Přísně nepalindromické číslo - Strictly non-palindromic number

A přísně nepalindromické číslo je celé číslo n to není palindromický v každém poziční číselná soustava s základna b v rozsahu 2 ≤b ≤ n - 2. Například číslo 6 je napsán jako „110“ v základna 2 „20“ v základna 3 a „12“ v základna 4, z nichž žádný není palindrom - takže 6 je přísně nepalindromní.

Definice

Reprezentace čísla n v základna b, kde b > 1 a n > 0, je posloupnost k+1 číslice A_i (0 ≤ i ≤ k) takové, že

${ displaystyle n = sum _ {i = 0} ^ {k} a_ {i} b ^ {i}}$

a 0 ≤A_i < b pro všechny i a A_k ≠ 0.

Taková reprezentace je definována jako palindromický -li A_i = A_k−i pro všechny i.

Číslo n je definován jako přísně nepalindromický pokud je zastoupení n není palindromická žádná báze b kde 2 ≤b ≤ n-2.

Posloupnost přísně nepalindromických čísel (posloupnost A016038 v OEIS ) začíná:

0, 1, 2, 3, 4, 6, 11, 19, 47, 53, 79, 103, 137, 139, 149, 163, 167, 179, 223, 263, 269, 283, 293, 311, 317, 347, 359, 367, 389, 439, 491, 563, 569, 593, 607, 659, 739, 827, 853, 877, 977, 983, 997, ...

Například číslo 19 napsáno v základech 2 až 17 je:

b	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
19 v základně b	10011	201	103	34	31	25	23	21	19	18	17	16	15	14	13	12

Žádný z nich není palindrom, takže 19 je přísně nepalindromické číslo.

Důvod pro horní hranici n - 2 na základně je, že všechna čísla jsou triviálně palindromická ve velkých základnách:

• V základně b = n − 1, n ≥ 3 je napsáno „11“.
• V jakékoli základně b > n, n je jedna číslice, takže je palindromická ve všech takových základnách.

Je tedy vidět, že horní hranice n - 2 je nutné k získání matematicky „zajímavé“ definice.

Pro n <4 je rozsah bází prázdný, takže tato čísla jsou triviálním způsobem striktně nepalindromická.

Vlastnosti

Tato sekce ne uvést žádný Zdroje. Prosím pomozte vylepšit tuto sekci podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Striktně nepalindromické číslo“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Dubna 2019) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Všechna striktně nepalindromická čísla větší než 6 jsou primární. Lze dokázat, že a kompozitní n > 6 nemůže být striktně nepalindromní následovně. Pro každého takového n je prokázáno, že existuje základna, ve které n je palindromický.

1. Li n je dokonce a poté větší než 6 n v základně je napsáno „22“ (palindrom) n/ 2 - 1. (Upozorňujeme, že pokud n menší nebo roven 6, základna n/ 2 - 1 by byl menší než 3, takže číslice "2" nemohla nastat v reprezentaci n.)
2. Li n je zvláštní a větší než 1, napište n = p · m, kde p je nejmenší primární faktor n. Jasně p ≤ m (od té doby n je složený).
   1. Li p = m (to znamená, n = str²), existují dva případy:
      1. Li p = 3, tedy n = 9 je v základu 2 zapsáno „1001“ (palindrom).
      2. Li p > 3, tedy n v základně je napsáno „121“ (palindrom) p − 1.
   2. p nemůže se rovnat m - 1 protože oba p a m jsou zvláštní, takže p < m - 1. Potom n lze napsat jako dvouciferné číslo str v základně m − 1.

Reference

• Sekvence A016038 z On-line encyklopedie celočíselných sekvencí