Riemannova diferenciální rovnice - Riemanns differential equation - Wikipedia

v matematika, Riemannova diferenciální rovnice, pojmenoval podle Bernhard Riemann, je zobecněním hypergeometrická diferenciální rovnice, což umožňuje pravidelné singulární body (RSP) nastat kdekoli na internetu Riemannova koule spíše než pouze na 0, 1 a ${ displaystyle infty}$. Rovnice je také známá jako Papperitzova rovnice.^[1]

The hypergeometrická diferenciální rovnice je lineární diferenciální rovnice druhého řádu, která má tři pravidelné singulární body, 0, 1 a ${ displaystyle infty}$. Tato rovnice připouští dvě lineárně nezávislá řešení; blízko singularity ${ displaystyle z_ {s}}$, řešení mají podobu ${ displaystyle x ^ {s} f (x)}$, kde ${ displaystyle x = z-z_ {s}}$ je lokální proměnná a ${ displaystyle f}$ je místně holomorfní s ${ displaystyle f (0) neq 0}$. Skutečné číslo ${ displaystyle s}$ se nazývá exponent řešení v ${ displaystyle z_ {s}}$. Nechat α, β a y být exponenty jednoho řešení na 0, 1 a ${ displaystyle infty}$ respektive; a nechte α ', β ' a γ ' být těmi druhými. Pak

${ displaystyle alpha + alpha '+ beta + beta' + gamma + gamma '= 1.}$

Použitím vhodných změn proměnné je možné transformovat hypergeometrickou rovnici: Použít Möbiovy transformace upraví pozice RSP, zatímco jiné transformace (viz níže) mohou měnit exponenty na RSP, s výhradou, že exponenti přidají až 1.

Definice

Diferenciální rovnice je dána vztahem

${ displaystyle { frac {d ^ {2} w} {dz ^ {2}}} + left [{ frac {1- alpha - alpha '} {za}} + { frac {1- beta - beta '} {zb}} + { frac {1- gamma - gamma'} {zc}} right] { frac {dw} {dz}}}$

${ displaystyle + left [{ frac { alpha alpha '(ab) (ac)} {za}} + { frac { beta beta' (bc) (ba)} {zb}} + { frac { gamma gamma '(ca) (cb)} {zc}} right] { frac {w} {(za) (zb) (zc)}} = 0.}$

Pravidelné singulární body jsou A, b, a C. Exponenty řešení na těchto RSP jsou α; α ′, β; β ′, a y; γ ′. Stejně jako dříve podléhají podmínce exponenti

${ displaystyle alpha + alpha '+ beta + beta' + gamma + gamma '= 1.}$

Řešení a vztah s hypergeometrickou funkcí

Řešení označují Riemannův P-symbol (také známý jako Symbol Papperitz)

${ displaystyle w (z) = P left {{ begin {matrix} a & b & c & ; alpha & beta & gamma & z alpha '& beta' & gamma '& ; konec {matrix}} doprava }}$

Standardní hypergeometrická funkce lze vyjádřit jako

${ displaystyle ; _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = P left {{ begin {matrix} 0 & infty & 1 & ; 0 & a & 0 & z 1-c & b & c-a -b & ; end {matice}} doprava }}$

P-funkce se řídí řadou identit; jeden z nich umožňuje vyjádření obecné P-funkce z hlediska hypergeometrické funkce. to je

${ displaystyle P left {{ begin {matrix} a & b & c & ; alpha & beta & gamma & z alpha '& beta' & gamma '& ; end {matrix}} right } = left ({ frac {za} {zb}} right) ^ { alpha} left ({ frac {zc} {zb}} right) ^ { gamma} P left {{ begin {matrix} 0 & infty & 1 & ; 0 & alpha + beta + gamma & 0 & ; { frac {(za) (cb)} {(zb) (ca)}} alpha '- alpha & alpha + beta' + gamma & gamma '- gamma & ; end {matrix}} vpravo }}$

Jinými slovy, lze napsat řešení z hlediska hypergeometrické funkce jako

${ displaystyle w (z) = left ({ frac {za} {zb}} right) ^ { alpha} left ({ frac {zc} {zb}} right) ^ { gamma} ; _ {2} F_ {1} left ( alpha + beta + gamma, alpha + beta '+ gamma; 1+ alpha - alpha'; { frac {(za) (cb )} {(zb) (ca)}} vpravo)}$

Plný počet Kummer Tímto způsobem lze získat 24 řešení; viz článek hypergeometrická diferenciální rovnice pro ošetření řešení společnosti Kummer.

Frakční lineární transformace

Funkce P má za působení jednoduché symetrie frakční lineární transformace známý jako Möbiovy transformace (to jsou konformní přeměny Riemannovy sféry), nebo ekvivalentně, pod působením skupiny GL (2, C). Dáno svévolně komplexní čísla A, B, C, D takhle INZERÁT − před naším letopočtem ≠ 0, definujte množství

${ displaystyle u = { frac {Az + B} {Cz + D}} quad { text {a}} quad eta = { frac {Aa + B} {Ca + D}}}$

a

${ displaystyle zeta = { frac {Ab + B} {Cb + D}} quad { text {a}} quad theta = { frac {Ac + B} {Cc + D}}}$

pak má člověk jednoduchý vztah

${ displaystyle P left {{ begin {matrix} a & b & c & ; alpha & beta & gamma & z alpha '& beta' & gamma '& ; end {matrix}} right } = P left {{ begin {matrix} eta & zeta & theta & ; alpha & beta & gamma & u alpha '& beta' & gamma '& ; end {matrix}} doprava }}$

vyjadřující symetrii.

Viz také

• Komplexní diferenciální rovnice
• Metoda Frobenius
• Monodromy

Poznámky

Reference

• Milton Abramowitz a Irene A. Stegun, eds., Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami (Dover: New York, 1972)
  • Kapitola 15 Hypergeometrické funkce
    • Oddíl 15.6 Riemannova diferenciální rovnice