Pytagorejský trojnásobek - Pythagorean triple

Animace představující nejjednodušší Pythagorovu trojku, 3² + 4² = 5².

A Pytagorejský trojnásobek skládá se ze tří pozitivních celá čísla A, b, a C, takový, že A² + b² = C². Taková trojice se běžně píše (A, b, C)a známým příkladem je (3, 4, 5). Li (A, b, C) je Pytagorejský trojnásobek, pak také je (ka, kb, kc) pro jakékoli kladné celé číslo k. A primitivní Pythagorejský trojnásobek je jeden, ve kterém A, b a C jsou coprime (to znamená, že nemají společného dělitele většího než 1).^[1] Trojúhelník, jehož strany tvoří Pythagorovu trojku, se nazývá a Pytagorův trojúhelník, a je nutně a pravoúhlý trojuhelník.

Název je odvozen od Pythagorova věta, s tím, že každý pravý trojúhelník má délky stran, které splňují vzorec A² + b² = C²; tedy Pythagorovy trojice popisují tři celočíselné délky stran pravoúhlého trojúhelníku. Pravé trojúhelníky s nečíselnými stranami však netvoří Pythagorovy trojice. Například trojúhelník s bočnicemi A = b = 1 a C = √2 je pravý trojúhelník, ale (1, 1, √2) není Pythagorova trojka, protože √2 není celé číslo. Navíc, 1 a √2 nemají celé číslo společný násobek, protože √2 je iracionální.

Pytagorejské trojčata jsou známa již od starověku. Nejstarší známý záznam pochází z Plimpton 322, babylonská hliněná deska z doby kolem roku 1800 př. n. l., napsaná v a sexagesimal číselný systém. Objevil jej Edgar James Banks krátce po roce 1900 a prodán společnosti George Arthur Plimpton v roce 1922 za 10 $.^[2]

Při hledání celočíselných řešení se zobrazí rovnice A² + b² = C² je Diophantine rovnice. Pytagorejské trojčata tedy patří mezi nejstarší známá řešení a nelineární Diophantine rovnice.

Příklady

Bodový diagram nohou (a, b) prvních trojice Pythagoreanů s a a b menší než 6000. K ilustraci parabolických vzorců jsou zahrnuty záporné hodnoty. „Paprsky“ jsou výsledkem skutečnosti, že pokud (a, b, c) je Pythagorova trojice, pak je také (2a, 2b, 2c) a (3a, 3b, 3c) a obecněji (sa, sb, sc) pro všechna kladná celá čísla s.

Existuje 16 primitivních Pythagorovských trojic C ≤ 100:

Všimněte si například, že (6, 8, 10) je ne primitivní pythagorovský trojnásobek, protože se jedná o násobek (3, 4, 5). Každý z těchto bodů low-c tvoří jednu z lépe rozpoznatelných vyzařujících čar v bodovém grafu.

Navíc se jedná o všechny primitivní Pythagorovy trojice 100 < C ≤ 300:

Generování trojitého

Primitivní Pythagorean se ztrojnásobil. Zvláštní noha A je vyneseno na vodorovnou osu, sudou nohu b na vertikální. Křivočárná mřížka se skládá z křivek konstanty m − n a konstantní m + n v Euklidově vzorci.

Děj trojic generovaných Euklidovým vzorcem mapuje část z² = X² + y² kužel. Konstanta m nebo n sleduje část a parabola na kuželu.

Euklidův vzorec^[3] je základní vzorec pro generování pythagorovských trojic, kterým je dán libovolný pár celých čísel m a n s m > n > 0. Vzorec uvádí, že celá čísla

${displaystyle a = m ^ {2} -n ^ {2},, b = 2mn,, c = m ^ {2} + n ^ {2}}$

tvoří Pythagorovu trojku. Trojnásobek vygenerovaný uživatelem Euklid Vzorec je primitivní právě tehdy m a n jsou coprime a ne oba zvláštní. Když obojí m a n jsou tedy zvláštní A, b, a C bude sudé a trojice nebude primitivní; nicméně, dělení A, b, a C o 2 přinese primitivní trojnásobek, když m a n jsou coprime a oba liché.^[4]

Každý vzniká primitivní trojnásobek (po výměně A a b, pokud A je dokonce) z a jedinečný pár coprime čísel m, n, z nichž jeden je sudý. Z toho vyplývá, že existuje nekonečně mnoho primitivních pythagorovských trojic. Tento vztah A, b a C na m a n z Euklidova vzorce je zmíněn ve zbytku tohoto článku.

Navzdory generování všech primitivních trojic Euklidův vzorec neprodukuje všechny trojice - například (9, 12, 15) nelze generovat pomocí celého čísla m a n. To lze napravit vložením dalšího parametru k do vzorce. Následující text jedinečně vygeneruje všechny Pythagorovy trojice:

${displaystyle a = kcdot (m ^ {2} -n ^ {2}),, b = kcdot (2mn),, c = kcdot (m ^ {2} + n ^ {2})}$

kde m, n, a k jsou kladná celá čísla s m > n, a s m a n coprime a ne oba zvláštní.

Že tyto vzorce generují Pythagorovy trojnásobky, lze ověřit rozšířením A² + b² použitím elementární algebra a ověření, že se výsledek rovná C². Protože každý pythagorovský trojnásobek lze rozdělit na celé číslo k k získání primitivní trojky lze každou trojici vygenerovat jedinečně pomocí vzorce s m a n generovat jeho primitivní protějšek a poté vynásobit k jako v poslední rovnici.

Výběr m a n z určitých celočíselných sekvencí poskytuje zajímavé výsledky. Například pokud m a n jsou po sobě jdoucí Pell čísla, A a b se bude lišit o 1.^[5]

Od doby Euklida bylo vyvinuto mnoho vzorců pro generování trojic se zvláštními vlastnostmi.

Důkaz Euklidova vzorce

To uspokojení Euklidova vzorce tím a, b, c je dostatečný pro trojúhelník být Pythagorean je zřejmé ze skutečnosti, že pro pozitivní celá čísla m a n, m > n, a, b, a C dané vzorcem jsou všechna kladná celá čísla a ze skutečnosti, že

${displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = (m ^ {2} -n ^ {2}) ^ {2} + (2mn) ^ {2} = (m ^ {2} + n ^ { 2}) ^ {2} = c ^ {2}.}$

Důkaz o nutnost že a, b, c být vyjádřen Euklidovým vzorcem pro jakoukoli primitivní Pythagorovu trojku je následující.^[6] Všechny takové trojice lze psát jako (A, b, C) kde A² + b² = C² a A, b, C jsou coprime. Tím pádem A, b, C jsou dvojice coprime (pokud by prvočíslo rozdělilo dva z nich, bylo by nuceno rozdělit i to třetí). Tak jako A a b jsou coprime, alespoň jeden z nich je lichý, takže to můžeme předpokládat A je liché, podle potřeby výměnou, A a b. To z toho vyplývá b je sudé a C je liché (pokud b byly zvláštní, C by bylo sudé a C² by byl násobkem 4, zatímco A² + b² bylo by shodný na 2 modulo 4, protože lichý čtverec odpovídá 1 modulo 4).

