Ramanujan prime - Ramanujan prime

v matematika, a Ramanujan prime je prvočíslo který uspokojí výsledek prokázaný Srinivasa Ramanujan týkající se funkce počítání prvočísel.

Počátky a definice

V roce 1919 vydal Ramanujan nový důkaz Bertrandův postulát což, jak poznamenává, bylo poprvé prokázáno Čebyšev.^[1] Na konci dvoustránkové publikované práce odvodil Ramanujan zobecněný výsledek, a to je:

${displaystyle pi (x) -pi left ({frac {x} {2}} ight) geq 1,2,3,4,5, ldots {ext {for all}} xgeq 2,11,17,29,41 , ldots {ext {respektive}}}$    OEIS: A104272

kde ${displaystyle pi (x)}$ je funkce počítání prvočísel, rovnající se počtu prvočísel menší nebo rovnýX.

Opakem tohoto výsledku je definice prvočísel Ramanujan:

The nth Ramanujan prime je nejméně celé číslo R_n pro který ${displaystyle pi (x) -pi (x / 2) geq n,}$ pro všechny X ≥ R_n.^[2] Jinými slovy: Ramanujan prvočísla jsou nejméně celá čísla R_n pro které existuje minimálně n prvočísla mezi X a X/ 2 pro všechny X ≥ R_n.

Prvních pět prvočísel Ramanujan je tedy 2, 11, 17, 29 a 41.

Všimněte si, že celé číslo R_n je nutně prvočíslo: ${displaystyle pi (x) -pi (x / 2)}$ a proto ${displaystyle pi (x)}$ se musí zvýšit získáním dalšího prvočísla v X = R_n. Od té doby ${displaystyle pi (x) -pi (x / 2)}$ může se zvýšit maximálně o 1,

${displaystyle pi (R_ {n}) - pi left ({frac {R_ {n}} {2}} ight) = n.}$

Hranice a asymptotický vzorec

Pro všechny ${displaystyle ngeq 1}$, hranice

${displaystyle 2nln 2n$

držet. Li ${displaystyle n> 1}$, pak také

${displaystyle p_ {2n}$

kde p_n je nth prvočíslo.

Tak jako n inklinuje k nekonečnu, R_n je asymptotické do 2nth prime, tj.

R_n ~ p_2n (n → ∞).

Všechny tyto výsledky prokázal Sondow (2009),^[3] kromě horní hranice R_n < p_3n kterou si domyslel a prokázal Laishram (2010).^[4] Vazba byla vylepšena Sondowem, Nicholsonem a Noem (2011)^[5] na

${displaystyle R_ {n} leq {frac {41} {47}} p_ {3n}}$

což je optimální forma R_n ≤ c · p_3n protože se jedná o rovnost pro n = 5.

Reference