Prime gap - Prime gap

Prime gap rozdělení frekvence pro prvočísla až 1,6 miliardy. Vrcholy se vyskytují v násobcích 6.^[1]

A hlavní mezera je rozdíl mezi dvěma po sobě jdoucími prvočísla. The n-tá hlavní mezera, označená G_n nebo G(p_n) je rozdíl mezi (n + 1) -th an-tá prvočísla, tj.

${displaystyle g_ {n} = p_ {n + 1} -p_ {n}. }$

My máme G₁ = 1, G₂ = G₃ = 2 a G₄ = 4. The sekvence (G_n) hlavních mezer byl rozsáhle studován; mnoho otázek a domněnek však zůstává nezodpovězeno.

Prvních 60 hlavních mezer je:

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14, 4, 6, 2, 10, 2, 6, 6, 4, 6, 6, 2, 10, 2, 4, 2, 12, 12, 4, 2, 4, 6, 2, 10, 6, 6, 6, 2, 6, 4, 2, ... (sekvence A001223 v OEIS ).

Podle definice G_n každé prvočíslo lze zapsat jako

${displaystyle p_ {n + 1} = 2 + součet _ {i = 1} ^ {n} g_ {i}.}$

Jednoduchá pozorování

První, nejmenší a pouze lichá prvočíslo je mezera velikosti 1 mezi 2, jediným sudým prvočíslem a 3, první liché prvočíslo. Všechny ostatní hlavní mezery jsou sudé. Existuje pouze jeden pár po sobě jdoucích mezer s délkou 2: mezery G₂ a G₃ mezi prvočísly 3, 5 a 7.

Pro jakékoli celé číslo n, faktoriál n! je produkt všech kladných celých čísel do a včetně n. Pak v pořadí

${displaystyle n! + 2, n! + 3, ldots, n! + n}$

první člen je dělitelný 2, druhý člen je dělitelný 3 atd. Jedná se tedy o posloupnost n − 1 po sobě jdoucí složená celá čísla a musí patřit do mezery mezi prvočísly, která mají alespoň délku n. Z toho vyplývá, že mezi prvočísly existují mezery, které jsou libovolně velké, tj. Pro jakékoli celé číslo N, existuje celé číslo m s G_m ≥ N.

Hlavní mezery však n čísla se mohou vyskytovat u čísel mnohem menších než n!. Například první primární mezera o velikosti větší než 14 nastane mezi prvočísly 523 a 541, zatímco 15! je mnohem větší číslo 1307674368000.

Průměrný rozdíl mezi prvočísly se zvyšuje s přirozený logaritmus celého čísla, a proto poměr primární mezery k celým celým číslům klesá (a je asymptoticky nulový). To je důsledek věta o prvočísle. Z heuristického pohledu očekáváme pravděpodobnost, že poměr délky mezery k přirozenému logaritmu je větší nebo roven pevnému kladnému číslu k být E^−k; v důsledku toho může být poměr libovolně velký. Poměr mezery k počtu číslic příslušných celých čísel se ve skutečnosti zvyšuje bez vazby. Je to důsledek výsledku Westzynthia.^[2]

V opačném směru je dvojče hlavní domněnka předpokládá to G_n = 2 pro nekonečně mnoho celých čísel n.

Numerické výsledky

Obvykle poměr z G_n / ln (p_n) se nazývá zásluhy mezery G_n . Od září 2017^{[Aktualizace]}, největší známá hlavní mezera s identifikovanou pravděpodobný prime konce mezer mají délku 6582144 a Martin Raab našel 216841-místná pravděpodobná prvočísla.^[3] Tato mezera má své opodstatnění M = 13,1829. Největší známá primární mezera s identifikovanými osvědčenými prvočísly jako konce mezery má délku 1113106 a zaslouží si 25,90, přičemž 18662-místná prvočísla nalezli P. Cami, M. Jansen a J. K. Andersen.^[4][5]

Od prosince 2017^{[Aktualizace]}, největší známá hodnota zásluh a první se zásluhami nad 40, jak zjistil Gapcoiny network, is 41.93878373 with the 87-digit prime 293703234068022590158723766104419463425709075574811762098588798217895728858676728143227. Prime gap mezi ním a next prime je 8350.^[6]

Poměr Cramér – Shanks – Granville je poměr G_n / (ln (p_n))².^[6] Pokud zahodíme anomálně vysoké hodnoty poměru pro prvočísla 2, 3, 7, pak největší známá hodnota tohoto poměru je 0,9206386 pro prvočíslo 1693182318746371. Další rekordní výrazy najdete na OEIS: A111943.

