Aktivujte funkci omega - Prime omega function

v teorie čísel, hlavní omega funkce ${ displaystyle omega (n)}$ a ${ displaystyle Omega (n)}$ spočítat počet prvočísel přirozeného čísla ${ displaystyle n.}$ Tím ${ displaystyle omega (n)}$ (malá omega) se počítá každý odlišný primární faktor, zatímco související funkce ${ displaystyle Omega (n)}$ (velká omega) se počítá celkový počet hlavních faktorů ${ displaystyle n,}$ ctít jejich mnohost (viz aritmetická funkce ). Například pokud máme a Prvočíselný rozklad z ${ displaystyle n}$ formuláře ${ displaystyle n = p_ {1} ^ { alpha _ {1}} p_ {2} ^ { alpha _ {2}} cdots p_ {k} ^ { alpha _ {k}}}$ pro různé prvočísla ${ displaystyle p_ {i}}$ (${ displaystyle 1 leq i leq k}$), pak jsou příslušné hlavní funkce omega dány ${ displaystyle omega (n) = k}$ a ${ displaystyle Omega (n) = alpha _ {1} + alpha _ {2} + cdots + alpha _ {k}}$. Tyto funkce počítání prvočísel mají mnoho důležitých číselných teoretických vztahů.

Vlastnosti a vztahy

Funkce ${ displaystyle omega (n)}$ je přísada a ${ displaystyle Omega (n)}$ je zcela aditivní.

${ displaystyle omega (n) = součet _ {p mid n} 1}$

Li ${ displaystyle p}$ rozděluje ${ displaystyle n}$ alespoň jednou to počítáme jen jednou, např. ${ displaystyle omega (12) = omega (2 ^ {2} 3) = 2}$

${ displaystyle Omega (n) = součet _ {p ^ { alfa} střední střední n} alfa}$

Li ${ displaystyle p}$ rozděluje ${ displaystyle n}$ ${ displaystyle alpha}$ krát potom spočítáme exponenty, např. ${ displaystyle Omega (12) = Omega (2 ^ {2} 3 ^ {1}) = 3}$

${ displaystyle Omega (n) geq omega (n)}$

Li ${ displaystyle Omega (n) = omega (n)}$ pak ${ displaystyle n}$ je bez čtverce a související s Möbiova funkce podle

${ displaystyle mu (n) = (- 1) ^ { omega (n)} = (- 1) ^ { Omega (n)}}$

Li ${ displaystyle Omega (n) = 1}$ pak ${ displaystyle n}$ je prvočíslo.

Je známo, že průměrné pořadí funkce dělitele splňuje ${ displaystyle 2 ^ { omega (n)} leq d (n) leq 2 ^ { Omega (n)}}$.^[1]

Jako mnozí aritmetické funkce neexistuje žádný explicitní vzorec pro ${ displaystyle Omega (n)}$ nebo ${ displaystyle omega (n)}$ ale existují aproximace.

Asymptotická řada pro průměrné pořadí ${ displaystyle omega (n)}$ darováno ^[2]

${ displaystyle { frac {1} {n}} součet limity _ {k = 1} ^ {n} omega (k) sim log log n + B_ {1} + součet _ {k geq 1} left ( sum _ {j = 0} ^ {k-1} { frac { gamma _ {j}} {j!}} - 1 right) { frac {(k-1 )!} {( log n) ^ {k}}},}$

kde ${ displaystyle B_ {1} přibližně 0,26149721}$ je Mertensova konstanta a ${ displaystyle gamma _ {j}}$ jsou Stieltjesovy konstanty.

Funkce ${ displaystyle omega (n)}$ souvisí s dělitelskými částkami za Möbiova funkce a funkce dělitele včetně dalších částek.^[3]

${ displaystyle sum _ {d mid n} | mu (d) | = 2 ^ { omega (n)}}$

${ displaystyle sum _ {d mid n} | mu (d) | k ^ { omega (d)} = (k + 1) ^ { omega (n)}}$

${ displaystyle sum _ {r mid n} 2 ^ { omega (r)} = d (n ^ {2})}$

${ displaystyle sum _ {r mid n} 2 ^ { omega (r)} d left ({ frac {n} {r}} right) = d ^ {2} (n)}$

${ displaystyle sum _ {d mid n} (- 1) ^ { omega (d)} = prod limity _ {p ^ { alpha} || n} (1- alpha)}$

${ displaystyle sum _ { stackrel {1 leq k leq m} {(k, m) = 1}} gcd (k ^ {2} -1, m_ {1}) gcd (k ^ { 2} -1, m_ {2}) = varphi (n) sum _ { stackrel {d_ {1} mid m_ {1}} {d_ {2} mid m_ {2}}} varphi ( gcd (d_ {1}, d_ {2})) 2 ^ { omega ( operatorname {lcm} (d_ {1}, d_ {2}))}, m_ {1}, m_ {2} { text {odd}}, m = operatorname {lcm} (m_ {1}, m_ {2})}$

