Souhrnné číslo produktu - Sum-product number

A součet-produktové číslo v daném číselná základna ${displaystyle b}$ je přirozené číslo, které se rovná součinu součtu jeho číslic a součinu jejích číslic.

V dané základně existuje konečný počet součtových čísel ${displaystyle b}$ .^[1] V základně 10 jsou přesně čtyři čísla součtových produktů (sekvence A038369 v OEIS ): 0, 1, 135 a 144.^[2]

Definice

Nechat ${displaystyle n}$ být přirozené číslo. Definujeme funkce součtu produktu pro základnu ${displaystyle b> 1}$ ${displaystyle F_ {b}: mathbb {N} ightarrow mathbb {N}}$ být následující:

{displaystyle F_ {b} (n) = left (sum _ {i = 1} ^ {l} d_ {i} ight) left (prod _ {j = 1} ^ {l} d_ {j} ight)}

kde ${displaystyle k = lfloor log _ {b} {n} patro +1}$ je počet číslic v čísle v základně ${displaystyle b}$ , a

{displaystyle d_ {i} = {frac {n {mod {b ^ {i + 1}}} - n {mod {b}} ^ {i}} {b ^ {i}}}}

je hodnota každé číslice čísla. Přirozené číslo ${displaystyle n}$ je součet-produktové číslo pokud je to pevný bod pro ${displaystyle F_ {b}}$ , který nastane, pokud ${displaystyle F_ {b} (n) = n}$ . Přirozená čísla 0 a 1 jsou triviální součet čísel produktů pro všechny ${displaystyle b}$ a všechna ostatní čísla součtových produktů jsou netriviální čísla součtového produktu.

Například číslo 144 v základna 10 je souhrnné číslo produktu, protože ${displaystyle 1 + 4 + 4 = 9}$ , ${displaystyle (1) (4) (4) = 16}$ , a ${displaystyle (9) (16) = 144}$ .

Přirozené číslo ${displaystyle n}$ je společenské číslo součtu produktu pokud je to periodický bod pro ${displaystyle F_ {b}}$ , kde ${displaystyle F_ {b} ^ {p} (n) = n}$ pro kladné celé číslo ${displaystyle p}$ , a tvoří a cyklus období ${displaystyle p}$ . Číslo součtu produktu je společenské číslo součtu produktu s ${displaystyle p = 1}$ a smírné součet - číslo produktu je společenské číslo součtu produktu s ${displaystyle p = 2}$ .

Všechna přirozená čísla ${displaystyle n}$ jsou preperiodické body pro ${displaystyle F_ {b}}$ , bez ohledu na základnu. Je to proto, že pro jakýkoli daný počet číslic ${displaystyle k}$ , minimální možná hodnota ${displaystyle n}$ je ${displaystyle b ^ {k-1}}$ a maximální možná hodnota ${displaystyle n}$ je ${displaystyle b ^ {k} -1 = součet _ {i = 0} ^ {k-1} (b-1) ^ {k}}$ . Maximální možný součet číslic je tedy ${displaystyle k (b-1)}$ a maximální možný číselný produkt je ${displaystyle (b-1) ^ {k}}$ . Hodnota funkce součet-součin je tedy ${displaystyle F_ {b} (n) = k (b-1) ^ {k + 1}}$ . To naznačuje ${displaystyle k (b-1) ^ {k + 1} geq ngeq b ^ {k-1}}$ nebo vydělením obou stran ${displaystyle {(b-1)} ^ {k-1}}$ , ${displaystyle k (b-1) ^ {2} geq {left ({frac {b} {b-1}} ight)} ^ {k-1}}$ . Od té doby ${displaystyle {frac {b} {b-1}} geq 1}$ , to znamená, že zde bude maximální hodnota ${displaystyle k}$ kde ${displaystyle {left ({frac {b} {b-1}} ight)} ^ {k} leq k (b-1) ^ {2}}$ , kvůli exponenciální povaha ${displaystyle {left ({frac {b} {b-1}} ight)} ^ {k}}$ a linearita z ${displaystyle k (b-1) ^ {2}}$ . Nad tuto hodnotu ${displaystyle k}$ , ${displaystyle F_ {b} (n) leq n}$ vždy. Existuje tedy konečný počet součtových čísel,^[1] a je zaručeno, že jakékoli přirozené číslo dosáhne periodického bodu nebo pevného bodu menšího než ${displaystyle b ^ {k} -1}$ , což z něj činí preperiodický bod.

