Periodická posloupnost - Periodic sequence

tento článek ne uvést žádný Zdroje. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Periodická posloupnost"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Červenec 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, a periodická posloupnost (někdy nazývané a cyklus) je sekvence pro které je to stejné podmínky se opakují znovu a znovu:

A₁, A₂, ..., A_str,  A₁, A₂, ..., A_str,  A₁, A₂, ..., A_str, ...

Číslo str opakovaných termínů se nazývá doba (doba ).

Definice

Periodická sekvence je sekvence A₁, A₂, A₃, ... uspokojující

A_n+str = A_n

pro všechny hodnoty n. Pokud je sekvence považována za a funkce jehož doménou je sada přirozená čísla, pak je periodická posloupnost jednoduše speciální typ periodická funkce.

Příklady

Pořadí číslic v desetinný rozšíření o 1/7 je periodické s obdobím 6:

${ displaystyle { frac {1} {7}} = 0,142857 , 142857 , 142857 , ldots}$

Obecněji řečeno, posloupnost číslic v desítkové expanzi libovolného racionální číslo je nakonec periodický (viz níže).

Posloupnost mocnin -1 je periodická s periodou dvě:

${ displaystyle -1,1, -1,1, -1,1, ldots}$

Obecněji řečeno, posloupnost sil kteréhokoli kořen jednoty je periodický. Totéž platí pro mocniny jakéhokoli prvku konečné objednat v skupina.

A periodický bod pro funkci F : X → X je bod X jehož obíhat

${ Displaystyle x, , f (x), , f (f (x)), , f ^ {3} (x), , f ^ {4} (x), , ldots}$

je periodická posloupnost. Tady, ${ displaystyle f ^ {n} (x)}$ znamená n-složit složení z F aplikován na X. Periodické body jsou důležité v teorii dynamické systémy. Každá funkce od a konečná množina sama o sobě má periodický bod; detekce cyklu je algoritmický problém nalezení takového bodu.

Periodické 0, 1 sekvence

Libovolnou periodickou posloupnost lze zkonstruovat sčítáním, odčítáním, násobením a dělením periodických posloupností skládajících se z nul a jedniček. Periodickou nulu a jednu sekvenci lze vyjádřit jako součet trigonometrických funkcí:

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {1} cos (- pi { frac {n (k-1)} {1}}) / 1 = 1,1,1,1,1, 1,1,1,1 ...}$

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {2} cos (2 pi { frac {n (k-1)} {2}}) / 2 = 0,1,0,1,0, 1,0,1,0 ...}$

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {3} cos (2 pi { frac {n (k-1)} {3}}) / 3 = 0,0,1,0,0, 1,0,0,1,0,0,1,0,0,1 ...}$

${ displaystyle ...}$

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {N} cos (2 pi { frac {n (k-1)} {N}}) / N = 0,0,0 ..., 1 { text {sekvence s tečkou}} N}$

Zobecnění

Sekvence je případně periodicky pokud to lze udělat periodicky tím, že od začátku upustíme od konečného počtu termínů. Například posloupnost číslic v desítkové expanzi 1/56 je nakonec periodická:

1 / 56 = 0 . 0 1 7  8 5 7 1 4 2  8 5 7 1 4 2  8 5 7 1 4 2  ...

Sekvence je asymptoticky periodické pokud se jeho podmínky blíží termínům periodické posloupnosti. To je sekvence X₁, X₂, X₃, ... je asymptoticky periodické, pokud existuje periodická sekvence A₁, A₂, A₃, ... pro který

${ displaystyle lim _ {n rightarrow infty} x_ {n} -a_ {n} = 0.}$

Například sekvence

1 / 3,  2 / 3,  1 / 4,  3 / 4,  1 / 5,  4 / 5,  ...

je asymptoticky periodický, protože jeho termíny se blíží termínům periodické posloupnosti 0, 1, 0, 1, 0, 1, ....