Z ${displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}}$ získáváme ${displaystyle c ^ {2} -a ^ {2} = b ^ {2}}$ a tudíž ${displaystyle (c-a) (c + a) = b ^ {2}}$. Pak ${displaystyle {frac {(c + a)} {b}} = {frac {b} {(c-a)}}}$. Od té doby ${displaystyle {frac {(c + a)} {b}}}$ je racionální, nastavili jsme to na ${displaystyle {frac {m} {n}}}$ v nejnižších termínech. Tím pádem ${displaystyle {frac {(c-a)} {b}} = {frac {n} {m}}}$, je reciproční z ${displaystyle {frac {(c + a)} {b}}}$. Pak řešení

${displaystyle {frac {c} {b}} + {frac {a} {b}} = {frac {m} {n}}, quad quad {frac {c} {b}} - {frac {a} { b}} = {frac {n} {m}}}$

pro ${displaystyle {frac {c} {b}}}$ a ${displaystyle {frac {a} {b}}}$ dává

${displaystyle {frac {c} {b}} = {frac {1} {2}} vlevo ({frac {m} {n}} + {frac {n} {m}} ight) = {frac {m ^ {2} + n ^ {2}} {2mn}}, quad quad {frac {a} {b}} = {frac {1} {2}} vlevo ({frac {m} {n}} - {frac {n} {m}} ight) = {frac {m ^ {2} -n ^ {2}} {2mn}}.}$

Tak jako ${displaystyle {frac {m} {n}}}$ je plně redukován, m a n jsou coprime a nemohou být oba sudí. Pokud byli oba lichí, čitatel ${displaystyle {frac {m ^ {2} -n ^ {2}} {2mn}}}$ by byl násobkem 4 (protože lichý čtverec odpovídá 1 modulo 4) a jmenovatel 2mn by nebyl násobkem 4. Jelikož 4 by byl minimální možný sudý faktor v čitateli a 2 by byl maximální možný sudý faktor ve jmenovateli, znamenalo by to A být vyrovnaný, přestože to definujeme jako zvláštní. Tak jeden z m a n je liché a druhé sudé a čitatelé dvou zlomků se jmenovatelem 2mn jsou zvláštní. Tyto zlomky jsou tedy plně redukovány (liché prvočíslo dělící tento jmenovatel dělí jeden z m a n ale ne ten druhý; nerozděluje se m² ± n²). Lze tedy srovnávat čitatele s čitateli a jmenovatele se jmenovateli, což dává Euklidův vzorec

${displaystyle a = m ^ {2} -n ^ {2},, b = 2mn,, c = m ^ {2} + n ^ {2}}$ s m a n coprime a opačných parit.

Delší, ale častější důkaz je uveden v Maor (2007)^[7] a Sierpiński (2003).^[8] Další důkaz je uveden v Diophantine rovnice § Příklad Pythagorovy trojice, jako příklad obecné metody, která platí pro všechny homogenní Diophantine rovnice stupně dva.

Interpretace parametrů v Euklidově vzorci

Předpokládejme, že strany Pythagorovho trojúhelníku mají délky m² − n², 2mn, a m² + n²a předpokládejme úhel mezi nohou délky m² − n² a přepona délky m² + n² je označen jako β. Pak ${displaystyle an {frac {eta} {2}} = {frac {n} {m}}}$ a trigonometrické hodnoty z plného úhlu jsou ${displaystyle sin {eta} = {frac {2mn} {m ^ {2} + n ^ {2}}}}$, ${displaystyle cos {eta} = {frac {m ^ {2} -n ^ {2}} {m ^ {2} + n ^ {2}}}}$, a ${displaystyle an {eta} = {frac {2mn} {m ^ {2} -n ^ {2}}}}$.^[9]

Varianta

Následující varianta Euklidova vzorce je někdy pohodlnější, protože je symetrickější m a n (stejná paritní podmínka dne m a n).

Li m a n jsou dvě lichá celá čísla taková m > n, pak

${displaystyle a = mn,, b = {frac {m ^ {2} -n ^ {2}} {2}}, c = {frac {m ^ {2} + n ^ {2}} {2} }}$

jsou tři celá čísla, která tvoří Pythagorovu trojku, která je primitivní právě tehdy m a n jsou coprime. Naopak, každý primitivní pythagorovský triple vzniká (po výměně A a b, pokud A je dokonce) z jedinečného páru m > n > 0 coprime lichá celá čísla.

Základní vlastnosti primitivních pythagorovských trojic

Obecné vlastnosti

Vlastnosti primitivního pythagorovského trojnásobku (A, b, C) s A < b < C (bez upřesnění, který z A nebo b je sudé a liché) zahrnují:

• ${displaystyle {frac {(c-a) (c-b)} {2}}}$ je vždy perfektní čtverec.^[10] Jelikož je to pouze nutná podmínka, ale ne dostatečná, lze ji použít ke kontrole, zda daná trojčíslí je ne Pytagorejský trojnásobek, když v testu neprospějí. Například trojnásobný {6, 12, 18} projde testem (C − A)(C − b)/2 je perfektní čtverec, ale není to pythagorovská trojka.
• Když trojnásobek čísel A, b a C tvoří tedy primitivní Pythagorovu trojku (C minus sudá noha) a jedna polovina (C minus lichá noha) jsou oba perfektní čtverce; to však není dostatečná podmínka, protože čísla {1, 8, 9} projít testem dokonalých čtverců, ale od té doby nejsou Pythagorovy trojky 1² + 8² ≠ 9².
• Maximálně jeden z A, b, C je čtverec.^[11]
• Plocha Pytagorova trojúhelníku nemůže být čtverec^{[12]:p. 17} nebo dvojnásobek čtverce^{[12]:p. 21} přirozeného čísla.
• Přesně jeden z A, b je zvláštní; C je zvláštní.^[13]
• Přesně jeden z A, b je dělitelné 3.^[8]:23–25
• Přesně jeden z A, b je dělitelné 4.^[8]
• Přesně jeden z A, b, C je dělitelné 5.^[8]
• Největší číslo, které se vždy dělí abc je 60.^[14]
• Všechny hlavní faktory C jsou prvočísla formy 4n + 1.^[15] Proto má c tvar 4n + 1.
• Oblast (K. = ab/ 2) je a shodné číslo^[16] dělitelné 6.
• V každém Pythagorově trojúhelníku je poloměr incircle a poloměry tří kruhů jsou přirozená čísla. Konkrétně pro primitivní trojnásobek je poloměr incircle r = n(m − n)a poloměry excircleů naproti stranám m² − n², 2 mila přepona m² + n² jsou příslušně m(m − n), n(m + n), a m(m + n).^[17]
• Pokud jde o jakýkoli pravý trojúhelník, obrácený z Thalesova věta říká, že průměr obvod rovná se přepona; tedy u primitivních trojic je obvodový průměr m² + n², a circumradius je polovina z toho, a proto je racionální, ale ne celé číslo (od m a n mít opačnou paritu).
• Když je plocha Pythagorova trojúhelníku vynásobena zakřivení z jeho incircle a 3 excircles, výsledkem jsou čtyři kladná celá čísla w > X > y > z, resp. Celá čísla −w, X, y, z uspokojit Descartova kruhová rovnice.^[18] Ekvivalentně poloměr vnější kruh Soddy pravého trojúhelníku se rovná jeho semiperimetru. Vnější centrum Soddy se nachází na D, kde ACBD je obdélník, ACB pravý trojúhelník a AB jeho přepona.^{[18]:p. 6}
• Pouze dvě strany primitivního pythagorovského trojnásobku mohou být současně prime, protože by Euklidův vzorec pro generování primitivního pythagorovského trojnásobku musí být jedna z nohou složená a rovnoměrná.^[19] Avšak pouze jedna strana může být celé číslo dokonalé síly ${displaystyle pgeq 2}$ protože kdyby dvě strany byla celá čísla dokonalých sil se stejným exponentem ${displaystyle p}$ odporovalo by to skutečnosti, že neexistují celočíselná řešení Diophantine rovnice ${displaystyle x ^ {2p} pm y ^ {2p} = z ^ {2}}$, s ${displaystyle x}$, ${displaystyle y}$ a ${displaystyle z}$ být párovým coprime.^[20]
• Neexistují žádné Pythagorovy trojúhelníky, ve kterých by přepona a jedna noha byly nohami jiného Pythagorova trojúhelníku; toto je jedna z ekvivalentních forem Fermatova věta o pravoúhlém trojúhelníku.^{[12]:p. 14}
• Každý primitivní Pythagorův trojúhelník má poměr plochy, K., na druhou semiperimetr, s, který je pro sebe jedinečný a je dán^[21]

