Eisenstein prime - Eisenstein prime

Malé Eisensteinovy prvočísla. Ty na zelených osách jsou spojeny s přirozeným prvkem formy 3n - 1. Všichni ostatní mají absolutní hodnotu na druhou rovnou přirozenému prvočíslu.

Eisenstein připravuje ve větším rozsahu

v matematika, an Eisenstein prime je Eisensteinovo celé číslo

{ displaystyle z = a + b , omega, quad { text {kde}} quad omega = e ^ { frac {2 pi i} {3}},}

to je neredukovatelné (nebo ekvivalentně primární ) v prstencovém teoretickém smyslu: je to jediný Eisenstein dělitele jsou Jednotky ${\pm1, \pm ω, \pm ω 2}$ , $A + bω$ sebe a jeho spolupracovníky.

Přidružení (násobky jednotek) a komplexní konjugát jakéhokoli Eisensteinova prvočísla jsou také prvočísla.

Charakterizace

Eisensteinovo celé číslo $z = A + bω$ je Eisenstein prime, pokud a pouze tehdy, pokud platí některá z následujících (vzájemně se vylučujících) podmínek:

$z$ se rovná součinu jednotky a přírodní prime formuláře $3 n - 1$ (nutně shodné s 2 mod 3),
$| z | 2 = A 2 - ab + b 2$ je přirozené prvočíslo (nutně shodné s 0 nebo 1 mod 3).

Z toho vyplývá, že čtverec absolutní hodnoty každého Eisensteinova prvočísla je přirozený prvočíslo nebo čtverec přirozeného prvočísla.

v základna 12 (psané s číslicemi 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B), přírodní Eisensteinova prvočísla jsou přesně ta přirozená prvočísla končící na 5 nebo B (tj. přirozená prvočísla shodná s 2 mod 3). Přírodní Gaussovy prvočísla jsou přesně přirozená prvočísla končící 7 nebo B (tj. přirozená prvočísla shodná s 3 mod 4).

Příklady

Prvních několik Eisensteinových prvočísel, které se rovnaly přirozenému vrcholu $3 n - 1$ jsou:

2, 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89, 101, ... (sekvence A003627 v OEIS ).

Přirozené prvočísla, která jsou shodná s 0 nebo 1 modulo 3, jsou ne Eisensteinovy prvočísla: připouštějí netriviální faktorizace v Z[ω]. Například:

3 = -(1 + 2 ω) 2

7 = (3 + ω)(2 - ω)

.

Obecně platí, že pokud je přirozený prime str je 1 modulo 3 a lze jej tedy zapsat jako $str = A 2 - ab + b 2$ , pak se faktorizuje Z[ω] tak jako

p = (A + bω)((A - b) - bω)

.

Některá nereálná Eisensteinova prvočísla jsou

2 + ω

,

3 + ω

,

4 + ω

,

5 + 2 ω

,

6 + ω

,

7 + ω

,

7 + 3 ω

.

Až do konjugace a násobků jednotek jsou prvočísla uvedená výše, společně s 2 a 5, všechna Eisensteinova prvočísla absolutní hodnota nepřesahující 7.

Velké prvočísla

Od září 2019^{[Aktualizace]}, největší známý (skutečný) Eisenstein prime je devátý největší známý prime 10223 × 2^31172165 + 1, objevili Péter Szabolcs a PrimeGrid.^[1] Všechny větší známé prvočísla jsou Mersenne připraví, objeveno uživatelem GIMPS. Skutečné Eisensteinovy prvočísla se shodují 2 mod 3, a všechna Mersennova prvočísla větší než 3 jsou shodná s 1 mod 3; tedy žádný Mersenne prime není Eisenstein prime.

Viz také

Gaussian prime

Reference

^ Chris Caldwell, “Prvních dvacet: Největší známá prvočísla "z Prime Stránky. Citováno 2019-09-18.

[1] Chris Caldwell, “Prvních dvacet: Největší známá prvočísla "z Prime Stránky. Citováno 2019-09-18.

[1]

prvočíslo třídy
Podle vzorce	Fermat ( $2 2 n + 1$ ) Mersenne ( $2 str - 1$ ) Double Mersenne ( $2 2 str -1 - 1$ ) Wagstaff $(2 str + 1)/3$ Proth ( $k \cdot2 n + 1$ ) Faktoriál ( $n! \pm 1$ ) Primorial ( $str n # \pm 1$ ) Euklid ( $str n # + 1$ ) Pythagorean ( $4 n + 1$ ) Pierpont ( $2 m \cdot3 n + 1$ ) Quartan ( $X 4 + y 4$ ) Solinas ( $2 m \pm 2 n \pm 1$ ) Cullen ( $n \cdot2 n + 1$ ) Woodall ( $n \cdot2 n - 1$ ) Kubánský ( $X 3 - y 3)/(X - y$ ) Koleda $(2 n - 1) 2 - 2$ Kynea $(2 n + 1) 2 - 2$ Leyland ( $X y + y X$ ) Zvyk ( $3\cdot2 n - 1$ ) Williams ( $(b -1)\cdot b n - 1$ ) Mlýny ( $⌊ A 3 n ⌋$ )
Podle celočíselné sekvence	Fibonacci Lucas Pell Newman – Shanks – Williams Perrin Příčky Zvonek Motzkin
Podle majetku	Wieferich (pár ) Zeď – Slunce – Slunce Wolstenholme Wilson Šťastný Štěstí Ramanujan Pillai Pravidelný Silný Záď Supersingulární (eliptická křivka) Supersingulární (teorie měsíčního svitu) Dobrý Super Higgs Vysoce kototentní
Základna -závislý	Palindromický Emirp Smířit $(10 n - 1)/9$ Permutable Oběžník Zkrátit Minimální Slabě Prvotní Plný reptend Unikátní Šťastný Já Smarandache – Wellin Strobogramatické Vzepětí Tetradic
Vzory	Twin ( $str, str + 2$ ) Dvojitý řetěz ( $n - 1, n + 1, 2 n - 1, 2 n + 1, \dots$ ) Triplet ( $str, str + 2 nebo str + 4, str + 6$ ) Čtyřlůžkový pokoj ( $str, str + 2, str + 6, str + 8$ ) k−Tuple Bratranec ( $str, str + 4$ ) Sexy ( $str, str + 6$ ) Chen Sophie Germain / Safe ( $str, 2 str + 1$ ) Cunningham ( $str, 2 str \pm 1, 4 str \pm 3, 8 str \pm 7, ...$ ) Aritmetický postup ( $str + a \cdot n, n = 0, 1, 2, 3, ...$ ) Vyvážený ( $po sobě str - n, str, str + n$ )
Podle velikosti	Titánský (1 000+ číslic) Gigantický (10 000+ číslic) Mega (1 000 000+ číslic) Největší známý
Složitá čísla	Eisenstein prime Gaussian prime
Složená čísla	Pseudoprime Katalánština Eliptický Euler Euler – Jacobi Fermat Frobenius Lucas Somer – Lucas Silný Carmichael číslo Téměř prime Semiprime Interprime Zhoubný
související témata	Pravděpodobný prime Průmyslový prime Nelegální prime Vzorec pro prvočísla Prime gap
Prvních 60 prvočísel	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
Seznam prvočísel