Hypergeometrická funkce - Hypergeometric function

v matematika Gaussian nebo obyčejný hypergeometrická funkce ₂F₁(A,b;C;z) je speciální funkce zastoupená hypergeometrická řada, který zahrnuje mnoho dalších speciálních funkcí jako charakteristický nebo omezující případy. Jedná se o řešení druhého řádu lineární obyčejná diferenciální rovnice (ÓDA). Každá lineární ODR druhého řádu se třemi pravidelné singulární body lze transformovat do této rovnice.

Pro systematické seznamy některých z mnoha tisíců publikovaných identity zahrnující hypergeometrickou funkci, viz referenční práce od Erdélyi a kol. (1953) a Olde Daalhuis (2010) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFOlde_Daalhuis2010 (Pomoc). Není znám žádný systém pro organizaci všech identit; ve skutečnosti neexistuje žádný známý algoritmus, který by dokázal generovat všechny identity; je známa řada různých algoritmů, které generují různé řady identit. Teorie algoritmického objevu identit zůstává aktivním výzkumným tématem.

Dějiny

Termín „hypergeometrická řada“ poprvé použil John Wallis ve své knize z roku 1655 Arithmetica Infinitorum.

Hypergeometrické řady byly studovány Leonhard Euler, ale první úplné systematické zacházení poskytl Carl Friedrich Gauss  (1813 ).

Studie v devatenáctém století zahrnovaly studie z Ernst Kummer  (1836 ) a základní charakteristika Bernhard Riemann  (1857 ) hypergeometrické funkce pomocí diferenciální rovnice, kterou splňuje.

Riemann ukázal, že diferenciální rovnice druhého řádu pro ₂F₁(z), zkoumané v komplexní rovině, lze charakterizovat (na Riemannova koule ) jeho třemi pravidelné singularity.

Případy, kdy řešení existují algebraické funkce byly nalezeny uživatelem Hermann Schwarz (Schwarzův seznam ).

Hypergeometrická řada

Hypergeometrická funkce je definována pro |z| < 1 podle výkonová řada

${ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(a) _ {n} (b) _ {n}} {(c) _ {n}}} { frac {z ^ {n}} {n!}}.}$

Je nedefinováno (nebo nekonečné), pokud C rovná se kladné celé číslo. Tady (q)_n je (stoupající) Pochhammer symbol, který je definován:

${ displaystyle (q) _ {n} = { začátek {případů} 1 & n = 0 q (q + 1) cdots (q + n-1) & n> 0 end {případů}}}$

Série končí, pokud existuje A nebo b je nonpositive integer, v takovém případě se funkce redukuje na polynom:

${ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (- m, b; c; z) = součet _ {n = 0} ^ {m} (- 1) ^ {n} { binom {m} {n}} { frac {(b) _ {n}} {(c) _ {n}}} z ^ {n}.}$

Pro složité argumenty z s |z| ≥ 1 to může být analyticky pokračovalo podél libovolné cesty v komplexní rovině, která se vyhýbá bodům větvení 1 a nekonečnu.

Tak jako C → −m, kde m je nezáporné celé číslo, ₂F₁(z) → ∞, ale pokud vydělíme Γ (C), máme limit:

${ displaystyle lim _ {c to -m} { frac {{} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z)} { gama (c)}} = { frac { (a) _ {m + 1} (b) _ {m + 1}} {(m + 1)!}} z ^ {m + 1} {} _ {2} F_ {1} (a + m + 1, b + m + 1; m + 2; z)}$

₂F₁(z) je nejběžnějším typem zobecněná hypergeometrická řada _strF_q, a je často označován jednoduše F(z).

Diferenciační vzorce

Používání identity ${ displaystyle (a) _ {n + 1} = a (a + 1) _ {n}}$, je prokázáno, že

${ displaystyle { frac {d} {dz}} {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = { frac {ab} {c}} {} _ {2 } F_ {1} (a + 1, b + 1; c + 1; z)}$

a obecněji

${ displaystyle { frac {d ^ {n}} {dz ^ {n}}} {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = { frac {(a) _ {n} (b) _ {n}} {(c) _ {n}}} {} _ {2} F_ {1} (a + n, b + n; c + n; z)}$

Ve zvláštním případě ${ displaystyle c = a + 1}$, my máme

${ displaystyle { frac {d} {dz}} {} _ {2} F_ {1} (a, b; a + 1; z) = { frac {d} {dz}} {} _ {2} F_ {1} (b, a; a + 1; z) = { frac {a ((1-z) ^ {- b} - {} _ {2} F_ {1} (a, b ; 1 + a; z))} {z}}}$

Speciální případy

Mnoho běžných matematických funkcí lze vyjádřit pomocí hypergeometrické funkce nebo jako její omezující případy. Některé typické příklady jsou