Říkáme to G_n je maximální mezera, pokud G_m < G_n pro všechny m < nOd srpna 2018^{[Aktualizace]} největší známá maximální primární mezera má délku 1550, kterou našel Bertil Nyman. Je to 80. maximální mezera a nastává po prvopočátku 18361375334787046697.^[10] Další rekordní (maximální) velikosti mezery naleznete v OEIS: A005250, s odpovídajícími prvočísly p_n v OEIS: A002386a hodnoty n v OEIS: A005669.

Další výsledky

Horní hranice

Bertrandův postulát, prokázáno v roce 1852, uvádí, že mezi nimi je vždy prvočíslo k a 2k, tedy zejména p_n+1 < 2p_n, což znamená G_n < p_n.

The věta o prvočísle, prokázáno v roce 1896, říká, že průměrná délka mezery mezi prvočíslem p a další prvočíslo se asymptoticky přiblíží ln (p) pro dostatečně velká prvočísla. Skutečná délka mezery může být mnohem větší či menší než tato. Lze však odvodit z věty o prvočísle horní mez na délce mezer v prvočíslech:

Pro každého ${displaystyle epsilon> 0}$, existuje číslo ${displaystyle N}$ takové, že pro všechny ${displaystyle n> N}$

${displaystyle g_ {n}$.

Lze také odvodit, že mezery se libovolně zmenšují v poměru k prvočíslům: kvocientu

${displaystyle lim _ {n o infty} {frac {g_ {n}} {p_ {n}}} = 0.}$

Hoheisel (1930) byl první, kdo ukázal^[11] že existuje konstanta θ <1 taková, že

${displaystyle pi (x + x ^ {heta}) - pi (x) sim {frac {x ^ {heta}} {log (x)}} {ext {as}} x o infty,}$

proto to ukazuje

${displaystyle g_ {n}$

pro dostatečně velký  n.

Hoheisel získal možnou hodnotu 32999/33000 pro θ. Toto bylo vylepšeno na 249/250 Heilbronn,^[12] a na θ = 3/4 + ε, pro libovolné ε> 0, o Chudakov.^[13]

Hlavní zlepšení je způsobeno Ingham,^[14] který to ukázal pro nějakou pozitivní konstantu C, pokud

${displaystyle zeta (1/2 + it) = O (t ^ {c}),}$ pak ${displaystyle pi (x + x ^ {heta}) - pi (x) sim {frac {x ^ {heta}} {log (x)}}}$ pro všechny ${displaystyle heta> (1 + 4c) / (2 + 4c).}$

Tady, Ó Odkazuje na velká O notace, ζ označuje Funkce Riemann zeta a π the funkce počítání prvočísel. To vím C > 1/6 je přípustná, získá se, že θ může být jakékoli číslo větší než 5/8.

Okamžitým důsledkem výsledku Ingham je, že mezi nimi je vždy prvočíslo n³ a (n + 1)³, pokud n je dostatečně velká.^[15] The Lindelöfova hypotéza by znamenalo, že Inghamův vzorec platí C jakékoli kladné číslo: ale ani to by nestačilo na to, že by mezi nimi bylo prvočíslo n² a (n + 1)² pro n dostatečně velký (viz Legendrova domněnka ). Chcete-li to ověřit, silnější výsledek, jako je Cramérova domněnka bude potřeba.

