Aritmetická dynamika - Arithmetic dynamics
Aritmetická dynamika[1] je obor, který spojuje dvě oblasti matematiky, dynamické systémy a teorie čísel. Diskrétní dynamika se klasicky vztahuje ke studiu opakování samo-map z složité letadlo nebo skutečná linie. Aritmetická dynamika je studium číselně-teoretických vlastností celé číslo, Racionální, p-adické a / nebo algebraické body při opakované aplikaci a polynomiální nebo racionální funkce. Základním cílem je popsat aritmetické vlastnosti z hlediska základních geometrických struktur.
Globální aritmetická dynamika je studium analogů klasické diofantická geometrie v nastavení diskrétních dynamických systémů, zatímco lokální aritmetická dynamika, také zvaný p-adic nebo nonarchimedean dynamika, je analogem klasické dynamiky, ve kterém nahradíme komplexní čísla C podle a p-adické pole, jako je Qp nebo Cp a studuje chaotické chování a Fatou a Julia zapadá.
Následující tabulka popisuje přibližnou korespondenci zejména mezi diofantickými rovnicemi abelianské odrůdy a dynamické systémy:
Diophantine rovnice | Dynamické systémy |
---|---|
Racionální a celočíselné body na odrůdě | Racionální a celočíselné body na oběžné dráze |
Body konečného pořadí na abelianské odrůdě | Preperiodické body racionální funkce |
Definice a zápis z diskrétní dynamiky
Nechat S být set a nechat F : S → S být mapou z S pro sebe. Opakování F sám se sebou n časy jsou označeny
Bod P ∈ S je periodicky -li F(n)(P) = P pro některé n > 1.
Jde o to předperiodické -li F(k)(P) je pro některé periodické k ≥ 1.
(Vpřed) oběžná dráha P je sada
Tím pádem P je předperiodické, právě když je na jeho oběžné dráze ÓF(P) je konečný.
Počet teoretických vlastností preperiodických bodů
Nechat F(X) být racionální funkcí stupně alespoň dva s koeficienty v Q. Věta Northcott[2] říká to F má jich konečně mnoho Q- racionální preperiodické body, tj. F má pouze konečně mnoho preperiodických bodů P1(Q). Jednotná domněnka omezenosti[3] Mortona a Silverman říká, že počet preperiodických bodů z F v P1(Q) je omezen konstantou, která závisí pouze na stupni F.
Obecněji řečeno F : PN → PN být morfismem stupně alespoň dvou definovaných v číselném poli K.. Northcottova věta to říká F má pouze konečně mnoho preperiodických bodůPN(K.)a obecná domněnka Uniform Boundedness tvrdí, že počet předperiodických bodů vPN(K.) mohou být omezeny pouze z hlediska N, stupeň Fa stupeň K. přes Q.
Dohoda Uniform Boundedness není známa ani pro kvadratické polynomy FC(X) = X2 + C přes racionální čísla Q. V tomto případě je známo, že FC(X) nemůže mít periodické body období čtyři,[4] Pět,[5] nebo šest,[6] i když výsledek za období šest je podmíněn platností domněnka Birch a Swinnerton-Dyer. Poonen se domníval, že FC(X) nemůže mít racionální periodické body jakéhokoli období striktně větší než tři.[7]
Celé číslo na oběžné dráze
Dráha racionální mapy může obsahovat nekonečně mnoho celých čísel. Například pokud F(X) je polynom s celočíselnými koeficienty a pokud A je celé číslo, pak je jasné, že celá oběžná dráha ÓF(A) sestává z celých čísel. Podobně, pokud F(X) je racionální mapa a některé iterace F(n)(X) je polynom s celočíselnými koeficienty, pak každý n-tý záznam na oběžné dráze je celé číslo. Příkladem tohoto jevu je mapa F(X) = X−d, jehož druhý iterát je polynom. Ukazuje se, že toto je jediný způsob, jak může oběžná dráha obsahovat nekonečně mnoho celých čísel.