${displaystyle {frac {K} {s ^ {2}}} = {frac {n (m-n)} {m (m + n)}} = 1- {frac {c} {s}}.}$

• Žádný primitivní Pythagorův trojúhelník nemá celočíselnou nadmořskou výšku od přepony; to znamená, že každý primitivní Pythagorovský trojúhelník je nerozložitelný.^[22]
• Sada všech primitivních pythagorovských trojic tvoří kořeny ternární strom přirozeným způsobem; vidět Strom primitivních trojitých Pythagorejců.
• Ani jeden z ostré úhly pythagorovského trojúhelníku může být a racionální číslo z stupňů.^[23] (To vyplývá z Nivenova věta.)

Speciální případy

Kromě toho lze zaručeně existovat speciální pythagorovské trojice s určitými dalšími vlastnostmi:

• Každé celé číslo větší než 2, které není shodný s 2 mod 4 (jinými slovy každé celé číslo větší než 2, což je ne formuláře 4k + 2) je součástí primitivního pythagorovského trojnásobku. (Pokud má celé číslo tvar 4k, jeden může vzít n =1 a m = 2k v Euklidově vzorci; pokud je celé číslo 2k + 1, jeden může vzít n = k a m = k + 1.)
• Každé celé číslo větší než 2 je součástí primitivního nebo neprimitivního pythagorovského trojnásobku. Například celá čísla 6, 10, 14 a 18 nejsou součástí primitivních trojic, ale jsou součástí neprimitivních trojic (6, 8, 10), (14, 48, 50) a (18, 80, 82).
• Existuje nekonečně mnoho pythagorovských trojic, ve kterých se přepona a nejdelší noha liší přesně o jednu. Takové trojice jsou nutně primitivní a mají podobu (2n + 1, 2n² + 2n, 2n² + 2n +1). To vyplývá z Euklidova vzorce poznamenáním, že podmínka znamená, že trojice je primitivní a musí být ověřena (m² + n²) - 2mn = 1. Z toho vyplývá (m – n)² = 1, a tudíž m = n + 1. Výše uvedená forma trojic je tedy výsledkem střídání m pro n + 1 v Euklidově vzorci.
• Existuje nekonečně mnoho primitivních pythagorovských trojic, ve kterých se přepona a nejdelší noha liší přesně o dvě. Všichni jsou primitivní a získávají se kladením n = 1 v Euklidově vzorci. Obecněji pro každé celé číslo k > 0, existuje nekonečně mnoho primitivních pythagorovských trojic, ve kterých se přepona a lichá noha liší o 2k². Získávají se kladením n = k v Euklidově vzorci.
• Existuje nekonečně mnoho pythagorovských trojic, ve kterých se obě nohy liší přesně o jednu. Například 20² + 21² = 29²; jsou generovány Euklidovým vzorcem, když ${displaystyle {frac {m-n} {n}}}$ je konvergentní na √2.
• Pro každé přirozené číslo k, existují k Pytagorejský trojnásobek s různými přepony a stejnou oblastí.
• Pro každé přirozené číslo k, existuje alespoň k různé primitivní Pythagorovy trojice se stejnou nohou A, kde A je nějaké přirozené číslo (délka sudé nohy je 2mna stačí si vybrat A například s mnoha faktorizacemi A = 4b, kde b je produktem k různá lichá prvočísla; to produkuje alespoň 2^k různé primitivní trojice).^[8]:30
• Pro každé přirozené číslo n, existuje alespoň n různé Pythagorovy trojice se stejnou přeponou.^[8]:31
• Existuje nekonečně mnoho pythagorovských trojic se čtvercovými čísly pro obě přepony C a součet nohou A + b. Podle Fermata nejmenší takový trojitý^[24] má strany A = 4,565,486,027,761; b = 1 061 652 293 520; a C = 4 687 298 610 289. Tady A + b = 2,372,159² a C = 2,165,017². To je generováno Euklidovým vzorcem s hodnotami parametrů m = 2 150 905 a n = 246,792.
• Existují neprimitivní Pythagorovy trojúhelníky s celočíselnou nadmořskou výškou od přepony.^[25][26] Takové Pythagorovy trojúhelníky jsou známé jako rozložitelný protože je lze v této výšce rozdělit na dva samostatné a menší Pythagorovy trojúhelníky.^[22]

Geometrie Euklidova vzorce

Racionální body na jednotkové kružnici

3,4,5 mapy do bodu x, y (4 / 5,3 / 5) na jednotkové kružnici

The racionální body na kruhu odpovídají pod stereografická projekce, k racionálním bodům přímky.

Euklidův vzorec pro Pythagorovu trojku

${displaystyle a = 2mn, quad b = m ^ {2} -n ^ {2}, quad c = m ^ {2} + n ^ {2}}$

lze chápat z hlediska geometrie racionální body na jednotkový kruh (Trautman 1998 ).

Ve skutečnosti je to bod v Kartézské letadlo se souřadnicemi (X, y) patří do kruhu jednotek, pokud X² + y² = 1. Jde o to Racionální -li X a y jsou racionální čísla, tj. pokud existují nesoudělná čísla A, b, C takhle

${displaystyle {iggl (} {frac {a} {c}} {iggr)} ^ {2} + {iggl (} {frac {b} {c}} {iggr)} ^ {2} = 1.}$

Vynásobením obou členů číslem C², je vidět, že racionální body na kruhu jsou ve vzájemné korespondenci s primitivními Pythagorovy trojice.

Jednotkový kruh může být také definován a parametrická rovnice

${displaystyle x = {frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}}} čtyřkolka y = {frac {2t} {1 + t ^ {2}}}.}$

Euklidův vzorec pro Pythagorovy trojice znamená, že až na (−1, 0), bod na kružnici je racionální právě tehdy, když odpovídá hodnotě t je racionální číslo.

Stereografický přístup

Stereografická projekce jednotkového kruhu na X-osa. Daný bod P na jednotkové kružnici nakreslete čáru z P do té míry N = (0, 1) (dále jen Severní pól). Bod P′ Kde čára protíná X-os je stereografická projekce P. Naopak, počínaje bodem P' na X-osa a nakreslení čáry z P′ Až N„jde o inverzní stereografickou projekci P kde čára protíná jednotkový kruh.

Existuje korespondence mezi body na jednotkové kružnici s racionálními souřadnicemi a primitivní Pythagorovy trojice. V tomto okamžiku lze Euklidovy vzorce odvodit buď metodami trigonometrie nebo ekvivalentně pomocí stereografická projekce.

