Perfektní invariant mezi číslicemi - Perfect digit-to-digit invariant

v teorie čísel, a perfektní invariant mezi číslicemi (PDDI; také známý jako a Munchausen číslo^[1]) je přirozené číslo v daném číselná základna ${ displaystyle b}$ to se rovná součtu jeho číslic, z nichž každá je zvýšena k moci sebe sama. Například v základně 3 (trojice ) existují tři: 1, 12 a 22. Termín „Munchausen number“ vytvořil nizozemský matematik a softwarový inženýr Daan van Berkel v roce 2009,^[2] jak to evokuje příběh Baron Prášil pozvedl se svým vlastním koňským ohonem, protože každá číslice je pozvednuta k moci sama.^[3][4]

Definice

Nechat ${ displaystyle n}$ být přirozené číslo. Definujeme perfektní invariantní funkce digit-to-digit pro základnu ${ displaystyle b> 1}$ ${ displaystyle F_ {b}: mathbb {N} rightarrow mathbb {N}}$ být následující:

${ displaystyle F_ {b} (n) = součet _ {i = 0} ^ {k-1} {d_ {i}} ^ {d_ {i}}}$.

kde ${ displaystyle k = lfloor log _ {b} {n} rfloor +1}$ je počet číslic v čísle v základně ${ displaystyle b}$ a

${ displaystyle d_ {i} = { frac {n { bmod {b ^ {i + 1}}} - n { bmod {b ^ {i}}}} {b ^ {i}}}}$

je hodnota každé číslice čísla. Tak jako 0⁰ je obvykle nedefinováno, obvykle se používají dvě konvence, jedna, kde je považována za rovnou jedné, a druhá, kde je považována za rovnou nule.^[5][6] Přirozené číslo ${ displaystyle n}$ je perfektní invariant mezi číslicemi pokud je to pevný bod pro ${ displaystyle F_ {b}}$, který nastane, pokud ${ displaystyle F_ {b} (n) = n}$. U první konvence ${ displaystyle 1}$ je pevný bod pro všechny ${ displaystyle b}$, a tedy je triviální dokonalý invariant mezi číslicemi pro všechny ${ displaystyle b}$a všechny ostatní dokonalé invarianty mezi číslicemi jsou netriviální dokonalé invarianty mezi číslicemi. Pro druhou konvenci oba ${ displaystyle 0}$ a ${ displaystyle 1}$ jsou triviální dokonalé invarianty mezi číslicemi.

Například číslo 3435 v základně ${ displaystyle b = 10}$ je perfektní invariant mezi číslicemi, protože ${ displaystyle 3 ^ {3} + 4 ^ {4} + 3 ^ {3} + 5 ^ {5} = 27 + 256 + 27 + 3125 = 3435}$.

Pro ${ displaystyle b = 2}$, v první konvenci ${ displaystyle 0 ^ {0} = 1}$, ${ displaystyle F_ {b} (n)}$ je prostě počet číslic ${ displaystyle k}$ v reprezentaci základny 2 a ve druhé konvenci ${ displaystyle 0 ^ {0} = 0}$, ${ displaystyle F_ {b} (n)}$ je prostě součet číslic.

Přirozené číslo ${ displaystyle n}$ je společenský invariant mezi číslicemi pokud je to periodický bod pro ${ displaystyle F_ {b}}$, kde ${ displaystyle F_ {b} ^ {k} (n) = n}$ pro kladné celé číslo ${ displaystyle k}$, a tvoří a cyklus období ${ displaystyle k}$. Perfektní invariant digit-to-digit je společenský invariant digit-to-digit ${ displaystyle k = 1}$a přátelský invariant mezi číslicemi je společenský invariant mezi číslicemi ${ displaystyle k = 2}$.

Všechna přirozená čísla ${ displaystyle n}$ jsou preperiodické body pro ${ displaystyle F_ {b}}$, bez ohledu na základnu. Je to proto, že všechna přirozená čísla báze ${ displaystyle b}$ s ${ displaystyle k}$ číslice splňují ${ displaystyle b ^ {k-1} leq n leq (k) {(b-1)} ^ {b-1}}$. Kdy však ${ displaystyle k geq b + 1}$, pak ${ displaystyle b ^ {k-1}> (k) {(b-1)} ^ {b-1}}$, takže jakýkoli ${ displaystyle n}$ uspokojí ${ displaystyle n> F_ {b} (n)}$ dokud ${ displaystyle n$. Existuje konečný počet přirozených čísel menší než ${ displaystyle b ^ {b + 1}}$, takže počet zaručeně dosáhne periodického bodu nebo pevného bodu menšího než ${ displaystyle b ^ {b + 1}}$, což z něj činí preperiodický bod. To znamená také, že existuje konečný počet dokonalých invariantů mezi číslicemi a cykly pro jakoukoli danou základnu ${ displaystyle b}$.