${ displaystyle sum _ { stackrel {1 leq k leq n} { operatorname {gcd} (k, m) = 1}} ! ! ! ! 1 = n { frac { varphi (m)} {m}} + O vlevo (2 ^ { omega (m)} vpravo)}$

The charakteristická funkce z připraví lze vyjádřit a konvoluce s Möbiova funkce ^[4]:

${ displaystyle chi _ { mathbb {P}} (n) = ( mu ast omega) (n) = součet _ {d | n} omega (d) mu (n / d). }$

Přesná identita související s oddílem pro ${ displaystyle omega (n)}$ darováno ^[5]

${ displaystyle omega (n) = log _ {2} left [ sum _ {k = 1} ^ {n} sum _ {j = 1} ^ {k} left ( sum _ {d mid k} sum _ {i = 1} ^ {d} p (d-ji) right) s_ {n, k} cdot | mu (j) | right],}$

kde ${ displaystyle p (n)}$ je funkce oddílu, ${ displaystyle mu (n)}$ je Möbiova funkce a trojúhelníková posloupnost ${ displaystyle s_ {n, k}}$ je rozšířen o

${ displaystyle s_ {n, k} = [q ^ {n}] (q; q) _ { infty} { frac {q ^ {k}} {1-q ^ {k}}} = s_ { o} (n, k) -s_ {e} (n, k),}$

z hlediska nekonečna q-Pochhammerův symbol a funkce omezeného oddílu ${ displaystyle s_ {o / e} (n, k)}$ které označují počet ${ displaystyle k}$je ve všech oddílech disku ${ displaystyle n}$ do zvláštní (dokonce) počet odlišných částí.^[6]

Průměrná objednávka a součtové funkce

An průměrná objednávka oba ${ displaystyle omega (n)}$ a ${ displaystyle Omega (n)}$ je ${ displaystyle log log n}$. Když ${ displaystyle n}$ je primární dolní mez hodnoty funkce je ${ displaystyle omega (n) = 1}$. Podobně, pokud ${ displaystyle n}$ je primitivní pak je funkce stejně velká jako ${ displaystyle omega (n) sim { frac { log n} { log log n}}}$ na průměrnou objednávku. Když ${ displaystyle n}$ je síla 2, pak ${ displaystyle Omega (n) sim { frac { log n} { log 2}}}$ .^[7]

Asymptotika pro součtové funkce ${ displaystyle omega (n)}$, ${ displaystyle Omega (n)}$, a ${ displaystyle omega (n) ^ {2}}$ jsou počítány v Hardy a Wright jako ^{[8] [9]}

${ displaystyle { begin {sladěno} součet _ {n leq x} omega (n) & = x log log x + B_ {1} x + o (x) součet _ {n leq x} Omega (n) & = x log log x + B_ {2} x + o (x) součet _ {n leq x} omega (n) ^ {2} & = x ( log log x) ^ {2} + O (x log log x) součet _ {n leq x} omega (n) ^ {k} & = x ( log log x ) ^ {k} + O (x ( log log x) ^ {k-1}), k in mathbb {Z} ^ {+}, end {zarovnáno}}}$

kde ${ displaystyle B_ {1}}$ je opět Mertensova konstanta a konstanta ${ displaystyle B_ {2}}$ je definováno

${ displaystyle B_ {2} = B_ {1} + sum _ {p { text {prime}}} { frac {1} {p (p-1)}}.}$

Další součty týkající se dvou variant hlavních funkcí omega zahrnují ^[10]

${ displaystyle sum _ {n leq x} vlevo { Omega (n) - omega (n) vpravo } = O (x),}$

a

${ displaystyle # left {n leq x: Omega (n) - omega (n)> { sqrt { log log x}} right } = O left ({ frac { x} {( log log x) ^ {1/2}}} vpravo).}$

Příklad I: Upravená součtová funkce

V tomto příkladu navrhujeme variantu součtových funkcí ${ displaystyle S _ { omega} (x): = součet _ {n leq x} omega (n)}$ odhadovaný ve výše uvedených výsledcích na dostatečně velký ${ displaystyle x}$. Poté dokážeme asymptotický vzorec pro růst této modifikované součtové funkce odvozené z asymptotického odhadu ${ displaystyle S _ { omega} (x)}$ uvedené ve vzorcích v hlavní pododdíle tohoto článku výše.^[11]

Abychom byli úplně přesní, nechť je souhrnná funkce s lichým indexem definována jako

