Permutable prime - Permutable prime

A permutovatelný prime, také známý jako anagrammatický prime, je prvočíslo který, v daném základna, může mít pozice svých číslic přepnuto kterýmkoli permutace a stále být prvočíslem. H. E. Richert, který údajně jako první studuje tato prvočísla, jim říkal permutovatelná prvočísla,^[1] ale později byli také povoláni absolutní prvočísla.^[2]

v základna 10, jsou známa všechna permutovatelná prvočísla s méně než 49 081 číslicemi

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 113, 131, 199 311, 337, 373, 733, 919, 991, R.₁₉ (1111111111111111111), R₂₃, R.₃₁₇, R.₁₀₃₁, ... (sekvence A003459 v OEIS )

Z výše uvedeného existuje 16 jedinečných permutačních sad s nejmenšími prvky

2, 3, 5, 7, R.₂, 13, 17, 37, 79, 113, 199, 337, R.₁₉, R.₂₃, R.₃₁₇, R.₁₀₃₁, ... (sekvence A258706 v OEIS )

Poznámka R_n = ${ displaystyle { tfrac {10 ^ {n} -1} {9}}}$ je odměna, číslo skládající se pouze z n ty (v základna 10 ). Žádný hlavní odměna je permutovatelné prvočíslo s výše uvedenou definicí, ale některé definice vyžadují alespoň dvě odlišné číslice.^[3]

Všechna permutovatelná prvočísla dvou nebo více číslic se skládají z číslic 1, 3, 7, 9, protože žádné prvočíslo kromě 2 není sudé a žádné prvočíslo kromě 5 není dělitelné 5. Je prokázáno^[4] že neexistuje žádné permutovatelné prvočíslo, které obsahuje tři různé ze čtyř číslic 1, 3, 7, 9, a že neexistuje žádné permutovatelné prvočíslo složené ze dvou nebo více z každé ze dvou číslic vybraných z 1, 3, 7, 9.

Tady není žádný n-digit permutable prime pro 3 < n < 6·10¹⁷⁵ což není odměna.^[1] to je domnělý že neexistují žádné nepřeplatitelné permutovatelné prvočísla kromě těch, která jsou uvedena výše.

V základně 2 mohou být permutovatelnými prvočísly pouze repunits, protože jakákoli 0 permutovaná na ty místo má za následek sudé číslo. Proto jsou základní 2 permutovatelná prvočísla Mersenne připraví. Zobecnění lze bezpečně učinit pro všechny systém pozičních čísel, permutovatelná prvočísla s více než jednou číslicí mohou mít pouze číslice, které jsou coprime s základ číselného systému. Jednociferná prvočísla, což znamená jakékoli prvočíslo pod radixem, jsou vždy triviálně permutovatelná.

v základna 12, jsou známy nejmenší prvky jedinečných permutačních sad permutovatelných prvočísel s méně než 9 739 číslicemi (s použitím obrácených dvou a tří pro deset a jedenáct)

2, 3, 5, 7, Ɛ, R₂, 15, 57, 5Ɛ, R.₃, 117, 11Ɛ, 555Ɛ, R₅, R.₁₇, R.₈₁, R.₉₁, R.₂₂₅, R.₂₅₅, R._{4 ᘔ 5}, ...

Tady není žádný n-digit permutable prime v základně 12 pro 4 < n < 12¹⁴⁴ což není odměna. Předpokládá se, že v základně 12 neexistují žádná neobměněná permutovatelná prvočísla kromě těch, která jsou uvedena výše.

V základně 10 a základně 12 je každý permutovatelný prime repunit nebo near-repdigit, tj. Je to permutace celého čísla P(b, n, X, y) = xxxx...xxxy_b (n číslice, v základně b)kde X a y jsou číslice, na které je coprime b. Kromě, X a y musí být také coprime (protože pokud existuje prime str rozděluje obě X a y, pak str také rozdělí číslo), takže pokud X = y, pak X = y = 1. (To neplatí ve všech základnách, ale výjimky jsou vzácné a mohou být konečné v jakékoli dané základně; jediné výjimky pod 10⁹ v základech do 20 jsou: 139₁₁, 36A₁₁, 247₁₃, 78A₁₃, 29E₁₉ (M. Fiorentini, 2015).)