Počet iterací ${ displaystyle i}$ potřebné pro ${ displaystyle F_ {b} ^ {i} (n)}$ dosáhnout pevného bodu je ${ displaystyle b}$-faktorová funkce vytrvalost z ${ displaystyle n}$, a nedefinováno, pokud nikdy nedosáhne pevného bodu.

Perfektní invarianty mezi číslicemi a cykly ${ displaystyle F_ {b}}$ pro konkrétní ${ displaystyle b}$

Všechna čísla jsou uvedena v základně ${ displaystyle b}$.

Konvence ${ displaystyle 0 ^ {0} = 1}$

Základna	Netriviální dokonalé invarianty mezi číslicemi (${ displaystyle n neq 1}$)	Cykly
2	10	${ displaystyle varnothing}$
3	12, 22	2 → 11 → 2
4	131, 313	2 → 10 → 2
5	${ displaystyle varnothing}$	2 → 4 → 2011 → 12 → 10 → 2 104 → 2013 → 113 → 104
6	22352, 23452	4 → 1104 → 1111 → 4 23445 → 24552 → 50054 → 50044 → 24503 → 23445
7	13454	12066 → 536031 → 265204 → 265623 → 551155 → 51310 → 12125 → 12066
8		405 → 6466 → 421700 → 3110776 → 6354114 → 142222 → 421 → 405
9	31, 156262, 1656547
10	3435
11
12	3A67A54832

Konvence ${ displaystyle 0 ^ {0} = 0}$

Základna	Netriviální dokonalé invarianty mezi číslicemi (${ displaystyle n neq 0}$, ${ displaystyle n neq 1}$)[1]	Cykly
2	${ displaystyle varnothing}$	${ displaystyle varnothing}$
3	12, 22	2 → 11 → 2
4	130, 131, 313	${ displaystyle varnothing}$
5	103, 2024	2 → 4 → 2011 → 11 → 2 9 → 2012 → 9
6	22352, 23452	5 → 22245 → 23413 → 1243 → 1200 → 5 53 → 22332 → 150 → 22250 → 22305 → 22344 → 2311 → 53
7	13454
8	400, 401
9	30, 31, 156262, 1647063, 1656547, 34664084
10	3435, 438579088
11	${ displaystyle varnothing}$	${ displaystyle varnothing}$
12	3A67A54832

Příklady programování

V příkladech níže je implementována dokonalá invariantní funkce digit-to-digit popsaná ve výše uvedené definici hledat perfektní invarianty a cykly mezi číslicemi v Krajta pro tyto dvě konvence.

Konvence ${ displaystyle 0 ^ {0} = 1}$

def pddif(X: int, b: int) -> int:    celkový = 0    zatímco X > 0:        celkový = celkový + prášek(X % b, X % b)        X = X // b    vrátit se celkovýdef pddif_cycle(X: int, b: int) -> Seznam[int]:    vidět = []    zatímco X ne v vidět:        vidět.připojit(X)        X = pddif(X, b)    cyklus = []    zatímco X ne v cyklus:        cyklus.připojit(X)        X = pddif(X, b)    vrátit se cyklus

Konvence ${ displaystyle 0 ^ {0} = 0}$

def pddif(X: int, b: int) -> int:    celkový = 0    zatímco X > 0:        -li X % b > 0:            celkový = celkový + prášek(X % b, X % b)        X = X // b    vrátit se celkovýdef pddif_cycle(X: int, b: int) -> Seznam[int]:    vidět = []    zatímco X ne v vidět:        vidět.připojit(X)        X = pddif(X, b)    cyklus = []    zatímco X ne v cyklus:        cyklus.připojit(X)        X = pddif(X, b)    vrátit se cyklus

Viz také

• Aritmetická dynamika
• Dudeneyovo číslo
• Factorion
• Šťastné číslo
• Kaprekarova konstanta
• Číslo Kaprekar
• Číslo Meertens
• Narcistické číslo
• Perfektní digitální invariant
• Souhrnné číslo produktu

Reference

externí odkazy

• Parker, Matt. "3435". Numberphile. Brady Haran. Archivovány od originál dne 2017-04-13. Citováno 2013-04-01.