${ displaystyle S _ { operatorname {odd}} (x): = sum _ {n leq x} omega (n) [n { text {odd}}] _ { delta},}$

kde ${ displaystyle [ cdot] _ { delta}}$ označuje Iversonova konvence. Pak tu máme

${ displaystyle S _ { operatorname {odd}} (x) = { frac {x} {2}} log log x + { frac {(2B_ {1} -1) x} {4}} + left {{ frac {x} {4}} right } - left [x equiv 2,3 { bmod {4}} right] _ { delta} + O left ({ frac {x} { log x}} right).}$

Důkaz tohoto výsledku vyplývá z prvního pozorování

${ displaystyle omega (2n) = { begin {cases} omega (n) +1, & { text {if}} n { text {je liché; }} omega (n), & { text {if}} n { text {je sudý,}} end {případy}}}$

a poté aplikovat asymptotický výsledek od Hardyho a Wrighta pro součtovou funkci znovu ${ displaystyle omega (n)}$, označeno ${ displaystyle S _ { omega} (x): = součet _ {n leq x} omega (n)}$, v této podobě:

${ displaystyle { begin {aligned} S _ { omega} (x) & = S _ { operatorname {odd}} (x) + sum _ {n leq left lfloor { frac {x} {2 }} right rfloor} omega (2n) & = S _ { operatorname {odd}} (x) + sum _ {n leq left lfloor { frac {x} {4}} right rfloor} left ( omega (4n) + omega (4n + 2) right) & = S _ { operatorname {odd}} (x) + sum _ {n leq left lfloor { frac {x} {4}} doprava rfloor} doleva ( omega (2n) + omega (2n + 1) +1 doprava) & = S _ { operatorname {odd}} (x ) + S _ { omega} left ( left lfloor { frac {x} {2}} right rfloor right) + left lfloor { frac {x} {4}} right rfloor . end {zarovnáno}}}$

Příklad II: Souhrnné funkce pro takzvané faktoriální momenty ${ displaystyle omega (n)}$

Výpočty rozšířené v kapitole 22.11 Hardyho a Wrighta poskytují asymptotické odhady souhrnné funkce

${ displaystyle omega (n) vlevo { omega (n) -1 vpravo },}$

odhadem produktu těchto dvou složek omega funkcí jako

${ displaystyle omega (n) vlevo { omega (n) -1 vpravo } = součet _ { stackrel {pq mid n} { stackrel {p neq q} {p, q { text {prime}}}}} 1 = sum _ { stackrel {pq mid n} {p, q { text {prime}}}} 1- sum _ { stackrel {p ^ {2} mid n} {p { text {prime}}}} 1.}$

Můžeme podobně vypočítat asymptotické vzorce obecněji pro související součtové funkce přes tzv faktoriální momenty funkce ${ displaystyle omega (n)}$.

Dirichletova řada

Známý Dirichletova řada zahrnující ${ displaystyle omega (n)}$ a Funkce Riemann zeta darováno ^[12]

${ displaystyle sum _ {n geq 1} { frac {2 ^ { omega (n)}} {n ^ {s}}} = { frac { zeta ^ {2} (s)} { zeta (2s)}}, Re (s)> 1.}$

Funkce ${ displaystyle Omega (n)}$ je zcela aditivní, kde ${ displaystyle omega (n)}$ je silně aditivní (aditivní). Nyní můžeme dokázat krátké lemma v následující podobě, které implikuje přesné vzorce pro expanzi Dirichletova řada přes oba ${ displaystyle omega (n)}$ a ${ displaystyle Omega (n)}$:

Lemma. Předpokládejme to ${ displaystyle f}$ je silně aditivní aritmetická funkce definována tak, že její hodnoty při hlavních silách jsou dány ${ displaystyle f (p ^ { alpha}): = f_ {0} (p, alpha)}$, tj., ${ displaystyle f (p_ {1} ^ { alpha _ {1}} cdots p_ {k} ^ { alpha _ {k}}) = f_ {0} (p_ {1}, alpha _ {1 }) + cdots + f_ {0} (p_ {k}, alpha _ {k})}$ pro různé prvočísla ${ displaystyle p_ {i}}$ a exponenty ${ displaystyle alpha _ {i} geq 1}$. The Dirichletova řada z ${ displaystyle f}$ je rozšířen o

${ displaystyle sum _ {n geq 1} { frac {f (n)} {n ^ {s}}} = zeta (s) krát sum _ {p mathrm { prime}} ( 1-p ^ {- s}) cdot sum _ {n geq 1} f_ {0} (p, n) p ^ {- ns}, Re (s)> min (1, sigma _ {F}).}$

Důkaz. To vidíme

${ displaystyle sum _ {n geq 1} { frac {u ^ {f (n)}} {n ^ {s}}} = prod _ {p mathrm { prime}} vlevo (1 + sum _ {n geq 1} u ^ {f_ {0} (p, n)} p ^ {- ns} right).}$

