Teleskopická řada - Telescoping series - Wikipedia

v matematika, a teleskopická řada je série jejichž částečné částky nakonec mají po zrušení pouze konečný počet podmínek.^[1][2] Technika zrušení, kdy se část každého termínu ruší s částí dalšího termínu, je známá jako metoda rozdílů.

Například série

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n (n + 1)}}}$

(série reciproční z pronická čísla ) zjednodušuje jako

${ displaystyle { begin {aligned} sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n (n + 1)}} & {} = sum _ {n = 1} ^ { infty} left ({ frac {1} {n}} - { frac {1} {n + 1}} right) {} & {} = lim _ {N to infty } sum _ {n = 1} ^ {N} left ({ frac {1} {n}} - { frac {1} {n + 1}} right) {} & {} = lim _ {N to infty} left lbrack { left (1 - { frac {1} {2}} right) + left ({ frac {1} {2}} - { frac {1} {3}} right) + cdots + left ({ frac {1} {N}} - { frac {1} {N + 1}} right)} right rbrack {} & {} = lim _ {N to infty} left lbrack {1+ left (- { frac {1} {2}} + { frac {1} {2}} right) + left (- { frac {1} {3}} + { frac {1} {3}} right) + cdots + left (- { frac {1} {N}} + { frac {1} {N}} right) - { frac {1} {N + 1}}} right rbrack {} & {} = lim _ {N to infty} left lbrack {1 - { frac {1} {N + 1}}} right rbrack = 1. end {aligned}}}$

Podobný koncept, teleskopický produkt,^[3][4][5] je konečný produkt (nebo částečný produkt nekonečného produktu), který lze zrušit pomocí metoda kvocientů být nakonec jen konečným počtem faktorů.

Například nekonečný produkt^[4]

${ displaystyle prod _ {n = 2} ^ { infty} left (1 - { frac {1} {n ^ {2}}} right)}$

zjednodušuje jako

${ displaystyle { begin {aligned} prod _ {n = 2} ^ { infty} left (1 - { frac {1} {n ^ {2}}} right) & = prod _ { n = 2} ^ { infty} { frac {(n-1) (n + 1)} {n ^ {2}}} & = lim _ {N to infty} prod _ { n = 2} ^ {N} { frac {n-1} {n}} times prod _ {n = 2} ^ {N} { frac {n + 1} {n}} & = lim _ {N to infty} left lbrack {{ frac {1} {2}} times { frac {2} {3}} times { frac {3} {4}} times cdots times { frac {N-1} {N}}} right rbrack times left lbrack {{ frac {3} {2}} times { frac {4} {3} } times { frac {5} {4}} times cdots times { frac {N + 1} {N}}} right rbrack & = lim _ {N to infty} left lbrack { frac {1} {N}} right rbrack times left lbrack { frac {N + 1} {2}} right rbrack & = lim _ {N do infty} left lbrack { frac {N + 1} {2N}} right rbrack & = { frac {1} {2}}. end {aligned}}}$

Obecně

Teleskopická řada sil

Teleskopický částky jsou konečné součty, ve kterých se dvojice po sobě jdoucích termínů navzájem ruší a zůstávají pouze počáteční a konečné podmínky.^[6]

Nechat ${ displaystyle a_ {n}}$ být posloupností čísel. Pak,

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ {N} vlevo (a_ {n} -a_ {n-1} doprava) = a_ {N} -a_ {0}}$

Li ${ displaystyle a_ {n} rightarrow 0}$

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} left (a_ {n} -a_ {n-1} right) = - a_ {0}}$

Teleskopický produkty jsou konečné produkty, ve kterých po sobě jdoucí termíny ruší jmenovatele čitatelem a ponechávají pouze počáteční a finální termíny.

Nechat ${ displaystyle a_ {n}}$ být posloupností čísel. Pak,

${ displaystyle prod _ {n = 1} ^ {N} { frac {a_ {n-1}} {a_ {n}}} = { frac {a_ {0}} {a_ {N}}} }$

Li ${ displaystyle a_ {n} rightarrow 1}$

${ displaystyle prod _ {n = 1} ^ { infty} { frac {a_ {n-1}} {a_ {n}}} = a_ {0}}$

Další příklady

• Mnoho trigonometrické funkce také připustit reprezentaci jako rozdíl, který umožňuje teleskopické zrušení mezi po sobě následujícími podmínkami.