Pokud jde o stereografický přístup, předpokládejme to P′ Je bod na X-os s racionálními souřadnicemi

${displaystyle P '= left ({frac {m} {n}}, 0ight).}$

Poté lze základní algebrou ukázat, že jde o bod P má souřadnice

${displaystyle P = left ({frac {2left ({frac {m} {n}} ight)}) {left ({frac {m} {n}} ight) ^ {2} +1}}, {frac {left ({frac {m} {n}} ight) ^ {2} -1} {left ({frac {m} {n}} ight) ^ {2} +1}} ight) = left ({frac {m} {n}} ight) } {m ^ {2} + n ^ {2}}}, {frac {m ^ {2} -n ^ {2}} {m ^ {2} + n ^ {2}}} hned).}$

Tím se stanoví, že každý z nich racionální bod z X-osa přejde k racionálnímu bodu jednotkové kružnice. Konverzace, že každý racionální bod jednotkové kružnice pochází z takového bodu X- osa, následuje inverzní stereografická projekce. Předpokládejme to P(X, y) je bod jednotkové kružnice s X a y racionální čísla. Pak bod P′ Získané stereografickou projekcí na X-os má souřadnice

${displaystyle left ({frac {x} {1-y}}, 0ight)}$

což je racionální.

Ve smyslu algebraická geometrie, algebraická rozmanitost racionálních bodů na jednotkové kružnici je birational do afinní linie přes racionální čísla. Jednotkový kruh se tedy nazývá a racionální křivka, a právě tato skutečnost umožňuje explicitní parametrizaci bodů (racionálního počtu) na něm pomocí racionálních funkcí.

Pythagorovy trojúhelníky ve 2D mřížce

2D mříž je pravidelné pole izolovaných bodů, kde pokud je jako kartézský počátek zvolen libovolný bod (0, 0), pak jsou všechny ostatní body na (X, y) kde X a y rozsah přes všechna kladná a záporná celá čísla. Libovolný pythagorovský trojúhelník s trojitým (A, b, C) lze nakreslit v 2D mřížce s vrcholy na souřadnicích (0, 0), (A, 0) a (0, b). Počet mřížových bodů ležících striktně v mezích trojúhelníku je dán vztahem ${displaystyle {frac {(a-1) (b-1) -gcd {(a, b)} + 1} {2}};}$^[27] pro primitivní trojice Pythagorejců je tento počet vnitřních mřížek${displaystyle {frac {(a-1) (b-1)} {2}}.}$ Oblast (podle) Pickova věta rovno jedné menší než počet vnitřní mřížky plus polovina počtu hraniční mřížky) se rovná${displaystyle {frac {ab} {2}}}$ .

První výskyt dvou primitivních pythagorovských trojic sdílejících stejnou oblast nastává u trojúhelníků se stranami (20, 21, 29), (12, 35, 37) a společnou oblastí 210 (sekvence A093536 v OEIS ). První výskyt dvou primitivních pythagorovských trojic sdílejících stejný počet vnitřních mřížek se vyskytuje u (18108, 252685, 253333), (28077, 162964, 165365) a počtu vnitřních mřížek 2287674594 (sekvence A225760 v OEIS ). Byly nalezeny tři primitivní pythagorejské trojice, které sdílejí stejnou oblast: (4485, 5852, 7373), (3059, 8580, 9109), (1380, 19019, 19069) s oblastí 13123110. Dosud nebyla nalezena žádná sada tří primitivních pythagorejských trojic bylo zjištěno, že sdílí stejný počet vnitřních mřížek.

Výčet primitivních pythagorovských trojic

Podle Euklidova vzorce lze z celých čísel vygenerovat všechny primitivní Pythagorovy trojice ${displaystyle m}$ a ${displaystyle n}$ s ${displaystyle m> n> 0}$, ${displaystyle m + n}$ liché a ${displaystyle gcd (m, n) = 1}$. Proto existuje mapování racionálů 1: 1 (v nejnižších termínech) na primitivní trojice Pythagorejců, kde ${displaystyle {frac {n} {m}}}$ je v intervalu ${displaystyle (0,1)}$ a ${displaystyle m + n}$ zvláštní.

Zpětné mapování z primitivní trojky ${displaystyle (a, b, c)}$ kde ${displaystyle c> b> a> 0}$ racionální ${displaystyle {frac {n} {m}}}$ je dosaženo studiem dvou součtů ${displaystyle a + c}$ a ${displaystyle b + c}$. Jednou z těchto součtů bude čtverec, který lze přirovnat k ${displaystyle (m + n) ^ {2}}$ a druhá bude dvakrát čtvereční, což lze přirovnat k ${displaystyle 2m ^ {2}}$. Potom je možné určit racionální ${displaystyle {frac {n} {m}}}$.

Aby bylo možné vyjmenovat primitivní Pythagorovy trojnásobky, lze racionální vyjádřit jako uspořádaný pár ${displaystyle (n, m)}$ a mapována na celé číslo pomocí párovací funkce, jako je Cantorova párovací funkce. Příklad lze vidět na (sekvence A277557 v OEIS ). Začíná to

${displaystyle 8,18,19,32,33,34, tečky}$ a dává racionální

${displaystyle {frac {1} {2}}, {frac {2} {3}}, {frac {1} {4}}, {frac {3} {4}}, {frac {2} {5} }, {frac {1} {6}}, tečky}$ ty zase generují primitivní trojice

${displaystyle (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (7,24,25), (20,21,29), (12,35,37), tečky}$

Spinors a modulární skupina

Pythagorovy trojice lze také kódovat do a čtvercová matice formuláře

${displaystyle X = {egin {bmatrix} c + b & a a & c-bend {bmatrix}}.}$

Matice této formy je symetrický. Kromě toho určující z X je

${displaystyle det X = c ^ {2} -a ^ {2} -b ^ {2},}$

což je přesně nula, když (A,b,C) je Pythagorova trojka. Li X odpovídá Pythagorově trojici, pak jako matice musí mít hodnost 1.

Od té doby X je symetrický, vyplývá to z výsledku v lineární algebra že existuje vektor sloupce ξ = [m n]^T takové, že vnější produkt

${displaystyle X = 2 {egin {bmatrix} m nend {bmatrix}} [m n] = 2xi xi ^ {T},}$

(1)

drží, kde T označuje maticová transpozice. Vektor ξ se nazývá a spinor (pro Skupina Lorentz SO (1, 2)). V abstraktních termínech Euklidův vzorec znamená, že každý primitivní pythagorovský trojnásobek lze zapsat jako vnější produkt s sebou spinor s celočíselnými položkami, jako v (1).

The modulární skupina Γ je sada matic 2 × 2 s celočíselnými zápisy

${displaystyle A = {egin {bmatrix} alfa & eta gamma & delta end {bmatrix}}}$

s determinantem rovným jedné: αδ - βγ = 1. Tato sada tvoří a skupina, protože inverze matice v Γ je opět v Γ, stejně jako součin dvou matic v Γ. Modulární skupina činy na kolekci všech celočíselných spinorů. Dále je skupina tranzitivní na kolekci celočíselných spinorů s relativně prvotřídními položkami. Pro if [m n]^T má tedy relativně nejlepší položky

${displaystyle {egin {bmatrix} m & -v n & uend {bmatrix}} {egin {bmatrix} 1 0end {bmatrix}} = {egin {bmatrix} m nend {bmatrix}}}$

kde u a proti jsou vybrány (pomocí Euklidovský algoritmus ) aby mu + nv = 1.

