Poměr stříbra - Silver ratio

	Seznam čísel; Iracionální čísla; ζ(3); √2; √3; √5; φ; E; π;
Binární	10.01101010000010011110…
Desetinný	2.4142135623730950488…
Hexadecimální	2.6A09E667F3BCC908B2F…
Pokračující zlomek
Algebraická forma	1 + √2

Stříbrný obdélník

Poměr stříbra v osmiúhelníku

v matematika, dvě veličiny jsou v poměr stříbra (nebo stříbrný průměr)^[1]^[2] pokud poměr menší z těchto dvou veličin k většímu množství je stejný jako poměr většího množství k součtu menšího množství a dvojnásobku většího množství (viz níže). To definuje poměr stříbra jako iracionální matematická konstanta, jehož hodnota jednoho plus druhá odmocnina ze 2 je přibližně 2,4142135623. Jeho název je narážkou na Zlatý řez; analogicky k tomu, jak je zlatý řez omezujícím poměrem po sobě jdoucích Fibonacciho čísla, poměr stříbra je omezující poměr po sobě jdoucích Pell čísla. Poměr stříbra je označen $δ S$ .

Matematici studovali poměr stříbra od dob Řeků (i když možná až donedávna bez zvláštního jména) kvůli jeho spojení s druhou odmocninou 2, jeho konvergenty, čtvercová trojúhelníková čísla, Pell čísla, osmiúhelníky a podobně.

Vztah popsaný výše lze vyjádřit algebraicky:

{ displaystyle { frac {2a + b} {a}} = { frac {a} {b}} equiv delta _ {S}}

nebo ekvivalentně

{ displaystyle 2 + { frac {b} {a}} = { frac {a} {b}} equiv delta _ {S}}

Poměr stříbra lze také definovat jednoduchým pokračující zlomek [2; 2, 2, 2, ...]:

{ displaystyle 2 + { cfrac {1} {2 + { cfrac {1} {2 + { cfrac {1} {2+ ddots}}}}}} = delta _ {S}}

The konvergenty této pokračující frakce (2/1, 5/2, 12/5, 29/12, 70/29, ...) jsou poměry po sobě jdoucích čísel Pell. Tyto zlomky poskytují přesné údaje racionální aproximace poměru stříbra, analogicky k aproximaci zlatého řezu poměry po sobě jdoucích Fibonacciho čísel.

Stříbrný obdélník je spojen s pravidelným osmiúhelník. Pokud je pravidelný osmiúhelník rozdělen na dva rovnoramenné lichoběžníky a obdélník, pak je obdélník stříbrný obdélník s poměrem stran 1: $δ S$ a 4 strany lichoběžníků jsou v poměru 1: 1: 1: $δ S$ . Pokud je délka hrany pravidelného osmiúhelníku $t$ , pak je rozpětí osmiúhelníku (vzdálenost mezi protilehlými stranami) $δ S t$ a plocha osmiúhelníku je $2 δ S t 2$ .^[3]

Výpočet

Pro srovnání dvě veličiny A, b s A > b > 0 se říká, že je v Zlatý řez $φ$ li,

{ displaystyle { frac {a + b} {a}} = { frac {a} {b}} = varphi}

Jsou však v poměr stříbra $δ S$ li,

{ displaystyle { frac {2a + b} {a}} = { frac {a} {b}} = delta _ {S}.}

Ekvivalentně

{ displaystyle 2 + { frac {b} {a}} = { frac {a} {b}} = delta _ {S}}

Proto,

{ displaystyle 2 + { frac {1} { delta _ {S}}} = delta _ {S}.}

Vynásobením $δ S$ a přeskupení dává

{ displaystyle { delta _ {S}} ^ {2} -2 delta _ {S} -1 = 0.}

Za použití kvadratický vzorec lze získat dvě řešení. Protože $δ S$ je poměr kladných veličin, je nutně kladný, takže,

{ displaystyle delta _ {S} = 1 + { sqrt {2}} = 2,41421356237 dots}

Vlastnosti

Pokud jeden vystřihne dva z největších možných čtverců ze stříbrného obdélníku, zůstane mu stříbrný obdélník, na který lze postup opakovat ...

