Williamsovo číslo - Williams number

v teorie čísel, a Williamsova číselná základna b je přirozené číslo formuláře ${ displaystyle (b-1) cdot b ^ {n} -1}$ pro celá čísla b ≥ 2 a n ≥ 1.^[1] Williamsův číselný základ 2 je přesně ten Mersennova čísla.

Williams připravuje

A Williams připravuje je Williamsovo číslo primární. Byli zvažováni Hugh C. Williams.^[2]

Nejméně n ≥ 1 takový, že (b−1)·bⁿ - 1 je prime jsou: (začněte s b = 2)

2, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 14, 1, 1, 2, 6, 1, 1, 1, 55, 12, 1, 133, 1, 20, 1, 2, 1, 1, 2, 15, 3, 1, 7, 136211, 1, 1, 7, 1, 7, 7, 1, 1, 1, 2, 1, 25, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 899, 3, 11, 1, 1, 1, 63, 1, 13, 1, 25, 8, 3, 2, 7, 1, 44, 2, 11, 3, 81, 21495, 1, 2, 1, 1, 3, 25, 1, 519, 77, 476, 1, 1, 2, 1, 4983, 2, 2, ...

Od září 2018^{[Aktualizace]}, největší známá Williamsova základna 3 je 2 × 3^1360104−1.^[3]

Zobecnění

A Williamsovo číslo druhého druhu základny b je přirozené číslo formuláře ${ displaystyle (b-1) cdot b ^ {n} +1}$ pro celá čísla b ≥ 2 a n ≥ 1, a Williams prime druhého druhu je Williamsovo číslo druhého druhu, které je prvočíslo. Williamsova prvočísla základny druhého druhu 2 jsou přesně ta Fermat připraví.

Nejméně n ≥ 1 takový, že (b−1)·bⁿ + 1 je prime jsou: (začněte b = 2)

1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 3, 10, 3, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 29, 14, 1, 1, 14, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 5, 12, 2, 1, 2, 2, 9, 16, 1, 2, 80, 1, 2, 4, 2, 3, 16, 2, 2, 2, 1, 15, 960, 15, 1, 4, 3, 1, 14, 1, 6, 20, 1, 3, 946, 6, 1, 18, 10, 1, 4, 1, 5, 42, 4, 1, 828, 1, 1, 2, 1, 12, 2, 6, 4, 30, 3, 3022, 2, 1, 1, 8, 2, 4, 4, 2, 11, 8, 2, 1, .. (sekvence A305531 v OEIS )

Od září 2018^{[Aktualizace]}, největší známá Williamsova základna druhého druhu základny 3 je 2 × 3^1175232+1.^[4]

A Williamsovo číslo základny třetího druhu b je přirozené číslo formuláře ${ displaystyle (b + 1) cdot b ^ {n} -1}$ pro celá čísla b ≥ 2 a n ≥ 1, Williamsovo číslo základny třetího druhu 2 je přesně to Zvyklá čísla. A Williams prime třetího druhu je Williamsovo číslo třetího druhu, které je prvočíslo.

A Williamsovo číslo základny čtvrtého druhu b je přirozené číslo formuláře ${ displaystyle (b + 1) cdot b ^ {n} +1}$ pro celá čísla b ≥ 2 a n ≥ 1, a Williams prime čtvrtého druhu je Williamsovo číslo čtvrtého druhu, které je prvočíslo, pro taková prvočísla neexistují ${ displaystyle b equiv 1 { bmod {3}}}$.

b	čísla n takhle ${ displaystyle (b + 1) cdot b ^ {n} -1}$ je hlavní	čísla n takhle ${ displaystyle (b + 1) cdot b ^ {n} +1}$ je hlavní
2	OEIS: A002235	OEIS: A002253
3	OEIS: A005540	OEIS: A005537
5	OEIS: A257790	OEIS: A143279
10	OEIS: A111391	(neexistuje)

Předpokládá se, že pro každého b ≥ 2, existuje nekonečně mnoho Williamsových prvočísel základny prvního druhu (původní Williamsovy prvočísla) b, nekonečně mnoho Williamsových prvočísel základny druhého druhu ba nekonečně mnoho Williamsových prvočísel základny třetího druhu b. Kromě toho, pokud b není = 1 mod 3, pak je nekonečně mnoho Williamsových prvočísel základny čtvrtého druhu b.

