Osmistěnné číslo - Octahedral number

146 magnetické koule, zabalené ve formě osmistěnu

v teorie čísel, an osmistěnné číslo je figurativní číslo což představuje počet koulí v osmistěn vytvořen z těsně zabalené koule. The nth octahedral number ${ displaystyle O_ {n}}$ lze získat vzorcem:^[1]

${ displaystyle O_ {n} = {n (2n ^ {2} +1) nad 3}.}$

Prvních několik oktaedrických čísel je:

1, 6, 19, 44, 85, 146, 231, 344, 489, 670, 891 (sekvence A005900 v OEIS ).

Vlastnosti a aplikace

Osmiboká čísla mají a generující funkce

${ displaystyle { frac {z (z + 1) ^ {2}} {(z-1) ^ {4}}} = součet _ {n = 1} ^ { infty} O_ {n} z ^ {n} = z + 6z ^ {2} + 19z ^ {3} + cdots.}$

Sir Frederick Pollock v roce 1850 se domníval, že každé kladné celé číslo je součtem nejvýše 7 oktaedrických čísel.^[2] Toto prohlášení Pollock oktaedrická čísla dohad, se ukázalo jako pravdivé pro všechna, ale konečně mnoho čísel.^[3]

v chemie, osmistěnná čísla lze použít k popisu počtu atomů v osmistěných klastrech; v této souvislosti se jim říká magická čísla.^[4][5]

Vztah k jiným figurativním číslům

Čtvercové pyramidy

Oktaedrický balíček koulí lze rozdělit na dvě části čtvercové pyramidy, jeden vzhůru nohama pod druhým, rozdělením na čtvercový průřez. Proto nth octahedral number ${ displaystyle O_ {n}}$ lze získat přidáním dvou po sobě jdoucích čtvercová pyramidová čísla spolu:^[1]

${ displaystyle O_ {n} = P_ {n-1} + P_ {n}.}$

Čtyřstěn

Li ${ displaystyle O_ {n}}$ je ntřicetistěnné číslo a ${ displaystyle T_ {n}}$ je nth čtyřboké číslo pak

${ displaystyle O_ {n} + 4T_ {n-1} = T_ {2n-1}.}$

To představuje geometrický fakt, že lepením čtyřstěnu na každou ze čtyř nesousedících ploch osmistěnu se získá čtyřstěn o dvojnásobné velikosti.

Další vztah mezi oktaedrickými čísly a čtyřstěnnými čísly je také možný, na základě skutečnosti, že osmistěn lze rozdělit do čtyř čtyřstěnů, z nichž každý má dvě sousední původní tváře (nebo alternativně na základě skutečnosti, že každé čtvercové pyramidové číslo je součtem dvou čtyřboký čísla):

${ displaystyle O_ {n} = T_ {n} + 2T_ {n-1} + T_ {n-2}.}$

Kostky

Pokud jsou dva čtyřstěny připojeny k protilehlým plochám osmistěnu, výsledkem je a kosočtverec.^[6] Počet uzavřených sfér v kosodélníku je a krychle, zdůvodňující rovnici

${ displaystyle O_ {n} + 2T_ {n-1} = n ^ {3}.}$

Zarovnané čtverce

Čtvercové pyramidy, ve kterých má každá vrstva a centrované čtvercové číslo kostek. Celkový počet kostek v každé pyramidě je osmistěnné číslo.

Rozdíl mezi dvěma po sobě jdoucími oktaedrickými čísly je a centrované čtvercové číslo:^[1]

${ displaystyle O_ {n} -O_ {n-1} = C_ {4, n} = n ^ {2} + (n-1) ^ {2}.}$

Proto osmistěnné číslo také představuje počet bodů v a čtvercová pyramida vytvořený stohováním centrovaných čtverců; z tohoto důvodu ve své knize Arithmeticorum libri duo (1575), Francesco Maurolico nazval tato čísla „pyramidy quadratae secundae“.^[7]

Počet kostek v osmistěnu vytvořených skládáním středových čtverců je a na střed oktaedrické číslo, součet dvou po sobě jdoucích oktaedrických čísel. Tato čísla jsou

1, 7, 25, 63, 129, 231, 377, 575, 833, 1159, 1561, 2047, 2625, ... (sekvence A001845 v OEIS )

dané vzorcem

${ displaystyle O_ {n} + O_ {n-1} = { frac {(2n-1) (2n ^ {2} -2n + 3)} {3}}}$ pro n = 1, 2, 3, ...

Dějiny

První studie oktaedrických čísel se zdá být René Descartes, kolem roku 1630, v jeho De solidorum elementis. Před Descartem byla figurální čísla studována starými Řeky a také Johann Faulhaber, ale pouze pro polygonální čísla, pyramidová čísla, a kostky. Descartes představil studium figurálních čísel na základě Platonické pevné látky a některé z semiregular polyhedra; jeho práce zahrnovala osmistěnná čísla. Nicméně, De solidorum elementis byl ztracen a znovu objeven až v roce 1860. Mezitím byla osmiboká čísla znovu studována jinými matematiky, včetně Friedrich Wilhelm Marpurg v roce 1774, Georg Simon Klügel v roce 1808 a Sir Frederick Pollock v roce 1850.^[8]

Reference

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. "Octahedral Number". MathWorld.