Prime k-n-tice - Prime k-tuple

v teorie čísel, a primární k-tuple je konečná sbírka hodnot představujících opakovatelný vzor rozdílů mezi prvočísla. Pro k-tuple (A, b, ...), pozice, kde k-tuple odpovídá vzoru v prvočíslech jsou dána množinou celých čísel n tak, že všechny hodnoty (n + A, n + b, ...) jsou prime. Typicky první hodnota v k-tuple je 0 a zbytek je zřetelně pozitivní sudá čísla.^[1]

Pojmenované vzory

Několik nejkratších k-tuple jsou známé pod jinými běžnými jmény:

OEIS sekvence OEIS: A257124 pokrývá 7 n-tic (primární septuplets) a obsahuje přehled souvisejících sekvencí, např. tři sekvence odpovídající těmto třem přípustný 8 n-tic (prime octuplets) a sjednocení všech 8 n-tic. První člen v těchto sekvencích odpovídá prvnímu prvočíslu v nejmenším hlavní konstelace je uvedeno níže.

Přípustnost

Aby a k-tuple mít nekonečně mnoho pozic, na kterých jsou všechny jeho hodnoty prvočíselné, nemůže existovat prvočíslo str tak, že n-tice zahrnuje všechny různé možné hodnoty modulo  str. Neboť, pokud je to hlavní str existovaly, pak bez ohledu na to, jaké hodnoty n byla vybrána jedna z hodnot vytvořených přidáním n na n-tici by bylo dělitelnéstr, takže mohlo existovat pouze konečně mnoho hlavních umístění (pouze ta včetně str sám). Například čísla v a k-tuple nemůže nabrat všechny tři hodnoty 0, 1 a 2 modulo 3; jinak by výsledná čísla vždy obsahovala násobek 3, a proto nemohla být všechna prvočíselná, pokud jedno z čísel není samo o sobě. A k-tuple, který splňuje tuto podmínku (tj. nemá a str pro které pokrývá všechny různé hodnoty modulostr) je nazýván přípustný.

Předpokládá se, že každý je přípustný k-tuple odpovídá nekonečně mnoha pozicím v posloupnosti prvočísel. Neexistuje však žádná přípustná n-tice, u níž to bylo prokázáno, kromě 1-tuple (0). Nicméně tím, že Yitang Zhang slavný důkaz roku 2013 vyplývá, že existuje alespoň jeden 2-tuple, který odpovídá nekonečně mnoha pozicím; následná práce ukázala, že existuje nějaká n-tice s hodnotami lišícími se o 246 nebo méně, které odpovídají nekonečně mnoha pozicím.^[2]

Pozice se shodují s nepřípustnými vzory

Ačkoli (0, 2, 4) není přípustná, vytváří jedinou sadu prvočísel (3, 5, 7).

Některé nepřípustné k-tuples mají více než jedno all-prime řešení. To se u a k-tuple, který zahrnuje všechny hodnoty modulo 3, takže mít tuto vlastnost a k-tuple musí pokrývat všechny hodnoty modulo většího prime, což znamená, že v n-tici je alespoň pět čísel. Nejkratší nepřípustnou n-ticí s více než jedním řešením je 5-tice (0, 2, 8, 14, 26), která má dvě řešení: (3, 5, 11, 17, 29) a (5, 7, 13, 19, 31), kde jsou v obou případech zahrnuty všechny kongruence (mod 5).

Připravte souhvězdí

The průměr a k-tuple je rozdíl jeho největších a nejmenších prvků. Přípustný prime k-tuple s nejmenším možným průměrem d (ze všech přípustných k-tuples) je a hlavní konstelace. Pro všechny n ≥ k to vždy vyprodukuje po sobě jdoucí prvočísla.^[3] (Pamatujte si to všechno n jsou celá čísla, pro která jsou hodnoty (n + A, n + b, ...) jsou hlavní.)

To znamená, že pro velké n:

str_{n + k − 1} − str_n ≥ d

kde str_n je nth prime.

Prvních několik hlavních souhvězdí je:

Průměr d jako funkce k je sekvence A008407 v OEIS.

Prvotní konstelace se někdy označuje jako a primární k-tuplet, ale někteří autoři si tento termín vyhrazují pro instance, které nejsou součástí delšího období k-tuplety.

The první domněnka Hardyho a Littlewooda předpovídá, že lze vypočítat asymptotickou frekvenci jakékoli primární konstelace. I když domněnka není prokázána, je považována za pravděpodobnou, že je pravdivá. Pokud tomu tak je, znamená to, že druhá domněnka Hardyho a Littlewooda je naopak nepravdivý.

Prime aritmetické posloupnosti

Prime k-tuple formuláře (0, n, 2n, 3n, ..., (k−1)n) se říká, že je primární aritmetický postup. Aby taková a k-tuple, aby vyhověl testu přípustnosti, n musí být násobkem primitivní z k.^[5]

Šikmá čísla

The Zkosí čísla pro n-tice n-tice jsou rozšířením definice Šikmé číslo na připravit n-tice založeno na první domněnka Hardyho-Littlewooda (Tóth (2019) ). Nechat ${displaystyle P = (p, p + i_ {1}, p + i_ {2}, ..., p + i_ {k})}$ označit hlavní k-tici, ${displaystyle pi _ {P} (x)}$ počet prvočísel ${displaystyle p}$ níže ${displaystyle x}$ takhle ${displaystyle p, p + i_ {1}, p + i_ {2}, ..., p + i_ {k}}$ jsou všichni hlavní, ať ${displaystyle operatorname {li_ {P}} (x) = int _ {2} ^ {x} {frac {dt} {(ln t) ^ {k + 1}}}}$ a nechte ${displaystyle C_ {P}}$ označit jeho Hardy-Littlewoodovou konstantu (viz první domněnka Hardyho-Littlewooda ). Pak první prime ${displaystyle p}$ který porušuje nerovnost Hardy-Littlewood pro k-n-tici ${displaystyle P}$, tj. takové, že

${displaystyle pi _ {P} (p)> C_ {P} operatorname {li} _ {P} (p),}$

(pokud takové prvočíslo existuje) je Zkosí číslo pro ${displaystyle P}$.

Níže uvedená tabulka ukazuje aktuálně známá čísla Skewes pro prvočíselné k-tice:

Číslo Skewes (pokud existuje) pro sexy prvočísla ${displaystyle (p, p + 6)}$ je stále neznámý.

Reference