Nechat P(b, n, X, y) být permutovatelným prime v základně b a nechte str být takovým prvkem n ≥ str. Li b je primitivní kořen z str, a str nerozděluje X nebo |X - y| tedy n je násobkem str - 1. (Od té doby b je primitivní kořenový mod str a str nerozděluje |X − y|, str čísla xxxx...xxxy, xxxx...xxyx, xxxx...xyxx, ..., xxxx...xyxx...xxxx (pouze b^str−2 číslice je y, ostatní jsou všichni X), xxxx...yxxx...xxxx (pouze b^str−1 číslice je y, ostatní jsou všichni X), xxxx...xxxx (dále jen oprava s n Xs) mod str jsou různé. To znamená, že jeden je 0, další je 1, další je 2, ..., druhý je str - 1. Tedy od prvního str - 1 čísla jsou všechna prvočísla, poslední číslo (číslice s n Xs) musí být dělitelné str. Od té doby str nerozděluje X, tak str musí rozdělit odměnu s n 1 s. Od té doby b je primitivní kořenový mod str, multiplikativní pořadí n mod str je str - 1. Tedy n musí být dělitelné str − 1)

Pokud tedy b = 10, číslice coprime do 10 jsou {1, 3, 7, 9}. Protože 10 je primitivní kořenový mod 7, tak pokud n ≥ 7, pak buď 7 dělí X (v tomto případě, X = 7, protože X ∈ {1, 3, 7, 9}) nebo |X − y| (v tomto případě, X = y = 1, protože X, y ∈ {1, 3, 7, 9}. To znamená, že prime je odměna) nebo n je násobkem 7 - 1 = 6. Podobně, protože 10 je primitivní kořenový mod 17, takže pokud n ≥ 17, pak buď 17 dělí X (není možné, protože X ∈ {1, 3, 7, 9}) nebo |X − y| (v tomto případě, X = y = 1, protože X, y ∈ {1, 3, 7, 9}. To znamená, že prime je odměna) nebo n je násobkem 17 - 1 = 16. Kromě toho je 10 také primitivní kořenový mod 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193,. .., tak n ≥ 17 je velmi nemožné (protože pro toto připraví str, pokud n ≥ str, pak n je dělitelné str - 1), a pokud 7 ≤ n <17, tedy X = 7 nebo n je dělitelné 6 (jediné možné n je 12). Li b = 12, číslice coprime do 12 jsou {1, 5, 7, 11}. Protože 12 je primitivní kořenový mod 5, tak pokud n ≥ 5, pak buď 5 dělí X (v tomto případě, X = 5, protože X 1 {1, 5, 7, 11}) nebo |X − y| (v tomto případě buď X = y = 1 (tj. Prvočíslo je odměna) nebo X = 1, y = 11 nebo X = 11, y = 1, protože X, y ∈ {1, 5, 7, 11}.) Nebo n je násobkem 5 - 1 = 4. Podobně, protože 12 je primitivní kořenový mod 7, takže pokud n ≥ 7, pak buď 7 dělí X (v tomto případě, X = 7, protože X 1 {1, 5, 7, 11}) nebo |X − y| (v tomto případě, X = y = 1, protože X, y ∈ {1, 5, 7, 11}. To znamená, že prime je odměna) nebo n je násobkem 7 - 1 = 6. Podobně, protože 12 je primitivní kořenový mod 17, takže pokud n ≥ 17, pak buď 17 dělí X (není možné, protože X 1 {1, 5, 7, 11}) nebo |X − y| (v tomto případě, X = y = 1, protože X, y ∈ {1, 5, 7, 11}. To znamená, že prime je odměna) nebo n je násobkem 17 - 1 = 16. Kromě toho je 12 také primitivní kořenový mod 31, 41, 43, 53, 67, 101, 103, 113, 127, 137, 139, 149, 151, 163, 173, 197 , ..., tak n ≥ 17 je velmi nemožné (protože pro toto připraví str, pokud n ≥ str, pak n je dělitelné str - 1), a pokud 7 ≤ n <17, tedy X = 7 (v tomto případě, protože 5 se nedělí X nebo X − y, tak n musí být dělitelné 4) nebo n je dělitelné 6 (jediné možné n je 12).

Reference