To z toho vyplývá

${ displaystyle { begin {aligned} sum _ {n geq 1} { frac {f (n)} {n ^ {s}}} & = { frac {d} {du}} left [ prod _ {p mathrm { prime}} left (1+ sum _ {n geq 1} u ^ {f_ {0} (p, n)} p ^ {- ns} right) right ] { Biggr |} _ {u = 1} = prod _ {p} left (1+ sum _ {n geq 1} p ^ {- ns} right) times sum _ {p} { frac { sum _ {n geq 1} f_ {0} (p, n) p ^ {- ns}} {1+ sum _ {n geq 1} p ^ {- ns}}} & = zeta (s) times sum _ {p mathrm { prime}} (1-p ^ {- s}) cdot sum _ {n geq 1} f_ {0} (p, n) p ^ {- ns}, end {zarovnáno}}}$

všude tam, kde jsou odpovídající řady a produkty konvergentní. V poslední rovnici jsme použili Produkt Euler zastoupení Funkce Riemann zeta. ${ displaystyle boxdot}$

Lema to naznačuje pro ${ displaystyle Re (s)> 1}$,

${ displaystyle { begin {aligned} D _ { omega} (s) &: = sum _ {n geq 1} { frac { omega (n)} {n ^ {s}}} = zeta (s) P (s) & = zeta (s) times sum _ {n geq 1} { frac { mu (n)} {n}} log zeta (ns) D _ { Omega} (s) &: = sum _ {n geq 1} { frac { Omega (n)} {n ^ {s}}} = zeta (s) times sum _ {n geq 1} P (ns) & = zeta (s) times sum _ {n geq 1} { frac { phi (n)} {n}} log zeta ( ns) D _ { Omega lambda} (s) &: = sum _ {n geq 1} { frac { lambda (n) Omega (n)} {n ^ {s}}} = zeta (y) log zeta (y), end {zarovnáno}}}$

kde ${ Displaystyle P (s)}$ je primární funkce zeta a ${ displaystyle lambda (n) = (- 1) ^ { Omega (n)}}$ je Funkce Liouville lambda.

Rozdělení rozdílu hlavních omega funkcí

Rozdělení zřetelných celočíselných hodnot rozdílů ${ displaystyle Omega (n) - omega (n)}$ je pravidelný ve srovnání s semi-náhodnými vlastnostmi komponentních funkcí. Pro ${ displaystyle k geq 0}$, nechte sady

${ displaystyle N_ {k} (x): = # {n leq x: Omega (n) - omega (n) = k }.}$

Tyto sady mají odpovídající sekvenci mezních hustot ${ displaystyle d_ {k}}$ takové, že pro ${ displaystyle x geq 2}$

${ displaystyle N_ {k} (x) = d_ {k} cdot x + O left ( left ({ frac {3} {4}} right) ^ {k} { sqrt {x}} ( log x) ^ { frac {4} {3}} vpravo).}$

Tyto hustoty generuje hlavní produkty

${ displaystyle sum _ {k geq 0} d_ {k} cdot z ^ {k} = prod _ {p} left (1 - { frac {1} {p}} right) left (1 + { frac {1} {pz}} vpravo).}$

S absolutní konstantou ${ displaystyle { hat {c}}: = { frac {1} {4}} krát prod _ {p> 2} left (1 - { frac {1} {(p-1) ^ {2}}} vpravo) ^ {- 1}}$hustoty ${ displaystyle d_ {k}}$ uspokojit

${ displaystyle d_ {k} = { hat {c}} cdot 2 ^ {- k} + O (5 ^ {- k}).}$

Porovnejte s definicí hlavních produktů definovanou v poslední části ^[13] ve vztahu k Erdős – Kacova věta.

Viz také

• Aditivní funkce
• Aritmetická funkce
• Erdős – Kacova věta
• Omega funkce (disambiguation)
• prvočíslo
• Celé číslo bez čtverců

Poznámky

Reference

• G. H. Hardy a E. M. Wright (2006). Úvod do teorie čísel (6. vydání). Oxford University Press.
• H. L. Montgomery a R. C. Vaughan (2007). Multiplikativní teorie čísel I. Klasická teorie (1. vyd.). Cambridge University Press.
• Schmidt, Maxie. „Věty o faktorizaci pro Hadamardovy produkty a deriváty vyšších řádů generujících funkcí Lambertovy řady“. arXiv:1712.00608.
• Weisstein, Eric. „Zřetelné hlavní faktory“. MathWorld. Citováno 22. dubna 2018.

externí odkazy

• OEIS Wiki pro související pořadová čísla a tabulky
• OEIS Wiki o hlavních faktorech