Počet iterací ${displaystyle i}$ potřebné pro ${displaystyle F_ {b} ^ {i} (n)}$ dosáhnout pevného bodu je funkce součtu produktu vytrvalost z ${displaystyle n}$ a undefined, pokud nikdy nedosáhne pevného bodu.

Jakékoli celé číslo, které je v dané základně součtem, musí být podle definice také a Harshadovo číslo v té základně.

Čísla součtových produktů a cykly F_b pro konkrétní b

Všechna čísla jsou uvedena v základně ${displaystyle b}$ .

Základna	Netriviální čísla součtových produktů	Cykly
2	(žádný)	(žádný)
3	(žádný)	2 → 11 → 2, 22 → 121 → 22
4	12	(žádný)
5	341	22 → 31 → 22
6	(žádný)	(žádný)
7	22, 242, 1254, 2343, 116655, 346236, 424644
8	(žádný)
9	13, 281876, 724856, 7487248	53 → 143 → 116 → 53
10	135, 144
11	253, 419, 2189, 7634, 82974
12	128, 173, 353
13	435, A644, 268956
14	328, 544, 818C
15	2585
16	14
17	33, 3B2, 3993, 3E1E, C34D, C8A2
18	175, 2D2, 4B2
19	873, B1E, 24A8, EAH1, 1A78A, 6EC4B7
20	1D3, 14C9C, 22DCCG
21	1CC69
22	24, 366C, 6L1E, 4796G
23	7D2, J92, 25EH6
24	33DC
25	15, BD75, 1BBN8A
26	81M, JN44, 2C88G, EH888
27	${displaystyle varnothing}$
28	15B
29	${displaystyle varnothing}$
30	976, 85MDA
31	44, 13H, 1E5
32	${displaystyle varnothing}$
33	1KS69, 54HSA
34	25Q8, 16L6W, B6CBQ
35	4U5W5
36	16, 22 °

Rozšíření na záporná celá čísla

Čísla součtových produktů lze rozšířit na záporná celá čísla pomocí a podepsané číslice reprezentovat každé celé číslo.

Příklad programování

Následující příklad implementuje funkci součtového produktu popsanou ve výše uvedené definici hledat čísla součtu a produktu a cykly v Krajta.

def sum_product(X: int, b: int) -> int:    "" "Souhrnné číslo produktu." ""    sum_x = 0    produkt = 1    zatímco X > 0:        -li X % b > 0:            sum_x = sum_x + X % b            produkt = produkt * (X % b)        X = X // b    vrátit se sum_x * produktdef sum_product_cycle(X: int, b: int) -> seznam[int]:    vidět = []    zatímco X ne v vidět:        vidět.připojit(X)        X = sum_product(X, b)    cyklus = []    zatímco X ne v cyklus:        cyklus.připojit(X)        X = sum_product(X, b)    vrátit se cyklus

Viz také

Reference

^ ^A ^b Důkaz, že počet součtových čísel produktů v libovolné základně je konečný, PlanetMath. Archivováno 09.05.2013 na Wayback Machine Raymond Puzio
^ Sloane, N. J. A. (vyd.). "Pořadí A038369 (Čísla n taková, že n = (součin číslic n) * (součet číslic n).)". The On-line encyklopedie celočíselných sekvencí. Nadace OEIS.

[planetmath-1] A ^b Důkaz, že počet součtových čísel produktů v libovolné základně je konečný, PlanetMath. Archivováno 09.05.2013 na Wayback Machine Raymond Puzio

[2] Sloane, N. J. A. (vyd.). "Pořadí A038369 (Čísla n taková, že n = (součin číslic n) * (součet číslic n).)". The On-line encyklopedie celočíselných sekvencí. Nadace OEIS.

[1]

[2]