Stříbrné spirály uvnitř stříbrného obdélníku

Číselně-teoretické vlastnosti

Poměr stříbra je a Číslo Pisot – Vijayaraghavan (Číslo PV) jako jeho konjugát $1 - \sqrt 2 = -1 / δ S \approx -0.41$ má absolutní hodnotu menší než 1. Ve skutečnosti je to druhé nejmenší kvadratické číslo PV po zlatém řezu. To znamená vzdálenost od $δ n S$ na nejbližší celé číslo je $1 / δ n S \approx 0.41 n$ . Tedy posloupnost dílčí části z $δ n S$ , $n = 1, 2, 3, ...$ (bráno jako prvky torusu) konverguje. Zejména tato sekvence není ekvidistribuovaný mod 1.

Pravomoci

Nižší síly poměru stříbra jsou

{ displaystyle delta _ {S} ^ {- 1} = 1 delta _ {S} -2 = [0; 2,2,2,2,2, tečky] přibližně 0,41421}

{ displaystyle delta _ {S} ^ {0} = 0 delta _ {S} + 1 = [1] = 1}

{ displaystyle delta _ {S} ^ {1} = 1 delta _ {S} + 0 = [2; 2,2,2,2,2, tečky] přibližně 2,41421}

{ displaystyle delta _ {S} ^ {2} = 2 delta _ {S} + 1 = [5; 1,4,1,4,1, tečky] přibližně 5,82842}

{ displaystyle delta _ {S} ^ {3} = 5 delta _ {S} + 2 = [14; 14,14,14, tečky] přibližně 14,07107}

{ displaystyle delta _ {S} ^ {4} = 12 delta _ {S} + 5 = [33; 1,32,1,32, tečky] přibližně 33,97056}

Síly pokračují ve vzoru

{ displaystyle delta _ {S} ^ {n} = K_ {n} delta _ {S} + K_ {n-1}}

kde

{ displaystyle K_ {n} = 2K_ {n-1} + K_ {n-2}}

Například pomocí této vlastnosti:

{ displaystyle delta _ {S} ^ {5} = 29 delta _ {S} + 12 = [82; 82,82,82, tečky] přibližně 82,01219}

Použitím $K. 0 = 1$ a $K. 1 = 2$ jako počáteční podmínky, a Binet -jako vzorec vyplývá z řešení relace opakování

{ displaystyle K_ {n} = 2K_ {n-1} + K_ {n-2}}

který se stává

{ displaystyle K_ {n} = { frac {1} {2 { sqrt {2}}}} left ( delta _ {S} ^ {n + 1} - {(2- delta _ {S })} ^ {n + 1} vpravo)}

Trigonometrické vlastnosti

Poměr stříbra je úzce spojen s trigonometrickými poměry pro $π / 8 = 22.5°$ .

{ displaystyle sin { frac { pi} {8}} = { frac { sqrt {2 - { sqrt {2}}}} {2}} = { frac { sqrt {1-1 / delta _ {s}}} {2}}}

{ displaystyle cos { frac { pi} {8}} = { frac { sqrt {2 + { sqrt {2}}}} {2}} = { frac { sqrt {1+ delta _ {s}}} {2}}}

{ displaystyle tan { frac { pi} {8}} = { sqrt {2}} - 1 = { frac {1} { delta _ {s}}}}

{ displaystyle cot { frac { pi} {8}} = tan { frac {3 pi} {8}} = { sqrt {2}} + 1 = delta _ {s}}

Takže plocha pravidelného osmiúhelníku s délkou strany $A$ je dána

{ displaystyle A = 2a ^ {2} cot { frac { pi} {8}} = 2 (1 + { sqrt {2}}) a ^ {2} simeq 4.828427a ^ {2}. }

Velikosti papíru a stříbrné obdélníky

Obdélník, jehož poměr stran je poměr stříbra (1:√2, přibližně 1: 1,4142135 desítkově) se někdy nazývá a stříbrný obdélník analogicky s zlaté obdélníky. The velikosti papíru pod ISO 216 jsou takové obdélníky. 1:√2 obdélníky (obdélníky ve tvaru papíru ISO 216) mají tu vlastnost, že rozříznutím obdélníku na polovinu přes jeho dlouhou stranu vzniknou dva menší obdélníky se stejným poměrem stran.