- Teorém.[8] Nechat F(X) ∈ Q(X) být racionální funkcí stupně alespoň dva a předpokládat, že žádná iterace[9] z F je polynom. Nechat A ∈ Q. Pak oběžná dráha ÓF(A) obsahuje pouze konečně mnoho celých čísel.
Dynamicky definované body ležící na dílčích odrůdách
Existují obecné domněnky kvůli Shouwu Zhang[10]a další týkající se podrůd, které obsahují nekonečně mnoho periodických bodů nebo které protínají oběžnou dráhu v nekonečně mnoha bodech. Jedná se o dynamické analogy, respektive Dohoda Manin – Mumford, prokázáno Raynaudem a Mordell – Lang dohad, prokázáno Faltings. Následující domněnky ilustrují obecnou teorii v případě, že subvarieta je křivka.
- Dohad. Nechat F : PN → PN být morfismus a nechat C ⊂ PN být neredukovatelnou algebraickou křivkou. Předpokládejme, že to má smysl P ∈ PN takhle C obsahuje nekonečně mnoho bodů na oběžné dráze ÓF(P). Pak C je periodický pro F v tom smyslu, že existuje určitá iterace F(k) z F že mapy C pro sebe.
p-adická dynamika
Pole p-adická (nebo nonarchimedean) dynamika je studium klasických dynamických otázek přes pole K. to je úplné s ohledem na narcharcheanskou absolutní hodnotu. Příklady takových polí jsou pole p-adic racionální Qp a dokončení jeho algebraického uzavření Cp. Metrika zapnuta K. a standardní definice ekvikontinuity vede k obvyklé definici Fatou a Julia zapadá racionální mapy F(X) ∈ K.(X). Existuje mnoho podobností mezi komplexními a nearchimeanskými teoriemi, ale také mnoho rozdílů. Výrazným rozdílem je, že v nearchimedovském prostředí je sada Fatou vždy neprázdná, ale sada Julia může být prázdná. Toto je opak toho, co platí pro složitá čísla. Nonarchimedean dynamika byla rozšířena na Berkovichův prostor,[11] což je kompaktní propojený prostor, který obsahuje zcela odpojené nelokálně kompaktní pole Cp.
Zobecnění
Existují přirozené zobecnění aritmetické dynamiky Q a Qp jsou nahrazena číselnými poli a jejich p- adická dokončení. Další přirozenou generalizací je nahradit vlastní mapy P1 nebo PN s vlastními mapami (morfismy) PROTI → PROTI jiného afinního nebo projektivní odrůdy.
Další oblasti, ve kterých teorie čísel a dynamika interagují
Existuje mnoho dalších problémů řady teoretické povahy, které se objevují v nastavení dynamických systémů, včetně:
- dynamika skončila konečná pole.
- dynamika skončila funkční pole jako C(X).
- iterace formálních a p-adic výkonová řada.
- dynamika zapnuta Lež skupiny.
- aritmetické vlastnosti dynamicky definovaných modulové prostory.
- ekvidistribuce[12] a neměnný opatření, zejména na p-adické mezery.
- dynamika zapnuta Drinfeld moduly.
- numericko-teoretické iterační problémy, které nejsou popsány racionálními mapami na odrůdách, například Collatzův problém.
- symbolické kódování dynamických systémů založené na explicitní aritmetické expanzi reálných čísel.[13]
The Seznam referencí aritmetické dynamiky poskytuje rozsáhlý seznam článků a knih pokrývajících širokou škálu aritmetických dynamických témat.
Viz také
Poznámky a odkazy
- ^ Silverman, Joseph H. (2007). Aritmetika dynamických systémů. Postgraduální texty z matematiky. 241. New York: Springer. doi:10.1007/978-0-387-69904-2. ISBN 978-0-387-69903-5. PAN 2316407.
- ^ Northcott, Douglas Geoffrey (1950). "Periodické body na algebraické odrůdě". Annals of Mathematics. 51 (1): 167–177. doi:10.2307/1969504. JSTOR 1969504. PAN 0034607.
- ^ Morton, Patrick; Silverman, Joseph H. (1994). "Racionální periodické body racionálních funkcí". Oznámení o mezinárodním matematickém výzkumu. 1994 (2): 97–110. doi:10.1155 / S1073792894000127. PAN 1264933.