Působením na spinor ξ v (1), akce Γ přechází na akci na Pythagorovy trojice, za předpokladu, že jedna umožňuje trojky s možnými negativními složkami. Tedy pokud A je tedy matice v Γ

${displaystyle 2 (Axi) (Axi) ^ {T} = AXA ^ {T},}$

(2)

vede k působení na matici X v (1). To nedává přesně definovanou akci na primitivní trojky, protože to může trvat primitivní trojku na neimitativní. V tomto okamžiku je to vhodné (za Trautman 1998 ) zavolat trojnásobný (A,b,C) Standard -li C > 0 a buď (A,b,C) jsou relativně prvotřídní nebo (A/2,b/2,C/ 2) jsou relativně prime s A/ 2 zvláštní. Pokud spinor [m n]^T má relativně hlavní položky, pak přidružený trojitý (A,b,C) určeno (1) je standardní trojitá. Z toho vyplývá, že působení modulární skupiny je tranzitivní na množině standardních trojic.

Případně omezte pozornost na tyto hodnoty m a n pro který m je liché a n je sudý. Nech podskupina Γ (2) z Γ být jádro z skupinový homomorfismus

${displaystyle Gamma = mathrm {SL} (2, mathbf {Z}) o mathrm {SL} (2, mathbf {Z} _ {2})}$

kde SL (2,Z₂) je speciální lineární skupina přes konečné pole Z₂ z celá čísla modulo 2. Pak Γ (2) je skupina unimodulárních transformací, které zachovávají paritu každé položky. Pokud je tedy první položka odd lichá a druhá položka sudá, pak totéž platí Aξ pro všechny A ∈ Γ (2). Ve skutečnosti v rámci akce (2), skupina Γ (2) působí přechodně na sbírku primitivních trojčat Pythagoreanů (Alperin 2005 ).

Skupina Γ (2) je volná skupina jejichž generátory jsou matice

${displaystyle U = {egin {bmatrix} 1 & 2 0 & 1end {bmatrix}}, qquad L = {egin {bmatrix} 1 & 0 2 & 1end {bmatrix}}.}$

V důsledku toho lze každý primitivní pythagorovský trojnásobek získat jedinečným způsobem jako produkt kopií matic U aL.

Vztahy rodič / dítě

Výsledkem Berggren (1934), všechny primitivní Pythagorovy trojice lze vygenerovat z (3, 4, 5) trojúhelníku pomocí tří lineární transformace T₁, T₂, T₃ níže, kde A, b, C jsou strany trojitého:

Jinými slovy, každá primitivní trojice bude „rodičem“ tří dalších primitivních trojic. Počínaje počátečním uzlem s A = 3, b = 4 a C = 5, operace T₁ vyrábí nový triple

(3 − (2×4) + (2×5), (2×3) − 4 + (2×5), (2×3) − (2×4) + (3×5)) = (5, 12, 13),

a podobně T₂ a T₃ vyrobit trojnásobek (21, 20, 29) a (15, 8, 17).

Lineární transformace T₁, T₂a T₃ mít geometrický výklad v jazyce kvadratické formy. Jsou úzce spjaty s (ale nerovnají se) odrazy generující ortogonální skupina z X² + y² − z² přes celá čísla.^[28]

Vztah k Gaussovým celým číslům

Alternativně lze Euklidovy vzorce analyzovat a dokázat pomocí Gaussova celá čísla.^[29] Gaussova celá čísla jsou komplexní čísla formuláře α = u + vi, kde u a proti jsou obyčejné celá čísla a i je druhá odmocnina záporné. The Jednotky Gaussových celých čísel jsou ± 1 a ± i. Obyčejná celá čísla se nazývají racionální celá čísla a označeno jako Z. Gaussova celá čísla jsou označena jako Z[i]. Pravá strana Pythagorova věta může být zohledněno v Gaussových celých číslech:

${displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} = (a + bi) {overline {(a + bi)}} = (a + bi) (a-bi).}$

Primitivní pythagorejský trojnásobek je ten, ve kterém A a b jsou coprime tj. nesdílejí v celých číslech žádné hlavní faktory. Pro takovou trojku A nebo b je sudý a druhý lichý; z toho vyplývá, že C je také zvláštní.

Tyto dva faktory z := A + bi a z * := A − bi primitivního pythagorovského trojnásobku, z nichž každý se rovná čtverci gaussovského celého čísla. To lze dokázat pomocí vlastnosti, že každé Gaussovo celé číslo lze jednoznačně započítat do Gaussových prvočísel až do Jednotky.^[30] (Tato jedinečná faktorizace vyplývá ze skutečnosti, že zhruba řečeno, verze Euklidovský algoritmus lze na nich definovat.) Důkaz má tři kroky. Nejprve, pokud A a b nesdílejí žádné primární faktory v celých číslech, pak také nesdílejí žádné primární faktory v celých číslech Gaussian. (Převzít A = gu a b = gv s Gaussovými celými čísly G, u a proti a G není jednotka. Pak u a proti leží na stejné linii počátkem. Všechna Gaussova celá čísla na takovém řádku jsou celočíselnými násobky nějakého Gaussova celého čísla h. Ale pak celé číslo gh ≠ ± 1 rozděluje oba A a b.) Zadruhé z toho vyplývá z a z * rovněž nesdílí žádné hlavní faktory v Gaussových celých číslech. Pokud by tomu tak bylo, pak by se také rozdělil jejich společný dělitel δ z + z * = 2A a z − z * = 2ib. Od té doby A a b jsou coprime, to znamená, že δ dělí 2 = (1 + i) (1 - i) = i (1 - i)². Ze vzorce C² = zz *, což by zase znamenalo, že C je dokonce, na rozdíl od hypotézy primitivního Pytagorovy trojky. Zatřetí, protože C² je čtverec, každé Gaussovo prvočíslo ve své faktorizaci se zdvojnásobí, tj. objeví se sudý počet opakování. Od té doby z a z * nesdílejí žádné hlavní faktory, toto zdvojnásobení platí i pro ně. Proto, z a z * jsou čtverce.

Tudíž lze zapsat první faktor

${displaystyle a + bi = varepsilon left (m + niight) ^ {2}, quad varepsilon in {pm 1, pm i}.}$

Skutečná a imaginární část této rovnice dává dva vzorce:

${displaystyle {egin {cases} varepsilon = + 1, & quad a = + left (m ^ {2} -n ^ {2} ight), quad b = + 2mn; varepsilon = -1, & quad a = -left ( m ^ {2} -n ^ {2} ight), quad b = -2mn; varepsilon = + i, & quad a = -2mn, quad b = + left (m ^ {2} -n ^ {2} ight ); varepsilon = -i, & quad a = + 2mn, quad b = -left (m ^ {2} -n ^ {2} ight) .end {cases}}}$

U každé primitivní trojice Pythagorean musí existovat celá čísla m a n tak, aby byly splněny tyto dvě rovnice. Z každé volby těchto celých čísel tedy může být generován každý pythagorovský trojnásobek.

Jako dokonalá čtvercová Gaussova celá čísla

Pokud vezmeme v úvahu druhou mocninu Gaussova celého čísla, dostaneme následující přímou interpretaci Euklidova vzorce jako reprezentující dokonalý čtverec Gaussovského celého čísla.

${displaystyle (m + ni) ^ {2} = (m ^ {2} -n ^ {2}) + 2 miliony.}$

Použitím faktů, že Gaussova celá čísla jsou euklidovskou doménou a že pro Gaussovo celé číslo p ${displaystyle | p | ^ {2}}$ je vždy čtverec, je možné ukázat, že Pythagorova trojice odpovídá čtverci prvního Gaussova čísla, pokud je přepona primární.

