Aritmetické číslo - Arithmetic number

Demonstrace, s Pruty Cuisenaire, aritmetické povahy čísla 6

v teorie čísel, an aritmetické číslo je celé číslo pro které průměrný jeho pozitivní dělitele je také celé číslo. Například 6 je aritmetické číslo, protože průměr jeho dělitelů je

${ displaystyle { frac {1 + 2 + 3 + 6} {4}} = 3,}$

což je také celé číslo. 2 však není aritmetické číslo, protože jeho jedinými děliteli jsou 1 a 2 a jejich průměr 3/2 není celé číslo.

První čísla v sekvence aritmetických čísel jsou

1, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 27, 29, 30, 31, 33, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, ... (sekvence A003601 v OEIS ).

Hustota

Je známo, že přirozená hustota z těchto čísel je 1:^[1] ve skutečnosti je podíl čísel menší než X které nejsou aritmetické je asymptoticky^[2]

${ displaystyle exp left ({- c { sqrt { log log X}}} vpravo)}$

kde C = 2√protokol 2 + o (1).

Číslo N je aritmetický, pokud počet dělitelů d(N) rozděluje součet dělitelů σ (N). Je známo, že hustota celých čísel N dodržování silnější podmínky d(N)² dělí σ (N) je 1/2.^[1][2]

Poznámky

Reference

• Guy, Richard K. (2004). Nevyřešené problémy v teorii čísel (3. vyd.). Springer-Verlag. B2. ISBN  978-0-387-20860-2. Zbl  1058.11001.