Pronic číslo - Pronic number

A pronické číslo je číslo, které je součinem dvou po sobě jdoucích celá čísla, tj. číslo formuláře n(n + 1).[1] Studium těchto čísel sahá až do roku Aristoteles. Také se jim říká podlouhlá čísla, heteromecická čísla,[2] nebo obdélníková čísla;[3] výraz "obdélníkové číslo" byl však také použit pro složená čísla.[4][5]
Prvních pár pronických čísel je:
- 0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, 156, 182, 210, 240, 272, 306, 342, 380, 420, 462… (sekvence A002378 v OEIS ).
Li n je pronické číslo, pak platí následující:
Jako figurální čísla

Pronická čísla byla studována jako figurativní čísla vedle trojúhelníková čísla a čtvercová čísla v Aristoteles je Metafyzika,[2] a jejich objev byl mnohem dříve přičítán Pytagorejci.[3]Jako druh figurativního čísla se pronická čísla někdy nazývají obdélník[2] protože jsou analogické k polygonální čísla Takto:[1]
1 × 2 2 × 3 3 × 4 4 × 5
The nth pronic number is dvojnásobek nth trojúhelníkové číslo[1][2] a n více než nth číslo umocněné na druhou, jak je dáno alternativním vzorcem n2 + n pro pronická čísla. The nth pronic number is also the difference between the lichý čtverec (2n + 1)2 a (n+1)Svatý vycentrované šestihranné číslo.
Součet pronických čísel
Součet převrácených čísel pronic (kromě 0) je a teleskopická řada součet 1:[6]
The částečný součet první n pojmy v této sérii je[6]
Částečný součet prvního n pronická čísla jsou dvojnásobnou hodnotou nth čtyřboké číslo:
Další vlastnosti

The nth pronic number is a sum of the first n dokonce celá čísla.[2]Všechna pronická čísla jsou sudá a 2 je jediné primární pronické číslo. Je to také jediné pronické číslo v Fibonacciho sekvence a jediný pronic Lucasovo číslo.[7][8]
Počet položek mimo úhlopříčku v a čtvercová matice je vždy pronické číslo.[9]
Skutečnost, že po sobě jdoucí celá čísla jsou coprime a že pronické číslo je součinem dvou po sobě jdoucích celých čísel, vede k řadě vlastností. Každý odlišný primární faktor pronického čísla je přítomen pouze v jednom z faktorů n nebo n + 1. Pronické číslo tedy je bez čtverce kdyby a jen kdyby n a n + 1 jsou také bez čtverce. Počet zřetelných prvočísel pronického čísla je součtem počtu zřetelných prvočinitelů faktoru n a n + 1.
Je-li 25 připojeno k desetinné vyjádření libovolného pronického čísla je výsledkem druhé číslo, např. 625 = 252, 1225 = 352. To je proto, že
- .
Reference
- ^ A b C Conway, J. H.; Guy, R. K. (1996), Kniha čísel, New York: Copernicus, obrázek 2.15, s. 34.
- ^ A b C d E Knorr, Wilbur Richard (1975), Vývoj euklidovských prvků „Dordrecht-Boston, Mass.: D. Reidel Publishing Co., s. 144–150, ISBN 90-277-0509-7, PAN 0472300.
- ^ A b Ben-Menahem, Ari (2009), Historická encyklopedie přírodních a matematických věd, svazek 1, Springerova reference, Springer-Verlag, s. 161, ISBN 9783540688310.
- ^ „Plútarchos, De Iside et Osiride, oddíl 42“. www.perseus.tufts.edu. Citováno 16. dubna 2018.
- ^ Higgins, Peter Michael (2008), Number Story: Od počítání po kryptografii, Copernicus Books, s. 9, ISBN 9781848000018.
- ^ A b Frantz, Marc (2010), „Teleskopická řada v perspektivě“, Diefenderfer, Caren L .; Nelsen, Roger B. (eds.), The Calculus Collection: A Resource for AP and Beyond„Materiály pro výuku ve třídě, Mathematical Association of America, str. 467–468, ISBN 9780883857618.
- ^ McDaniel, Wayne L. (1998), „Pronic Lucas čísla“ (PDF), Fibonacci čtvrtletně, 36 (1): 60–62, PAN 1605345, archivovány z originál (PDF) dne 2017-07-05, vyvoláno 2011-05-21.
- ^ McDaniel, Wayne L. (1998), "Pronic Fibonacci čísla" (PDF), Fibonacci čtvrtletně, 36 (1): 56–59, PAN 1605341.
- ^ Rummel, Rudolf J. (1988), Aplikovaná faktorová analýza, Northwestern University Press, s. 319, ISBN 9780810108240.