Pokud Gaussovo celé číslo není prvočíslo, pak je to součin dvou gaussovských celých čísel p a q s ${displaystyle | p | ^ {2}}$ a ${displaystyle | q | ^ {2}}$ celá čísla. Jelikož se veličiny množí v Gaussových celých číslech, součin musí být ${displaystyle | p || q |}$, který, když na druhou najdete pythagorovskou trojku, musí být složený. Kontrapozitiv doplňuje důkaz.

Vztah k elipsám s integrálními rozměry

Vztah mezi Pythagorovými trojicemi a elipsami s integrální lineární výstředností a hlavní a vedlejší osou, pro první 3 Pythagorovy trojice

S odkazem na obrázek a definici ohniska elipsy, F₁ a F₂, pro libovolný bod P na elipsě, F₁P + PF₂ je konstantní.

Protože oba body A a B jsou na elipsě, F₁A + AF₂ = F₁B + BF₂. Kvůli symetrii, F₁A + AF₂ = F₂A '+ AF₂ = AA '= 2 AC a F₁B + BF₂ = 2 BF₂. Proto AC = BF₂.

Pokud tedy BCF₂ je pravoúhlý trojúhelník s integrálními stranami, oddělení ohnisek, lineární výstřednost, vedlejší osa a hlavní osa jsou také celá čísla.^[31]

Rozdělení trojic

A bodový diagram nohou (A,b) prvních Pythagorejců se ztrojnásobí A a b méně než 4500.

Existuje celá řada výsledků o distribuci Pythagorovských trojic. V bodovém grafu je již zřejmá řada zřejmých vzorů. Kdykoli nohy (A,b) primitivní trojice se objeví na grafu, všechny celočíselné násobky (A,b) se také musí objevit na grafu a tato vlastnost vytváří v grafu vzhled čar vyzařujících z počátku.

V rozptylu jsou sady parabolický vzory s vysokou hustotou bodů a všemi jejich ohnisky na počátku, otevírající se ve všech čtyřech směrech. Různé paraboly se protínají v osách a vypadají, že se odrážejí od osy s úhlem dopadu 45 stupňů, přičemž třetí parabola vstupuje kolmo. V tomto kvadrantu ukazuje každý oblouk soustředěný na počátek tu část paraboly, která leží mezi jejím hrotem a jeho průsečíkem s jeho semi-latus rectum.

Tyto vzorce lze vysvětlit následovně. Li ${displaystyle a ^ {2} / 4n}$ je celé číslo, pak (A, ${displaystyle | n-a ^ {2} / 4n |}$, ${displaystyle n + a ^ {2} / 4n}$) je Pythagorova trojka. (Ve skutečnosti každý Pythagorejský trojnásobek (A, b, C) lze zapsat tímto způsobem s celým číslem n, možná po výměně A a b, od té doby ${displaystyle n = (b + c) / 2}$ a A a b nemohou být oba liché.) Pythagorovy trojice tedy leží na křivkách daných ${displaystyle b = | n-a ^ {2} / 4n |}$, tj. paraboly odražené na A-osa a odpovídající křivky s A a b zaměnit. Li A se pro danou věc mění n (tj. na dané parabole), celočíselné hodnoty b vyskytují se relativně často, pokud n je čtverec nebo malý násobek čtverce. Pokud několik takových hodnot leží blízko u sebe, odpovídající paraboly se přibližně shodují a trojice se shlukují v úzkém parabolickém pásu. Například 38² = 1444, 2 × 27² = 1458,3 × 22² = 1452, 5 × 17² = 1445 a 10 × 12² = 1440; odpovídající parabolický proužek kolem n ≈ 1450 je jasně vidět na bodovém grafu.

Výše popsané úhlové vlastnosti bezprostředně vyplývají z funkční formy paraboly. Paraboly se odrážejí na A- osa v A = 2na derivát b s ohledem na A v tomto okamžiku je –1; tedy úhel dopadu je 45 °. Vzhledem k tomu, že shluky, stejně jako všechny trojice, se opakují v celočíselných násobcích, hodnota 2n odpovídá také klastru. Odpovídající parabola protíná b-osa v pravém úhlu na b = 2n, a tedy jeho odraz při výměně A a b protíná A-osa v pravém úhlu na A = 2n, přesně tam, kde je parabola n se odráží na A-osa. (Totéž samozřejmě platí pro A a b zaměnit.)

Albert Fässler a další poskytují poznatky o významu těchto paraboly v kontextu konformních mapování.^[32][33]

Speciální případy a související rovnice

Platónská sekvence

Pouzdro n = 1 obecnější konstrukce pythagorovských trojic je známa již dlouho. Proclus, ve svém komentáři k 47. návrh první knihy Euklidovy prvky, popisuje to takto:

Jsou předávány určité metody pro objevování trojúhelníků tohoto druhu, z nichž jednu odkazují na Platóna a druhou na Pythagoras. (Ten druhý) začíná od lichých čísel. Protože to dělá liché číslo menší ze stran kolem pravého úhlu; pak to vezme druhou mocninu, odečte jednotu a udělá polovinu rozdílu, tím větší ze stran bude mít pravý úhel; Nakonec tomu dodává jednotu a tvoří tak zbývající stranu, přeponu.
... Metoda Platóna argumentuje sudými čísly. Vezme dané sudé číslo a udělá z něj jednu ze stran v pravém úhlu; potom rozdělí toto číslo a druhou mocninu na druhou, přidá jednotu čtverci k vytvoření přepony a odečte jednotu od čtverce k vytvoření druhé strany kolem pravého úhlu. ... Vytvořil tedy stejný trojúhelník, jaký byl získán jinou metodou.

Ve formě rovnice se to stane:

A je liché (Pythagoras, asi 540 př. n.l.):

${displaystyle {ext {side}} a: {ext {side}} b = {a ^ {2} -1 nad 2}: {ext {side}} c = {a ^ {2} +1 nad 2}. }$

A je sudé (Platón, asi 380 př. n.l.):

${displaystyle {ext {side}} a: {ext {side}} b = left ({a over 2} ight) ^ {2} -1: {ext {side}} c = left ({a over 2} ight ) ^ {2} +1}$

Je možné ukázat, že všechny Pythagorovy trojice lze získat s příslušným změnou měřítka ze základní platonické sekvence (A, (A² − 1)/2 a (A² + 1)/2) povolením A vzít non-integer racionální hodnoty. Li A je nahrazen zlomkem m/n v pořadí se výsledek rovná „standardnímu“ trojitému generátoru (2mn, m² − n²,m² + n²) po změně měřítka. Z toho vyplývá, že každá trojice má odpovídající racionálnost A hodnota, kterou lze použít ke generování a podobný triangle (one with the same three angles and with sides in the same proportions as the original). For example, the Platonic equivalent of (56, 33, 65) is generated by A = m/n = 7/4 as (A, (A² –1)/2, (A²+1)/2) = (56/32, 33/32, 65/32). The Platonic sequence itself can be derived^{[je zapotřebí objasnění ]} by following the steps for 'splitting the square' described in Diophantus II.VIII.