${ displaystyle { begin {aligned} sum _ {n = 1} ^ {N} sin left (n right) & {} = sum _ {n = 1} ^ {N} { frac { 1} {2}} csc left ({ frac {1} {2}} right) left (2 sin left ({ frac {1} {2}} right) sin left (n right) right) & {} = { frac {1} {2}} csc left ({ frac {1} {2}} right) sum _ {n = 1} ^ {N} left ( cos left ({ frac {2n-1} {2}} right) - cos left ({ frac {2n + 1} {2}} right) right ) & {} = { frac {1} {2}} csc left ({ frac {1} {2}} right) left ( cos left ({ frac {1} { 2}} right) - cos left ({ frac {2N + 1} {2}} right) right). End {aligned}}}$

• Některé částky formuláře

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ {N} {f (n) nad g (n)}}$

kde F a G jsou polynomiální funkce jejichž podíl lze rozdělit na dílčí zlomky, nepřipustí součet touto metodou. Jeden zejména má

${ displaystyle { begin {aligned} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {2n + 3} {(n + 1) (n + 2)}} = {} & sum _ {n = 0} ^ { infty} left ({ frac {1} {n + 1}} + { frac {1} {n + 2}} right) = {} & left ( { frac {1} {1}} + { frac {1} {2}} pravý) + levý ({ frac {1} {2}} + { frac {1} {3}} right) + left ({ frac {1} {3}} + { frac {1} {4}} right) + cdots & {} cdots + left ({ frac {1} {n-1}} + { frac {1} {n}} vpravo) + vlevo ({ frac {1} {n}} + { frac {1} {n + 1}} vpravo) + left ({ frac {1} {n + 1}} + { frac {1} {n + 2}} right) + cdots = {} & infty. end {aligned}} }$

Problém je v tom, že podmínky se nezruší.

• Nechat k být kladné celé číslo. Pak

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n (n + k)}} = { frac {H_ {k}} {k}}}$

kde H_k je kth harmonické číslo. Všechny termíny po 1 / (k - 1) zrušit.

Aplikace v teorii pravděpodobnosti

v teorie pravděpodobnosti, a Poissonův proces je stochastický proces, jehož nejjednodušší případ zahrnuje „výskyty“ v náhodných dobách, přičemž čekací doba do dalšího výskytu má bez paměti exponenciální rozdělení a počet „výskytů“ v libovolném časovém intervalu, který má a Poissonovo rozdělení jehož očekávaná hodnota je úměrná délce časového intervalu. Nechat X_t být počet „výskytů“ před časem ta nechte T_X být čekací dobou do Xth "výskyt". Hledáme funkce hustoty pravděpodobnosti z náhodná proměnná T_X. Používáme funkce pravděpodobnostní hmotnosti pro Poissonovo rozdělení, které nám to říká

${ displaystyle Pr (X_ {t} = x) = { frac {( lambda t) ^ {x} e ^ {- lambda t}} {x!}},}$

kde λ je průměrný počet výskytů v libovolném časovém intervalu délky 1. Všimněte si, že událost {X_t ≥ x} je stejné jako událost {T_X ≤ t}, a mají tedy stejnou pravděpodobnost. Funkce hustoty, kterou hledáme, je tedy

${ displaystyle { begin {align}} f (t) & {} = { frac {d} {dt}} Pr (T_ {x} leq t) = { frac {d} {dt}} Pr (X_ {t} geq x) = { frac {d} {dt}} (1- Pr (X_ {t} leq x-1)) & {} = { frac { d} {dt}} left (1- sum _ {u = 0} ^ {x-1} Pr (X_ {t} = u) right) = { frac {d} {dt}} left (1- sum _ {u = 0} ^ {x-1} { frac {( lambda t) ^ {u} e ^ {- lambda t}} {u!}} right) & {} = lambda e ^ {- lambda t} -e ^ {- lambda t} sum _ {u = 1} ^ {x-1} left ({ frac { lambda ^ { u} t ^ {u-1}} {(u-1)!}} - { frac { lambda ^ {u + 1} t ^ {u}} {u!}} vpravo) end {zarovnáno }}}$

Součet dalekohledů, odcházející

${ displaystyle f (t) = { frac { lambda ^ {x} t ^ {x-1} e ^ {- lambda t}} {(x-1)!}}.}$

Další aplikace

Pro další aplikace viz:

• Grandiho série;
• Důkaz, že součet převrácených hodnot prvočísel se liší, kde jeden z důkazů používá teleskopickou částku;
• Statistika objednávky, kde k teleskopickému součtu dochází při odvození funkce hustoty pravděpodobnosti;
• Lefschetzova věta o pevném bodě, kde vznikne teleskopická suma algebraická topologie;
• Teorie homologie, opět v algebraické topologii;
• Podvod Eilenberg – Mazur, kde dochází k teleskopickému součtu uzlů;
• Algoritmus Faddeev – LeVerrier;
• Základní věta o počtu, spojitý analog teleskopické řady.

Poznámky a odkazy