Číslo harmonického dělitele - Harmonic divisor number

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Února 2018) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, a číslo harmonického dělitelenebo Číslo rudy (pojmenoval podle Øystein Ore , který jej definoval v roce 1948), je kladné celé číslo, jehož dělitele mít harmonický průměr to je celé číslo. Prvních několik čísel dělitele harmonických je

1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190 (sekvence A001599 v OEIS ).

Příklady

Například harmonický dělitel číslo 6 má čtyři dělitele 1, 2, 3 a 6. Jejich harmonický průměr je celé číslo:

${ displaystyle { frac {4} {{ frac {1} {1}} + { frac {1} {2}} + { frac {1} {3}} + { frac {1} { 6}}}} = 2.}$

Číslo 140 má dělitele 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 a 140. Jejich harmonický průměr je:

${ displaystyle { frac {12} {{ frac {1} {1}} + { frac {1} {2}} + { frac {1} {4}} + { frac {1} { 5}} + { frac {1} {7}} + { frac {1} {10}} + { frac {1} {14}} + { frac {1} {20}} + { frac {1} {28}} + { frac {1} {35}} + { frac {1} {70}} + { frac {1} {140}}}} = 5}$

5 je celé číslo, takže 140 je číslo harmonického dělitele.

Faktorizace harmonického průměru

Harmonický průměr H(n) dělitelů libovolného čísla n lze vyjádřit jako vzorec

${ displaystyle H (n) = { frac {n sigma _ {0} (n)} { sigma _ {1} (n)}}}$

kde σ_i(n) je součet iTřetí moc dělitelů z n: σ₀ je počet dělitelů a σ₁ je součet dělitelů (Cohen 1997 Všechny výrazy v tomto vzorci jsou multiplikativní, ale ne zcela multiplikativní Harmonický průměr H(n) je také multiplikativní. To znamená, že pro každé kladné celé číslo n, harmonický průměr H(n) lze vyjádřit jako součin harmonických průměrů pro hlavní síly v faktorizace z n.

Například máme

${ displaystyle H (4) = { frac {3} {1 + { frac {1} {2}} + { frac {1} {4}}}} = 12/7}$

${ displaystyle H (5) = { frac {2} {1 + { frac {1} {5}}}} = 5/3,}$

${ displaystyle H (7) = { frac {2} {1 + { frac {1} {7}}}} = 7/4,}$

a

${ displaystyle H (140) = H (4 cdot 5 cdot 7) = H (4) cdot H (5) cdot H (7) = { frac {12} {7}} cdot { frac {5} {3}} cdot { frac {7} {4}} = 5.}$

Čísla harmonických dělitelů a dokonalá čísla

Demonstrace, s Pruty Cuisenaire, o dokonalosti čísla 6

Pro jakékoli celé číslo M, jak poznamenala Ore, součin harmonického průměru a aritmetický průměr jeho dělitelů se rovná M jak je patrné z definic. Proto, M je harmonický s harmonickým průměrem dělitelů k, a to pouze tehdy, je-li průměr jeho dělitelů součinem M s jednotkový zlomek 1/k.

Ruda ukázala, že každý perfektní číslo je harmonický. Chcete-li to vidět, sledujte, že součet dělitelů dokonalého čísla M je přesně 2M; průměr dělitelů tedy je M(2 / τ (M)), kde τ (M) označuje počet dělitelů z M. Pro všechny M, τ (M) je liché právě tehdy M je číslo umocněné na druhou, jinak každý dělitel d z M lze spárovat s jiným dělitelem M/d. Žádným dokonalým číslem však nemůže být čtverec: vyplývá to ze známé formy sudých dokonalých čísel a ze skutečnosti, že lichá dokonalá čísla (pokud existují) musí mít faktor tvaru q^α kde α ≡ 1 (mod 4). Proto pro perfektní číslo M, τ (M) je sudý a průměr dělitelů je součinem M s jednotkovou frakcí 2 / τ (M); tím pádem, M je číslo harmonického dělitele.

Ruda se domnívala, že neexistují žádná zvláštní čísla dělitele harmonických dělitelů než 1. Pokud je domněnka pravdivá, znamenalo by to neexistenci lichá dokonalá čísla.

Hranice a počítačové vyhledávání

W. H. Mills (nepublikováno; viz Muskat) ukázal, že jakékoli liché číslo harmonického dělitele nad 1 musí mít hlavní účiník větší než 10⁷a Cohen ukázal, že každé takové číslo musí mít alespoň tři různé hlavní faktory. Cohen & Sorli (2010) ukázaly, že neexistují žádná lichá čísla harmonických dělitelů menší než 10²⁴.

Cohen, Goto a další, počínaje samotným Ore, provedli počítačové vyhledávání se seznamem všech malých čísel harmonických dělitelů. Z těchto výsledků jsou známy seznamy všech čísel dělitele harmonických až do 2 × 10⁹a všechna čísla dělitelů harmonických, u nichž je harmonický průměr dělitelů nejvýše 300.

Reference

• Bogomolny, Alexander. „Identita týkající se průměrů dělitelů daného celého čísla“. Citováno 2006-09-10.
• Cohen, Graeme L. (1997). „Čísla, jejichž pozitivní dělitelé mají malý integrální harmonický průměr“ (PDF). Matematika výpočtu. 66 (218): 883–891. doi:10.1090 / S0025-5718-97-00819-3.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Cohen, Graeme L .; Sorli, Ronald M. (2010). "Zvláštní lichá čísla přesahují 10²⁴". Matematika výpočtu. 79 (272): 2451. doi:10.1090 / S0025-5718-10-02337-9. ISSN  0025-5718.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Jdi, Takeshi. „(Rudy) harmonické čísla“. Citováno 2006-09-10.
• Guy, Richard K. (2004). Nevyřešené problémy v teorii čísel (3. vyd.). Springer-Verlag. B2. ISBN  978-0-387-20860-2. Zbl  1058.11001.
• Muskat, Joseph B. (1966). „Na dělitele lichých dokonalých čísel“. Matematika výpočtu. 20 (93): 141–144. doi:10.2307/2004277. JSTOR  2004277.
• Ruda, Øystein (1948). "K průměrům dělitelů čísla". Americký matematický měsíčník. 55 (10): 615–619. doi:10.2307/2305616. JSTOR  2305616.
• Weisstein, Eric W. „Číslo harmonického dělitele“. MathWorld.