Cullenovo číslo - Cullen number

v matematika, a Cullenovo číslo je členem přirozené číslo sekvence formuláře ${ displaystyle n cdot 2 ^ {n} +1}$ (psaný ${ displaystyle C_ {n}}$). Cullenova čísla nejprve studoval James Cullen v roce 1905. Čísla jsou speciální případy Proth čísla.

Vlastnosti

V roce 1976 Christopher Hooley ukázal, že přirozená hustota kladných celých čísel ${ displaystyle n leq x}$ pro který C_n je hlavní je z objednat vůl) pro ${ displaystyle x to infty}$. V tomto smyslu, téměř všechny Cullenova čísla jsou kompozitní.^[1] Hioleiho důkaz přepracoval Hiromi Suyama, aby ukázal, že funguje pro jakoukoli posloupnost čísel n · 2^n+A + b kde A a b jsou celá čísla, a zejména také pro Woodall čísla. Jediný známý Cullen připravuje jsou pro n rovnat se:

141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881 (sekvence A005849 v OEIS ).

Přesto se předpokládá, že Cullenových prvočísel je nekonečně mnoho.

V březnu 2020 je největší známá generalizovaná Cullenova prime 2805222 * 25^2805222+1. Má 3 921 539 číslic a objevil ho Tom Greer, a PrimeGrid účastník.^[2][3]

Cullenovo číslo C_n je dělitelné p = 2n - 1 pokud p je prvočíslo formuláře 8k - 3; dále vyplývá z Fermatova malá věta to když p je liché prvočíslo, pak se p dělí C_m(k) pro každého m(k) = (2^k − k)  (p − 1) − k (pro k > 0). Ukázalo se také, že prvočíslo p rozděluje C_{(p + 1) / 2} když Jacobi symbol (2 | p) je -1, a to p rozděluje C_{(3p − 1) / 2} když symbol Jacobi (2 |p) je +1.

Není známo, zda existuje prvočíslo p takhle C_p je také hlavní.

Zobecnění

Někdy, a zobecněná Cullenova číselná základna b je definováno jako číslo formuláře n × bⁿ + 1, kde n + 2 > b; pokud lze prvočíslo zapsat v této podobě, nazývá se to a zobecněný Cullen prime. Woodall čísla jsou někdy nazývány Cullenova čísla druhého druhu.^[4]

Podle Fermatova malá věta, pokud existuje prime p takhle n je dělitelné p - 1 a n + 1 je dělitelné p (zvláště když n = p - 1) a p nedělí b, pak bⁿ musí být shodný s 1 mod p (od té doby bⁿ je síla b^{p - 1} a b^{p - 1} je shodný s 1 mod p). Tím pádem, n × bⁿ + 1 je dělitelné p, takže to není prime. Například pokud nějaké n shodný s 2 mod 6 (tj. 2, 8, 14, 20, 26, 32, ...), n × bⁿ + 1 je tedy prime b musí být dělitelné 3 (kromě b = 1).

Nejméně n takhle n × bⁿ + 1 je prime are (s otazníky, pokud tento termín v současné době není znám)^[5][6]

1, 1, 2, 1, 1242, 1, 34, 5, 2, 1, 10, 1,?, 3, 8, 1, 19650, 1, 6460, 3, 2, 1, 4330, 2, 2805222, 117, 2, 1, a, 1, 82960, 5, 2, 25, 304, 1, 36, 3, 368, 1, 1806676, 1, 390, 53, 2, 1, a, 3, a, 9665, 62, 1, 1341174, 3, a, 1072, 234, 1, 220, 1, 142, 1295, 8, 3, 16990, 1, 474, 129897, a, 1, 13948, 1,?, 3, 2, 1161, 12198, 1, 682156, 5, 350, 1, 1242, 26, 186, 3, 2, 1, 298, 14, 101670, 9, 2, 775, 202, 1, 1374, 63, 2, 1, ... (sekvence A240234 v OEIS )

Reference

Další čtení

• Cullen, James (prosinec 1905), „otázka 15897“, Educ. Časy: 534.
• Guy, Richard K. (2004), Nevyřešené problémy v teorii čísel (3. vyd.), New York: Springer Verlag, Oddíl B20, ISBN  0-387-20860-7, Zbl  1058.11001.
• Hooley, Christopheri (1976), Aplikace sítových metod„Cambridge Tracts in Mathematics“, 70, Cambridge University Press, str. 115–119, ISBN  0-521-20915-3, Zbl  0327.10044.
• Keller, Wilfrid (1995), „New Cullen Primes“ (PDF), Matematika výpočtu, 64 (212): 1733–1741, S39 – S46, doi:10.2307/2153382, ISSN  0025-5718, Zbl  0851.11003.

externí odkazy

• Chris Caldwell, Prvních dvacet: Cullen připravuje na Prime Stránky.
• Hlavní glosář: Cullenovo číslo na Prvních stránkách.
• Weisstein, Eric W. "Cullenovo číslo". MathWorld.
• Cullen prime: definice a stav^{[trvalý mrtvý odkaz ]} (zastaralý), Cullen Prime Search je nyní hostován na PrimeGrid
• Paul Leyland, (Zobecněné) Cullen a Woodall čísla