived a very general complex-valued continued fraction via a clever identity involving the hypergeometrická funkce
• 1828 Évariste Galois proved the periodicity of continued fractions for quadratic irrationals.^[21]
• 1892 Henri Padé definovaný Padé přibližný
• 1972 Bill Gosper – First exact algorithms for continued fraction arithmetic.

Viz také

• Complete quotient
• Computing continued fractions of square roots
• Egyptská část
• Engel expanze
• Eulerův pokračující zlomkový vzorec
• Zobecněná pokračující frakce
• Nekonečné složení analytických funkcí
• Nekonečný produkt
• Nekonečná série
• Iterated binary operation
• Matematické konstanty pokračováním reprezentace zlomků
• Restricted partial quotients
• Stern – Brocotův strom
• Śleszyński – Pringsheimova věta

Poznámky