The Jacobi–Madden equation

The equation,

${displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=(a+b+c+d)^{4}}$

is equivalent to the special Pythagorean triple,

${displaystyle (a^{2}+ab+b^{2})^{2}+(c^{2}+cd+d^{2})^{2}=((a+b)^{2}+(a+b)(c+d)+(c+d)^{2})^{2}}$

There is an infinite number of solutions to this equation as solving for the variables involves an eliptická křivka. Small ones are,

${displaystyle a,b,c,d=-2634,955,1770,5400}$

${displaystyle a,b,c,d=-31764,7590,27385,48150}$

Equal sums of two squares

One way to generate solutions to ${displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2}}$ is to parametrize a, b, c, d in terms of integers m, n, p, q jak následuje:^[34]

${displaystyle (m^{2}+n^{2})(p^{2}+q^{2})=(mp-nq)^{2}+(np+mq)^{2}=(mp+nq)^{2}+(np-mq)^{2}.}$

Equal sums of two fourth powers

Given two sets of Pythagorean triples,

${displaystyle (a^{2}-b^{2})^{2}+(2ab)^{2}=(a^{2}+b^{2})^{2}}$

${displaystyle (c^{2}-d^{2})^{2}+(2cd)^{2}=(c^{2}+d^{2})^{2}}$

the problem of finding equal products of a non-hypotenuse side and the hypotenuse,

${displaystyle (a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2})=(c^{2}-d^{2})(c^{2}+d^{2})}$

is easily seen to be equivalent to the equation,

${displaystyle a^{4}-b^{4}=c^{4}-d^{4}}$

and was first solved by Euler as ${displaystyle a,b,c,d=133,59,158,134}$. Since he showed this is a rational point in an eliptická křivka, then there is an infinite number of solutions. In fact, he also found a 7th degree polynomial parameterization.

Descartes' Circle Theorem

Pro případ Descartes' circle theorem where all variables are squares,

${displaystyle 2(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})=(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}}$

Euler showed this is equivalent to three simultaneous Pythagorean triples,

${displaystyle (2ab)^{2}+(2cd)^{2}=(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}}$

${displaystyle (2ac)^{2}+(2bd)^{2}=(a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2})^{2}}$

${displaystyle (2ad)^{2}+(2bc)^{2}=(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})^{2}}$

There is also an infinite number of solutions, and for the special case when ${displaystyle a+b=c}$, then the equation simplifies to,

${displaystyle 4(a^{2}+ab+b^{2})=d^{2}}$

with small solutions as ${displaystyle a,b,c,d=3,5,8,14}$ and can be solved as binary quadratic forms.

Almost-isosceles Pythagorean triples

No Pythagorean triples are rovnoramenný, because the ratio of the hypotenuse to either other side is √2, ale √2 cannot be expressed as the ratio of 2 integers.

There are, however, right-angled triangles with integral sides for which the lengths of the non-hypotenuse sides differ by one, such as,

${displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}}$

${displaystyle 20^{2}+21^{2}=29^{2}}$

and an infinite number of others. They can be completely parameterized as,

${displaystyle left({ frac {x-1}{2}}ight)^{2}+left({ frac {x+1}{2}}ight)^{2}=y^{2}}$

where {x, y} are the solutions to the Pellova rovnice ${displaystyle x^{2}-2y^{2}=-1}$.

Li A, b, C are the sides of this type of primitive Pythagorean triple (PPT) then the solution to the Pell equation is given by the recursive formula

${displaystyle a_{n}=6a_{n-1}-a_{n-2}+2}$ s ${displaystyle a_{1}=3}$ a ${displaystyle a_{2}=20}$

${displaystyle b_{n}=6b_{n-1}-b_{n-2}-2}$ s ${displaystyle b_{1}=4}$ a ${displaystyle b_{2}=21}$

${displaystyle c_{n}=6c_{n-1}-c_{n-2}}$ s ${displaystyle c_{1}=5}$ a ${displaystyle c_{2}=29}$.^[35][36]

This sequence of PPTs forms the central stem (trunk) of the rooted ternary tree of PPTs.

When it is the longer non-hypotenuse side and hypotenuse that differ by one, such as in

${displaystyle 5^{2}+12^{2}=13^{2}}$

${displaystyle 7^{2}+24^{2}=25^{2}}$

then the complete solution for the PPT A, b, C je

${displaystyle a=2m+1,quad b=2m^{2}+2m,quad c=2m^{2}+2m+1}$

a

${displaystyle (2m+1)^{2}+(2m^{2}+2m)^{2}=(2m^{2}+2m+1)^{2}}$

where integer ${displaystyle m>0}$ is the generating parameter.

It shows that all odd numbers (greater than 1) appear in this type of almost-isosceles PPT. This sequence of PPTs forms the right hand side outer stem of the rooted ternary tree of PPTs.

Another property of this type of almost-isosceles PPT is that the sides are related such that

${displaystyle a^{b}+b^{a}=Kc}$

pro celé číslo ${displaystyle K}$. Or in other words ${displaystyle a^{b}+b^{a}}$ je dělitelné ${displaystyle c}$ například v

${displaystyle (5^{12}+12^{5})/13=18799189}$.^[37]

Fibonacci numbers in Pythagorean triples

Starting with 5, every second Fibonacciho číslo is the length of the hypotenuse of a right triangle with integer sides, or in other words, the largest number in a Pythagorean triple. The length of the longer leg of this triangle is equal to the sum of the three sides of the preceding triangle in this series of triangles, and the shorter leg is equal to the difference between the preceding bypassed Fibonacci number and the shorter leg of the preceding triangle.

Zobecnění

There are several ways to generalize the concept of Pythagorean triples.

Pytagorejský n-tuple

Using the simple algebraic identity,

${displaystyle (x_{1}^{2}-x_{0})^{2}+(2x_{1})^{2}x_{0}=(x_{1}^{2}+x_{0})^{2}}$

for arbitrary X₀, X₁, it is easy to prove that the square of the sum of n squares is itself the sum of n squares by letting X₀ = X₂² + X₃² + ... + X_n² and then distributing terms.^[38] One can see how Pythagorean triples and quadruples are just the particular cases X₀ = X₂² a X₀ = X₂² + X₃², respectively, and so on for other n, with quintuples given by

${displaystyle (a^{2}-b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}+(2ab)^{2}+(2ac)^{2}+(2ad)^{2}=(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}.}$

Since the sum F(k,m) z k consecutive squares beginning with m² is given by the formula,^[39]

${displaystyle F(k,m)=km(k-1+m)+{frac {k(k-1)(2k-1)}{6}}}$

one may find values (k, m) so that F(k,m) is a square, such as one by Hirschhorn where the number of terms is itself a square,^[40]

${displaystyle m={ frac {v^{4}-24v^{2}-25}{48}},;k=v^{2},;F(m,k)={ frac {v^{5}+47v}{48}}}$

a proti ≥ 5 is any integer not divisible by 2 or 3. For the smallest case proti = 5, hence k = 25, this yields the well-known cannonball-stacking problem of Lucas,

${displaystyle 0^{2}+1^{2}+2^{2}+dots +24^{2}=70^{2}}$

a fact which is connected to the Mřížka pijavice.

In addition, if in a Pythagorean n-tuple (n ≥ 4) all doplňuje are consecutive except one, one can use the equation,^[41]

${displaystyle F(k,m)+p^{2}=(p+1)^{2}}$

Since the second power of p cancels out, this is only linear and easily solved for as ${displaystyle p={ frac {F(k,m)-1}{2}}}$ ačkoli k, m by měl být zvolen tak, aby p is an integer, with a small example being k = 5, m = 1 yielding,

${displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+27^{2}=28^{2}}$

Thus, one way of generating Pythagorean n-tuples is by using, for various X,^[42]

${displaystyle x^{2}+(x+1)^{2}+cdots +(x+q)^{2}+p^{2}=(p+1)^{2},}$

kde q = n–2 and where

${displaystyle p={frac {(q+1)x^{2}+q(q+1)x+{frac {q(q+1)(2q+1)}{6}}-1}{2}}.}$

Pythagorean quadruple

A set of four positive integers A, b, C a d takhle A² + b²+ C² = d² se nazývá a Pythagorean quadruple. The simplest example is (1, 2, 2, 3), since 1² + 2² + 2² = 3². The next simplest (primitive) example is (2, 3, 6, 7), since 2² + 3² + 6² = 7².

