Sekvence líných kuchařů - Lazy caterers sequence - Wikipedia

Palačinka nakrájená na sedm kusů se třemi rovnými řezy.

The sekvence líného kuchaře, více formálně známý jako centrální polygonální čísla, popisuje maximální počet kusů a disk (A lívanec nebo pizza se obvykle používá k popisu situace), které lze provést s daným počtem přímých řezů. Například tři řezy přes palačinku vyprodukují šest kusů, pokud se všechny řezy setkají ve společném bodě uvnitř kruhu, ale až sedm, pokud ne. Tento problém lze matematicky formalizovat jako jeden z počítání buněk v uspořádání řádků; pro zobecnění do vyšších dimenzí, vidět uspořádání hyperplánů.

Analogem této posloupnosti ve třech rozměrech je číslo dortu.^[1]

Vzorec a posloupnost

Maximální počet p kusů, které lze vytvořit s daným počtem řezů $n$ , kde $n \geq 0$ , je dáno vzorcem

{ displaystyle p = { frac {n ^ {2} + n + 2} {2}}.}

Použitím binomické koeficienty, vzorec lze vyjádřit jako

{ displaystyle p = 1 + { tbinom {n + 1} {2}} = { tbinom {n} {0}} + { tbinom {n} {1}} + { tbinom {n} {2 }}.}

Jednoduše řečeno, každé číslo se rovná a trojúhelníkové číslo plus 1.

Tento sekvence (sekvence A000124 v OEIS ), začínání s $n = 0$ , tedy vede k

1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56, 67, 79, 92, 106, 121, 137, 154, 172, 191, 211, ...

Důkaz

Maximální počet kusů z po sobě jdoucích řezů jsou čísla v Lazy Caterer's Sequence.

Když je kruh vyříznut $n$ krát, aby se vyrobil maximální počet kusů, vyjádřený jako $p = F (n)$ , $n$ musí být zvážen th řez; počet kusů před posledním řezem je $F (n - 1)$ , zatímco počet kusů přidaných posledním řezem je $n$ .

Chcete-li získat maximální počet kusů, $n$ tato čára řezu by měla protínat všechny ostatní předchozí čáry řezu uvnitř kruhu, ale neměla by protínat žádný průsečík předchozích čar řezu. To znamená, že $n$ samotná linie je zarezána $n - 1$ místa a do $n$ úsečky. Každý segment rozděluje jeden kus $(n - 1)$ - nakrájejte palačinku na 2 části a přidejte přesně $n$ na počet kusů. Nová čára nemůže mít žádné další segmenty, protože může překročit každou předchozí čáru pouze jednou. Řezná čára může vždy procházet všemi předchozími řeznými čarami, protože otáčení nože v malém úhlu kolem bodu, který není existujícím průsečíkem, protne všechny předchozí řádky včetně poslední přidané, pokud je úhel dostatečně malý.

Tedy celkový počet kusů po $n$ řezy je

{ displaystyle f (n) = n + f (n-1).}

Tento relace opakování lze vyřešit. Li $F (n - 1)$ je rozšířen o jeden termín, kterým se vztah stává

{ displaystyle f (n) = n + (n-1) + f (n-2).}

Rozšíření termínu $F (n - 2)$ může pokračovat, dokud se poslední termín nesníží na $F (0)$ , tím pádem,

{ Displaystyle f (n) = n + (n-1) + (n-2) + cdots + 1 + f (0).}

Od té doby $F (0) = 1$ , protože před provedením řezů je jeden kus, lze jej přepsat na

{ displaystyle f (n) = 1 + (1 + 2 + 3 + cdots + n).}

To lze zjednodušit pomocí vzorce pro součet an aritmetický postup:

{ displaystyle f (n) = 1 + { frac {n (n + 1)} {2}} = { frac {n ^ {2} + n + 2} {2}}.}

Viz také

Floydův trojúhelník
Rozdělení kruhu na oblasti - kde n je počet stran vepsaného mnohoúhelníku

Poznámky

^ Weisstein, Eric W. "Vesmírná divize letadly". mathworld.wolfram.com. Citováno 2020-08-11.

Reference

Moore, T. L. (1991), „Použití Eulerova vzorce k řešení problémů s rovinnou separací“, The College Mathematics Journal, Mathematical Association of America, 22 (2): 125–130, doi:10.2307/2686448, JSTOR 2686448.

Steiner, J. (1826), „Einige Gesetze über die Theilung der Ebene und des Raumes („ Několik prohlášení o rozdělení roviny a vesmíru “)“, J. Reine Angew. Matematika., 1: 349–364.

Wetzel, J. E. (1978), „O rozdělení letadla rovinami“ (PDF), Americký matematický měsíčník, Mathematical Association of America, 85 (8): 647–656, doi:10.2307/2320333, JSTOR 2320333, archivovány z originál (PDF) dne 21. 7. 2011, vyvoláno 2008-12-15.

externí odkazy

Weisstein, Eric W. „Circle Division by Lines“. MathWorld.

[1] Weisstein, Eric W. "Vesmírná divize letadly". mathworld.wolfram.com. Citováno 2020-08-11.

[1]