Odstranění největšího možného čtverce z takového obdélníku ponechá obdélník s proporcemi 1 : (√2 − 1) což je stejné jako (1 + √2) : 1, poměr stříbra. Odstranění největšího čtverce z výsledného obdélníku ponechá jeden znovu s poměrem stran 1:√2.^[4] Odstraněním největšího možného čtverce z kteréhokoli druhu stříbrného obdélníku se získá stříbrný obdélník druhého druhu a následným opakováním postupu se získá obdélník původního tvaru, ale menší o lineární faktor 1 + √2.^[3]

Viz také

Reference

^ Věra W. de Spinadel (1999). Rodina kovových prostředků, Vismath 1 odst. 3 z Matematického ústavu České republiky Srbská akademie věd a umění.
^ de Spinadel, Vera W. (1998). Williams, Kim (ed.). „Kovové prostředky a design“. Nexus II: Architektura a matematika. Fucecchio (Florencie): Edizioni dell'Erba: 141–157.
^ ^A ^b Kapusta, Janos (2004), „Čtverec, kruh a zlatý podíl: nová třída geometrických konstrukcí“ (PDF), Forma, 19: 293–313.
^ Listere, Davide. „Obdélník A4“. Seznam Listerů. Anglie: British Origami Society. Citováno 2009-05-06.

Další čtení

Buitrago, Antonia Redondo (2008). "Polygons, Diagonals, and the Bronze Mean", Nexus Network Journal 9,2: Architecture and Mathematics, str. 321-2. Springer Science & Business Media. ISBN 9783764386993.

externí odkazy

Weisstein, Eric W. "Silver Ratio". MathWorld.
"Úvod do pokračujících zlomků: Stříbro znamená ", Fibonacciho čísla a zlatý řez.
"Stříbrný obdélník a jeho posloupnost „v Tartapelago Giorgio Pietrocola

[1] Věra W. de Spinadel (1999). Rodina kovových prostředků, Vismath 1 odst. 3 z Matematického ústavu České republiky Srbská akademie věd a umění.

[2] Spinadel, Vera W. (1998). Williams, Kim (ed.). „Kovové prostředky a design“. Nexus II: Architektura a matematika. Fucecchio (Florencie): Edizioni dell'Erba: 141–157.

[kapusta-3] A ^b Kapusta, Janos (2004), „Čtverec, kruh a zlatý podíl: nová třída geometrických konstrukcí“ (PDF), Forma, 19: 293–313.

[4] Listere, Davide. „Obdélník A4“. Seznam Listerů. Anglie: British Origami Society. Citováno 2009-05-06.

[1]

[2]

[3]

[4]

Zlomky a poměry
	Rozdělení a poměr	Dividenda : Dělitel = Kvocient
	Zlomek	Čitatel / jmenovatel = kvocient
	Algebraický Aspekt Binární Pokračování Desetinný Dyadic Egyptský Zlatý stříbrný Celé číslo Neredukovatelné Snížení Jen intonace LCD Hudební interval Velikost papíru Procento Jednotka

Seznam čísel Iracionální čísla $ζ$ (3) √2 √3 √5 $φ$ $E$ $π$
Binární	10.01101010000010011110…
Desetinný	2.4142135623730950488…
Hexadecimální	2.6A09E667F3BCC908B2F…
Pokračující zlomek	${ displaystyle textstyle 2 + { cfrac {1} {2 + { cfrac {1} {2 + { cfrac {1} {2 + { cfrac {1} { ddots}}}}}}} }}$
Algebraická forma	1 + √2

Iracionální čísla
Chaitin ( $Ω$ ) Liouville primární ( $ρ$ ) Logaritmus 2 Gaussova ( $G$ ) Dvanáctý kořen 2 Apéryho ( $ζ (3)$ ) Plastický ( $ρ$ ) Druhá odmocnina ze 2 Poměr supergoldenů ( $ψ$ ) Erdős – Borwein ( $E$ ) Zlatý řez ( $φ$ ) Druhá odmocnina ze 3 Druhá odmocnina z 5 Poměr stříbra ( $δ S$ ) Euler ( $E$ ) Pi ( $π$ )
Schizofrenik Transcendentální Trigonometrický