Vysoce totient číslo - Highly totient number

A vysoce totient číslo ${ displaystyle k}$ je celé číslo, které má více řešení rovnice ${ displaystyle phi (x) = k}$, kde ${ displaystyle phi}$ je Eulerova totientová funkce, než jakékoli celé číslo pod ním. Prvních několik vysoce totient čísel je

1, 2, 4, 8, 12, 24, 48, 72, 144, 240, 432, 480, 576, 720, 1152, 1440 (sekvence A097942 v OEIS ) s 1, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 17, 21, 31, 34, 37, 38, 49, 54 a 72 totientními řešeními. Posloupnost vysoce totientních čísel je podmnožinou posloupnosti nejmenšího čísla ${ displaystyle k}$ přesně ${ displaystyle n}$ řešení ${ displaystyle phi (x) = k}$.^[1]

Totient čísla ${ displaystyle x}$s primární faktorizací ${ displaystyle x = prod _ {i} p_ {i} ^ {e_ {i}}}$je produkt:

${ displaystyle phi (x) = prod _ {i} (p_ {i} -1) p_ {i} ^ {e_ {i} -1}.}$

Vysoce totientní číslo je tedy číslo, které má více způsobů vyjádření jako produkt této formy, než jakékoli menší číslo.

Koncept je poněkud analogický konceptu vysoce složená čísla, a stejným způsobem, že 1 je jediné liché vysoce složené číslo, je to také jediné liché vysoce totentní číslo (jediné liché číslo, které nemá být nereceptivní ). A stejně jako existuje nekonečně mnoho vysoce složených čísel, existuje také nekonečně mnoho vysoce totientních čísel, ačkoli vysoce totientní čísla jsou těžší najít vyšší, protože výpočet totientové funkce zahrnuje faktorizace do připraví, což se s přibývajícími čísly stává extrémně obtížným.

Příklad

Existuje pět čísel (15, 16, 20, 24 a 30), jejichž celkové číslo je 8. Žádné kladné celé číslo menší než 8 nemá tolik takových čísel, takže 8 je vysoce totient.

Stůl

n	Hodnoty k takhle ${ displaystyle phi (k) = n}$ (sekvence A032447 v OEIS )	Počet hodnot k takhle ${ displaystyle phi (k) = n}$ (sekvence A014197 v OEIS )
0		0
1	1, 2	2
2	3, 4, 6	3
3		0
4	5, 8, 10, 12	4
5		0
6	7, 9, 14, 18	4
7		0
8	15, 16, 20, 24, 30	5
9		0
10	11, 22	2
11		0
12	13, 21, 26, 28, 36, 42	6
13		0
14		0
15		0
16	17, 32, 34, 40, 48, 60	6
17		0
18	19, 27, 38, 54	4
19		0
20	25, 33, 44, 50, 66	5
21		0
22	23, 46	2
23		0
24	35, 39, 45, 52, 56, 70, 72, 78, 84, 90	10
25		0
26		0
27		0
28	29, 58	2
29		0
30	31, 62	2
31		0
32	51, 64, 68, 80, 96, 102, 120	7
33		0
34		0
35		0
36	37, 57, 63, 74, 76, 108, 114, 126	8
37		0
38		0
39		0
40	41, 55, 75, 82, 88, 100, 110, 132, 150	9
41		0
42	43, 49, 86, 98	4
43		0
44	69, 92, 138	3
45		0
46	47, 94	2
47		0
48	65, 104, 105, 112, 130, 140, 144, 156, 168, 180, 210	11
49		0
50		0

Viz také

• Vysoce kototientní číslo

Reference

• L. Havelock, Několik pozorování totální a kototentní valence z PlanetMath