- ^ Morton, Patrick (1992). "Aritmetické vlastnosti periodických bodů kvadratických map". Acta Arithmetica. 62 (4): 343–372. doi:10,4064 / aa-62-4-343-372. PAN 1199627.
- ^ Flynn, Eugene V .; Poonen, Bjorn; Schaefer, Edward F. (1997). "Cykly kvadratických polynomů a racionálních bodů na křivce rodu-2". Duke Mathematical Journal. 90 (3): 435–463. arXiv:matematika / 9508211. doi:10.1215 / S0012-7094-97-09011-6. PAN 1480542.
- ^ Stoll, Michael (2008). "Racionální 6 cyklů pod iterací kvadratických polynomů". LMS Journal of Computation and Mathematics. 11: 367–380. arXiv:0803.2836. Bibcode:2008arXiv0803.2836S. doi:10.1112 / S1461157000000644. PAN 2465796.
- ^ Poonen, Bjorn (1998). "Klasifikace racionálních preperiodických bodů kvadratických polynomů přes Q: rafinovaná domněnka ". Mathematische Zeitschrift. 228 (1): 11–29. doi:10.1007 / PL00004405. PAN 1617987.
- ^ Silverman, Joseph H. (1993). "Celočíselné body, diofantická aproximace a iterace racionálních map". Duke Mathematical Journal. 71 (3): 793–829. doi:10.1215 / S0012-7094-93-07129-3. PAN 1240603.
- ^ Elementární věta říká, že pokud F(X) ∈ C(X) a pokud nějaká iterace F je polynom, pak již druhý iterát je polynom.
- ^ Zhang, Shou-Wu (2006). "Distribuce v algebraické dynamice". V Yau, Shing Tung (ed.). Diferenciální geometrie: Pocta profesorovi S.-S. Chern. Průzkumy v diferenciální geometrii. 10. Somerville, MA: Mezinárodní tisk. 381–430. doi:10.4310 / SDG.2005.v10.n1.a9. ISBN 978-1-57146-116-2. PAN 2408228.
- ^ Jasně, Robert; Baker, Matthew (2010). Teorie a dynamika potenciálu na Berkovichově projektivní linii. Matematické průzkumy a monografie. 159. Providence, RI: American Mathematical Society. arXiv:matematika / 0407433. doi:10.1090 / přežít / 159. ISBN 978-0-8218-4924-8. PAN 2599526.
- ^ Granville, Andrew; Rudnick, Zeév, eds. (2007). Equidistribuce v teorii čísel, úvod. NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry. 237. Dordrecht: Springer Nizozemsko. doi:10.1007/978-1-4020-5404-4. ISBN 978-1-4020-5403-7. PAN 2290490.
- ^ Sidorov, Nikita (2003). "Aritmetická dynamika". V Bezuglyi, Sergey; Kolyada, Sergiy (eds.). Témata dynamiky a ergodické teorie. Průzkumné práce a minikurzy prezentované na mezinárodní konferenci a americko-ukrajinském workshopu o dynamických systémech a ergodické teorii, Katsiveli, Ukrajina, 21. – 30. Srpna 2000. Lond. Matematika. Soc. Přednáška Poznámka Ser. 310. Cambridge: Cambridge University Press. str. 145–189. doi:10.1017 / CBO9780511546716.010. ISBN 0-521-53365-1. PAN 2052279. Zbl 1051.37007.
Další čtení
- Poznámky k přednášce o aritmetické dynamice zimní školy v Arizoně, 13. – 17. Března 2010, Joseph H. Silverman
- Kapitola 15 První kurz dynamiky: s panoramatem nedávného vývoje Boris Hasselblatt, A. B. Katok, Cambridge University Press, 2003, ISBN 978-0-521-58750-1
externí odkazy
- Aritmetika dynamických systémů domovská stránka
- Aritmetická dynamika bibliografie
- Analýza a dynamika na Berkovichově projektivní linii
- Knižní recenze z Joseph H. Silverman "Aritmetika dynamických systémů", přezkoumáno Robert L. Benedetto