All quadruples are given by the formula

${displaystyle (m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2})^{2}+(2mq+2np)^{2}+(2nq-2mp)^{2}=(m^{2}+n^{2}+p^{2}+q^{2})^{2}.}$

Fermatova poslední věta

A generalization of the concept of Pythagorean triples is the search for triples of positive integers A, b, a C, takový, že Aⁿ + bⁿ = Cⁿ, for some n strictly greater than 2. Pierre de Fermat in 1637 claimed that no such triple exists, a claim that came to be known as Fermatova poslední věta because it took longer than any other conjecture by Fermat to be proven or disproven. První důkaz poskytl Andrew Wiles v roce 1994.

n − 1 or n nth powers summing to an nth síla

Another generalization is searching for sequences of n + 1 positive integers for which the nth power of the last is the sum of the nth powers of the previous terms. The smallest sequences for known values of n jsou:

• n = 3: {3, 4, 5; 6}.
• n = 4: {30, 120, 272, 315; 353}
• n = 5: {19, 43, 46, 47, 67; 72}
• n = 7: {127, 258, 266, 413, 430, 439, 525; 568}
• n = 8: {90, 223, 478, 524, 748, 1088, 1190, 1324; 1409}

Pro n=3 case, in which ${displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=w^{3},}$ volal Fermat cubic, a general formula exists giving all solutions.

A slightly different generalization allows the sum of (k + 1) nth powers to equal the sum of (n − k) nth síly. Například:

• (n = 3): 1³ + 12³ = 9³ + 10³, made famous by Hardy's recollection of a conversation with Ramanujan about the number 1729 being the smallest number that can be expressed as a sum of two cubes in two distinct ways.

There can also exist n − 1 positive integers whose nth powers sum to an nth power (though, by Fermatova poslední věta, not for n = 3); these are counterexamples to Eulerův součet sil dohad. The smallest known counterexamples are^[43][44][14]

• n = 4: (95800, 217519, 414560; 422481)
• n = 5: (27, 84, 110, 133; 144)

Heronian triangle triples

A Heronian triangle is commonly defined as one with integer sides whose area is also an integer, and we shall consider Heronian triangles with odlišný integer sides. The lengths of the sides of such a triangle form a Heronian triple (a, b, c) provided A < b < C.Clearly, any Pythagorean triple is a Heronian triple, since in a Pythagorean triple at least one of the legs A, b must be even, so that the area ab/2 is an integer. Not every Heronian triple is a Pythagorean triple, however, as the example (4, 13, 15) with area 24 shows.

Pokud (A, b, C) is a Heronian triple, so is (ma, mb, mc) kde m is any positive integer greater than one.The Heronian triple (A, b, C) je primitivní pokud A, b, C are pairwise relatively prime (as with a Pythagorean triple). Here are a few of the simplest primitive Heronian triples that are not Pythagorean triples:

(4, 13, 15) with area 24

(3, 25, 26) with area 36

(7, 15, 20) with area 42

(6, 25, 29) with area 60

(11, 13, 20) with area 66

(13, 14, 15) with area 84

(13, 20, 21) with area 126

Podle Heronův vzorec, the extra condition for a triple of positive integers (A, b, C) s A < b < C to be Heronian is that

(A² + b² + C²)² − 2(A⁴ + b⁴ + C⁴)

nebo ekvivalentně

2(A²b² + A²C² + b²C²) − (A⁴ + b⁴ + C⁴)

be a nonzero perfect square divisible by 16.

Application to cryptography

Primitive Pythagorean triples have been used in cryptography as random sequences and for the generation of keys.^[45]

Viz také

Poznámky

Reference

• Alperin, Roger C. (2005), "The modular tree of Pythagoras" (PDF), Americký matematický měsíčník, 112 (9): 807–816, CiteSeerX  10.1.1.112.3085, doi:10.2307/30037602, JSTOR  30037602, PAN  2179860
• Berggren, B. (1934), "Pytagoreiska trianglar", Tidskrift för Elementär Matematik, Fysik och Kemi (in Swedish), 17: 129–139
• Barning, F.J.M. (1963), "Over pythagorese en bijna-pythagorese driehoeken en een generatieproces met behulp van unimodulaire matrices" (PDF), Matematika. Centrum Amsterdam Afd. Zuivere Wisk. (in Dutch), ZW-011: 37
• Eckert, Ernest (1992), "Primitive Pythagorean triples", The College Mathematics Journal, 23 (5): 413–417, doi:10.2307/2686417, JSTOR  2686417
• Elkies, Noam, Pythagorean triples and Hilbert's theorem 90 (PDF)
• Heath, Thomas (1956), The Thirteen Books of Euclid's Elements Vol. 1 (Books I and II) (2. vyd.), Dover Publications, ISBN  978-0-486-60088-8
• Long, Calvin T. (1972), Základní úvod do teorie čísel (2. vyd.), Lexington: D. C. Heath a společnost, LCCN  77171950
• Martin, Artemas (1875), "Rational right angled triangles nearly isosceles", Analytik, 3 (2): 47–50, doi:10.2307/2635906, JSTOR  2635906
• McCullough, Darryl (2005), "Height and excess of Pythagorean triples" (PDF), Matematický časopis, 78 (1): 26–44, doi:10.1080/0025570X.2005.11953298, S2CID  1701449
• Romik, Dan (2008), "The dynamics of Pythagorean triples" (PDF), Trans. Amer. Matematika. Soc., 360 (11): 6045–6064, arXiv:math.DS/0406512, doi:10.1090/S0002-9947-08-04467-X, PAN  2425702
• Teigen, M.G.; Hadwin, D.W. (1971), "On Generating Pythagorean Triples", Americký matematický měsíčník, 78 (4): 378–379, doi:10.2307/2316903, JSTOR  2316903
• Trautman, Andrzej (1998), "Pythagorean spinors and Penrose twistors", in S.A. Hugget; L.J. Mason; K.P. Tod; SVATÝ. Tsou; N.M.J. Woodhouse (eds.), Geometric universe (Postscript)

externí odkazy

• Clifford Algebras and Euclid's Parameterization of Pythagorean triples
• Curious Consequences of a Miscopied Quadratic
• Discussion of Properties of Pythagorean triples, Interactive Calculators, Puzzles and Problems
• Generating Pythagorean Triples Using Arithmetic Progressions
• "Pythagorean numbers", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Interactive Calculator for Pythagorean Triples
• The negative Pell equation and Pythagorean triples
• Parameterization of Pythagorean Triples by a single triple of polynomials
• Price, H. Lee (2008), "The Pythagorean Tree: A New Species", arXiv:0809.4324 [matematika ]
• Pythagorean Triples and the Unit Circle, kap. 2–3, in "A Friendly Introduction to Number Theory " by Joseph H. Silverman, 3rd ed., 2006, Pearson Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, ISBN  0-13-186137-9
• Pythagorean Triples na cut-the-uzel Interactive Applet showing unit circle relationships to Pythagorean Triples
• Pythagorean Triplets
• The Remarkable Incircle of a Triangle
• Solutions to Quadratic Compatible Pairs in relation to Pythagorean Triples
• Theoretical properties of the Pythagorean Triples and connections to geometry
• The Trinary Tree(s) underlying Primitive Pythagorean Triples na cut-the-uzel
• Weisstein, Eric W. "Pythagorean Triple". MathWorld.