Huxley v roce 1972 ukázal, že je možné zvolit θ = 7/12 = 0,58 (3).^[16]

Výsledek, kvůli Bakerovi, Harman a Pintz v roce 2001 ukazuje, že θ lze považovat za 0,525.^[17]

V roce 2005 Daniel Goldston, János Pintz a Cem Yıldırım dokázal to

${displaystyle liminf _ {n o infty} {frac {g_ {n}} {log p_ {n}}} = 0}$

a o 2 roky později to vylepšili^[18] na

${displaystyle liminf _ {n o infty} {frac {g_ {n}} {{sqrt {log p_ {n}}} (log log p_ {n}) ^ {2}}}$

V roce 2013, Yitang Zhang dokázal to

${displaystyle liminf _ {n o infty} g_ {n} <7cdot 10 ^ {7},}$

což znamená, že existuje nekonečně mnoho mezer, které nepřesahují 70 milionů.^[19] A Polymath Project společným úsilím o optimalizaci vazby společnosti Zhang se 20. července 2013 podařilo snížit hranici na 4680.^[20] V listopadu 2013 James Maynard představil nové upřesnění síta GPY, které mu umožnilo snížit vázaný objem na 600 a ukázat, že pro všechny m existuje ohraničený interval s nekonečným počtem překladů, z nichž každý obsahuje m prvočísla.^[21] Použitím Maynardových nápadů zlepšil projekt Polymath vazbu na 246;^[20][22] za předpokladu, že Domněnka Elliott – Halberstam a jeho zobecněná forma, N bylo sníženo na 12, respektive 6.^[20]

Dolní hranice

V roce 1931 Erik Westzynthius dokázal, že maximální hlavní mezery rostou více než logaritmicky. To znamená,^[2]

${displaystyle limsup _ {n o infty} {frac {g_ {n}} {log p_ {n}}} = infty.}$

V roce 1938 Robert Rankin prokázal existenci konstanty C > 0 takové, že nerovnost

${displaystyle g_ {n}> {frac {clog nlog log nlog log log log n} {(log log log n) ^ {2}}}}$

platí pro nekonečně mnoho hodnot n, zlepšení výsledků Westzynthius a Paul Erdős. Později ukázal, že je možné vzít jakoukoli konstantu C < E^y, kde γ je Euler – Mascheroniho konstanta. Hodnota konstanty C byla v roce 1997 vylepšena na hodnotu nižší než 2E^y.^[23]

Paul Erdős nabídl cenu 10 000 $ za důkaz nebo vyvrácení této konstanty C ve výše uvedeném může být nerovnost považována za libovolně velkou.^[24] V roce 2014 se to ukázalo jako správné společností Ford – Green – Konyagin – Tao a nezávisle na tom James Maynard.^[25][26]

Výsledek byl dále vylepšen na

${displaystyle g_ {n}> {frac {clog nlog log nlog log log log n} {log log log n}}}$

pro nekonečně mnoho hodnot n autor: Ford – Green – Konyagin – Maynard – Tao.^[27]

V duchu Erdősovy původní ceny, Terence Tao nabídl 10 000 USD za důkaz C může být v této nerovnosti považováno za libovolně velké.^[28]

Byly také stanoveny dolní meze řetězců prvočísel.^[29]

Dohady o mezerách mezi prvočísly

Funkce Prime gap

Ještě lepší výsledky jsou možné pod Riemannova hypotéza. Harald Cramér dokázal^[30] že Riemannova hypotéza implikuje mezeru G_n splňuje

${displaystyle g_ {n} = O ({sqrt {p_ {n}}} přihlásit p_ {n}),}$

za použití velká O notace. (Ve skutečnosti tento výsledek potřebuje jen slabší Lindelöfova hypotéza, pokud můžete tolerovat nekonečně menší exponent.^[31]) Později se domníval, že mezery jsou ještě menší. Zhruba řečeno, Cramérova domněnka tvrdí, že

${displaystyle g_ {n} = Oleft ((log p_ {n}) ^ {2} ight).}$

Firoozbakhtova domněnka tvrdí, že ${displaystyle p_ {n} ^ {1 / n}}$ (kde ${displaystyle p_ {n}}$ je nth prime) je striktně klesající funkce n, tj.,

