Parazitické číslo - Parasitic number

An n-parazitní číslo (v základu 10) je kladný přirozené číslo který může být znásobeno podle n pohybem úplně vpravo číslice jeho desetinné vyjádření dopředu. Tady n je samo o sobě jednociferné kladné přirozené číslo. Jinými slovy, desítkové vyjádření podléhá právu kruhový posun o jedno místo. Například 4 • 128205 = 512820, takže 128205 je 4parazitický. Většina autorů neumožňuje použití úvodních nul a tento článek se řídí touto konvencí. Takže i když 4 • 025641 = 102564, číslo 025641 je ne 4-parazitární.

Derivace

An n-parazitické číslo lze odvodit počínaje číslicí k (což by se mělo rovnat n nebo větší) na nejpravějším místě (jednotkách) a postupně zpracovávat jednu číslici. Například pro n = 4 a k = 7

4•7 = 28

4•87 = 348

4•487 = 1948

4•9487 = 37948

4•79487 = 317948

4•179487 = 717948.

Takže 179487 je 4parazitární číslo s jednotkovou číslicí 7. Ostatní jsou 179487179487, 179487179487179487 atd.

Všimněte si, že opakování desetinného místa

${displaystyle x = 0,179487179487179487ldots = 0. {overline {179487}} {mbox {has}} 4x = 0. {overline {717948}} = {frac {7. {overline {179487}}} {10}}.}$

Tím pádem

${displaystyle 4x = {frac {7 + x} {10}} {mbox {so}} x = {frac {7} {39}}.}$

Obecně platí, že n-parazitické číslo lze najít následovně. Vyberte jednociferné celé číslo k takhle k ≥ n, a vezměte období opakování desetinného místa k/(10n-1). To bude ${displaystyle {frac {k} {10n-1}} (10 ^ {m} -1)}$kde m je délka období; tj multiplikativní pořadí z 10 modulo (10n − 1).

Pro další příklad, pokud n = 2, pak 10n - 1 = 19 a opakující se desetinná čárka pro 1/19 je

${displaystyle {frac {1} {19}} = 0. {overline {052631578947368421}}.}$

Takže pro 2/19 je to dvojnásobné:

${displaystyle {frac {2} {19}} = 0. {overline {105263157894736842}}.}$

Délka m tohoto období je 18, stejně jako řád 10 modulo 19, takže 2 × (10¹⁸ − 1)/19 = 105263157894736842.

105263157894736842 × 2 = 210526315789473684, což je výsledkem přesunutí poslední číslice 105263157894736842 dopředu.

Dodatečné informace

Výše popsaný algoritmus postupného odvození je skvělá základní technika, ale nenajde všechna n-parazitická čísla. Když se odvozené číslo rovná zdroju odvození, uvízne v nekonečné smyčce. Příklad tohoto nastane, když n = 5 ak = 5. 42místné n-parazitické číslo, které má být odvozeno, je 102040816326530612244897959183673469387755. Zkontrolujte kroky v tabulce One níže. Algoritmus začíná stavět zprava doleva, dokud nedosáhne kroku 15 - poté nastane nekonečná smyčka. Řádky 16 a 17 jsou zobrazeny, aby ukázaly, že se nic nemění. Existuje oprava tohoto problému a při jeho použití algoritmus nejen najde všechny n-parazitická čísla v základu deset, najde je také v základně 8 a základně 16. Podívejte se na řádek 15 v tabulce dva. Oprava, když je tento stav identifikován, a n-parazitické číslo nebylo nalezeno, jednoduše nepřesune produkt z násobení, ale použije jej tak, jak je, a připojí n (v tomto případě 5) až do konce. Po 42 krocích bude nalezeno správné parazitní číslo.

Tabulka jedna

Tabulka dva

Při práci s tímto algoritmem je třeba si uvědomit ještě jednu podmínku, vedoucí nuly nesmí být ztraceny. Když je vytvořeno číslo směny, může obsahovat počáteční nulu, která je pozičně důležitá a musí být přenesena do dalšího kroku a přes něj. Kalkulačky a počítačové matematické metody odstraní úvodní nuly. Podívejte se na tabulku tři níže, kde jsou zobrazeny kroky odvození pro n = 4 a k = 4. Číslo posunu vytvořené v kroku 4, 02564, má počáteční nulu, která je vložena do kroku 5 a vytváří produkt s počáteční nulou. Výsledný posun je vložen do kroku 6, který zobrazuje produkt prokazující, že 4parazitické číslo končící na 4 je 102564.

Tabulka tři

Nejmenší n-parazitická čísla

Freeman Dyson v roce 2005

Nejmenší n-parazitická čísla jsou také známá jako Dysonova čísla, po hádance týkající se těchto čísel, kterou představuje Freeman Dyson.^[1][2][3] Jsou to: (úvodní nuly nejsou povoleny) (sekvence A092697 v OEIS )

Obecná poznámka

Obecně platí, že pokud uvolníme pravidla umožňující počáteční nulu, pak je 9 n-parazitická čísla pro každého n. Jinak pouze pokud k ≥ n pak čísla nezačínají nulou, a proto odpovídají skutečné definici.

jiný n-parazitická celá čísla lze vytvořit zřetězením. Například protože 179487 je 4parazitické číslo, tak je to i 179487179487, 179487179487179487 atd.

Jiné základy

v duodecimální systém, nejmenší n-parazitická čísla jsou: (použití obrácených dvou a tří pro deset, respektive jedenáct) (úvodní nuly nejsou povoleny)

Přísná definice

V přísné definici, nejmenší počet m počínaje 1 takový, že podíl m/n se získá pouhým posunutím číslice 1 vlevo od m na pravý konec jsou

1, 105263157894736842, 1034482758620689655172413793, 102564, 102040816326530612244897959183673469387755, 1016949152542372881355932203389830508474576271186440677966, 1014492753623188405797, 1012658227848, 10112359550561797752808988764044943820224719, 10, 100917431192660550458715596330275229357798165137614678899082568807339449541284403669724770642201834862385321, 100840336134453781512605042016806722689075630252, ... (sekvence A128857 v OEIS )

Jsou obdobím n/(10n - 1), také období dekadické celé číslo -n/(10n − 1).

Jejich počet číslic je

1, 18, 28, 6, 42, 58, 22, 13, 44, 2, 108, 48, 21, 46, 148, 13, 78, 178, 6, 99, 18, 8, 228, 7, 41, 6, 268, 15, 272, 66, 34, 28, 138, 112, 116, 179, 5, 378, 388, 18, 204, 418, 6, 219, 32, 48, 66, 239, 81, 498, ... (sekvence A128858 v OEIS )

Viz také

• Cyklické číslo
• Posuvný registr s lineární zpětnou vazbou

Poznámky

Reference

• C. A. Pickover, Zázraky čísel, Kapitola 28, Oxford University Press Velká Británie, 2000.
• Sekvence OEIS: A092697 v On-line encyklopedie celočíselných sekvencí.
• Bernstein, Leon (1968), „Multiplikativní dvojčata a primitivní kořeny“, Mathematische Zeitschrift, 105: 49–58, doi:10.1007 / BF01135448, PAN  0225709