Duální forma

Pokud to necháme n vezměte záporné hodnoty a vyberte čitatel z čísel, dostaneme tato čísla:

Čísla Dual Williams základny prvního druhu b: čísla formuláře ${ displaystyle b ^ {n} - (b-1)}$ s b ≥ 2 a n ≥ 1.

Čísla Dual Williams základny druhého druhu b: čísla formuláře ${ displaystyle b ^ {n} + (b-1)}$ s b ≥ 2 a n ≥ 1.

Čísla Dual Williams základny třetího druhu b: čísla formuláře ${ displaystyle b ^ {n} - (b + 1)}$ s b ≥ 2 a n ≥ 1.

Čísla Dual Williams základny čtvrtého druhu b: čísla formuláře ${ displaystyle b ^ {n} + (b + 1)}$ s b ≥ 2 a n ≥ 1. (neexistuje, když b = 1 mod 3)

Na rozdíl od původních Williamsových prvočísel každého druhu jsou pouze některá velká duální Williamsova prvočísla každého druhu pravděpodobné prvočísla, protože pro tyto prvočísla N, ani N-1 ne N+1 lze do produktu triviálně zapsat.

b	čísla n takhle ${ displaystyle b ^ {n} - (b-1)}$ je (pravděpodobné) prvočíslo (duální Williamsova prvočísla prvního druhu)	čísla n takhle ${ displaystyle b ^ {n} + (b-1)}$ je (pravděpodobné) prvočíslo (duální Williamsova prvočísla druhého druhu)	čísla n takhle ${ displaystyle b ^ {n} - (b + 1)}$ je (pravděpodobné) prvočíslo (duální Williamsova prvočísla třetího druhu)	čísla n takhle ${ displaystyle b ^ {n} + (b + 1)}$ je (pravděpodobné) prvočíslo (duální Williamsova prvočísla čtvrtého druhu)
2	OEIS: A000043	(vidět Fermat prime )	OEIS: A050414	OEIS: A057732
3	OEIS: A014224	OEIS: A051783	OEIS: A058959	OEIS: A058958
4	OEIS: A059266	OEIS: A089437	OEIS: A217348	(neexistuje)
5	OEIS: A059613	OEIS: A124621	OEIS: A165701	OEIS: A089142
6	OEIS: A059614	OEIS: A145106	OEIS: A217352	OEIS: A217351
7	OEIS: A191469	OEIS: A217130	OEIS: A217131	(neexistuje)
8	OEIS: A217380	OEIS: A217381	OEIS: A217383	OEIS: A217382
9	OEIS: A177093	OEIS: A217385	OEIS: A217493	OEIS: A217492
10	OEIS: A095714	OEIS: A088275	OEIS: A092767	(neexistuje)

(pro nejmenší duální Williamsova prvočísla základny 1., 2. a 3. druhu bviz OEIS: A113516, OEIS: A076845 a OEIS: A178250)

Předpokládá se, že pro každého b ≥ 2, existuje nekonečně mnoho duálních Williamsových prvočísel prvního druhu (původní Williamsovy prvočísla) b, nekonečně mnoho duálních Williamsových prvočísel základny druhého druhu ba nekonečně mnoho duálních Williamsových prvočísel základny třetího druhu b. Kromě toho, pokud b není = 1 mod 3, pak existuje nekonečně mnoho duálních Williamsových prvočísel základny čtvrtého druhu b.

Viz také

• Zvykové číslo, což je přesně Williamsovo číslo základny třetího druhu 2

Reference

externí odkazy

• Primalita určitých celých čísel formy 2Arⁿ − 1
• Některá prvočísla tvarů 2 · 3ⁿ + 1 a 2,3ⁿ − 1
• Chris Caldwell, Největší databáze známých prvočísel na Prvních stránkách
• Williamsova základna prvního druhu 2: (2−1) · 2^74207281 − 1
• Williamsova základna prvního druhu 3: (3−1) · 3^1360104 − 1
• Williamsova základna druhého druhu 3: (3−1) · 3^1175232 + 1
• Williamsova základna prvního druhu 10: (10-1) · 10³⁸³⁶⁴³ − 1
• Williamsova základna prvního druhu 113: (113-1) · 113²⁸⁶⁶⁴³ − 1
• Williams připravuje v Prime wiki
• Seznam Williamsových prvočísel