${displaystyle p_ {n + 1} ^ {1 / (n + 1)}$

Pokud je tato domněnka pravdivá, pak funkce ${displaystyle g_ {n} = p_ {n + 1} -p_ {n}}$ splňuje ${displaystyle g_ {n} <(log p_ {n}) ^ {2} -log p_ {n} {ext {pro všechny}} n> 4.}$^[32] Znamená to silnou formu Cramérova domněnky, ale není to v souladu s heuristikou Granville a Pintz^[33][34][35] které tomu nasvědčují ${displaystyle g_ {n}> {frac {2-varepsilon} {e ^ {gamma}}} (přihlásit p_ {n}) ^ {2}}$ nekonečně často pro všechny ${displaystyle varepsilon> 0,}$ kde ${displaystyle gamma}$ označuje Euler – Mascheroniho konstanta.

Mezitím, Oppermannova domněnka je slabší než Cramérova domněnka. Očekávaná velikost mezery s Oppermannovým dohadem je řádově

${displaystyle g_ {n} <{sqrt {p_ {n}}}.}$

Výsledkem je, že podle Oppermannova domněnky - existuje ${displaystyle m}$ (pravděpodobně ${displaystyle m = 30}$) pro které každý přírodní ${displaystyle n> m}$ splňuje ${displaystyle g_ {n} <{sqrt {p_ {n}}}.}$

Andricova domněnka, což je slabší domněnka než u Oppermanna, to tvrdí^[36]

${displaystyle g_ {n} <2 {sqrt {p_ {n}}} + 1.}$

Jedná se o mírné posílení Legendrova domněnka že mezi po sobě jdoucími čtvercovými čísly je vždy prvočíslo.

Polignacova domněnka uvádí, že každé kladné sudé číslo k se vyskytuje jako hlavní mezera nekonečně často. Pouzdro k = 2 je dvojče hlavní domněnka. Domněnka dosud nebyla prokázána ani vyvrácena pro žádnou konkrétní hodnotuk, ale Zhang Yitang Výsledek dokazuje, že platí pro alespoň jednu (aktuálně neznámou) hodnotu k který je menší než 70 000 000; jak je uvedeno výše, tato horní hranice byla vylepšena na 246.

Jako aritmetická funkce

Mezera G_n mezi nth a (n + 1) první prvočísla jsou příkladem aritmetická funkce. V této souvislosti se obvykle označuje d_n a nazval funkci prvočíselného rozdílu.^[36] Funkce není ani jedna multiplikativní ani přísada.

Viz také

• Bonseova nerovnost
• Gaussova příkop
• Twin Prime

Reference

• Guy, Richard K. (2004). Nevyřešené problémy v teorii čísel (3. vyd.). Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-20860-2. Zbl  1058.11001.

Další čtení

• Soundararajan, Kannan (2007). „Malé mezery mezi prvočísly: dílo Goldston-Pintz-Yıldırım“. Býk. Dopoledne. Matematika. Soc. Nová řada. 44 (1): 1–18. arXiv:matematika / 0605696. doi:10.1090 / s0273-0979-06-01142-6. S2CID  119611838. Zbl  1193.11086.
• Mihăilescu, Preda (Červen 2014). „O některých domněnkách v teorii aditivních čísel“ (PDF). Zpravodaj Evropské matematické společnosti (92): 13–16. doi:10.4171 / NOVINKY. hdl:2117/17085. ISSN  1027-488X.

externí odkazy

• Thomas R. Pěkně, Některé výsledky výpočetního výzkumu v prvočíslech - výpočetní teorie čísel. Tato referenční webová stránka obsahuje seznam všech prvních známých hlavních mezer výskytu.
• Weisstein, Eric W. „Funkce Prime Difference“. MathWorld.
• „Funkce Prime Difference“. PlanetMath.
• Armin Shams, Opětovné rozšíření Čebyševovy věty o Bertrandově domněnce, nezahrnuje „libovolně velkou“ konstantu jako některé jiné uváděné výsledky.
• Chris Caldwell, Mezery mezi prvočísly; základní úvod
• Andrew Granville, Připraví v intervalech ohraničené délky; přehled dosavadních výsledků až do práce Jamese Maynarda z listopadu 2013 včetně.