${ displaystyle { begin {aligned} _ {2} F_ {1} left (1,1; 2; -z right) & = { frac { ln (1 + z)} {z}} _ {2} F_ {1} (a, b; b; z) & = (1-z) ^ {- a}, quad ( forall b) _ {2} F_ {1} left ({ frac {1} {2}}, { frac {1} {2}}; { frac {3} {2}}; z ^ {2} right) & = { frac { arcsin (z)} {z}} , _ {2} F_ {1} left ({ frac {1} {3}}, { frac {2} {3}}; { frac {3 } {2}}; - { frac {27x ^ {2}} {4}} vpravo) & = { frac {{ sqrt [{3}] { frac {3x { sqrt {3}} + { sqrt {27x ^ {2} +4}}} {2}}} - { sqrt [{3}] { frac {2} {3x { sqrt {3}} + { sqrt {27x ^ {2} +4}}}}}} {x { sqrt {3}}}} end {zarovnáno}}}$

The konfluentní hypergeometrická funkce (nebo Kummerova funkce) lze uvést jako limit hypergeometrické funkce

${ displaystyle M (a, c, z) = lim _ {b to infty} {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; b ^ {- 1} z)}$

takže všechny funkce, které jsou v zásadě speciálními případy, jako např Besselovy funkce, lze vyjádřit jako limity hypergeometrických funkcí. Patří mezi ně většina běžně používaných funkcí matematické fyziky.

Legendární funkce jsou řešení diferenciální rovnice druhého řádu se 3 regulárními singulárními body, takže je lze vyjádřit pomocí hypergeometrické funkce mnoha způsoby, například

${ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, 1-a; c; z) = Gamma (c) z ^ { tfrac {1-c} {2}} (1-z) ^ { tfrac {c-1} {2}} P _ {- a} ^ {1-c} (1-2z)}$

Několik ortogonálních polynomů, včetně Jacobiho polynomy P^{(α, β)}
_n a jejich speciální případy Legendární polynomy, Čebyševovy polynomy, Gegenbauerovy polynomy lze psát z hlediska hypergeometrických funkcí pomocí

${ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (- n, alpha +1+ beta + n; alpha +1; x) = { frac {n!} {( alpha +1) _ {n}}} P_ {n} ^ {( alpha, beta)} (1-2x)}$

Mezi další polynomy, které jsou zvláštními případy, patří Krawtchoukovy polynomy, Meixnerovy polynomy, Meixner – Pollaczekovy polynomy.

Eliptické modulární funkce lze někdy vyjádřit jako inverzní funkce poměrů hypergeometrických funkcí, jejichž argumenty A, b, C jsou 1, 1/2, 1/3, ... nebo 0. Například pokud

${ displaystyle tau = { rm {i}} { frac {{} _ {2} F_ {1} { bigl (} { frac {1} {2}}, { frac {1} { 2}}; 1; 1-z { bigr)}} {{} _ {2} F_ {1} { bigl (} { frac {1} {2}}, { frac {1} {2 }}; 1; z { bigr)}}}}$

pak

${ displaystyle z = kappa ^ {2} ( tau) = { frac { theta _ {2} ( tau) ^ {4}} { theta _ {3} ( tau) ^ {4} }}}$

je eliptická modulární funkce τ.

Neúplné funkce beta B_X(str,q) jsou ve vztahu

${ displaystyle B_ {x} (p, q) = { tfrac {x ^ {p}} {p}} {} _ {2} F_ {1} (p, 1-q; p + 1; x) }$

The kompletní eliptické integrály K. a E jsou dány

${ displaystyle K (k) = { tfrac { pi} {2}} , _ {2} F_ {1} left ({ tfrac {1} {2}}, { tfrac {1} { 2}}; 1; k ^ {2} vpravo)}$

${ displaystyle E (k) = { tfrac { pi} {2}} , _ {2} F_ {1} left (- { tfrac {1} {2}}, { tfrac {1} {2}}; 1; k ^ {2} vpravo)}$

Hypergeometrická diferenciální rovnice

Hypergeometrická funkce je řešením Eulerovy hypergeometrické diferenciální rovnice

${ displaystyle z (1-z) { frac {d ^ {2} w} {dz ^ {2}}} + doleva [c- (a + b + 1) z doprava] { frac {dw } {dz}} - ab , w = 0.}$

který má tři pravidelné singulární body: 0,1 a ∞. Zevšeobecnění této rovnice na tři libovolné pravidelné singulární body je dáno vztahem Riemannova diferenciální rovnice. Libovolnou diferenciální rovnici druhého řádu se třemi regulárními singulárními body lze převést na hypergeometrickou diferenciální rovnici změnou proměnných.

Řešení v singulárních bodech

Řešení hypergeometrické diferenciální rovnice jsou sestavena z hypergeometrické řady ₂F₁(A,b;C;z). Rovnice má dvě lineárně nezávislé řešení. V každém ze tří singulárních bodů 0, 1, ∞ jsou obvykle dvě speciální řešení formy X^s krát holomorfní funkce X, kde s je jedním ze dvou kořenů indicialní rovnice a X je lokální proměnná mizející v regulárním singulárním bodě. To dává 3 × 2 = 6 speciálních řešení, jak následuje.

Kolem bodu z = 0, jsou dvě nezávislá řešení, pokud C není kladné celé číslo,

${ displaystyle , _ {2} F_ {1} (a, b; c; z)}$

a pod podmínkou, že C není celé číslo,

${ displaystyle z ^ {1-c} , _ {2} F_ {1} (1 + a-c, 1 + b-c; 2-c; z)}$

Li C je kladné celé číslo 1−m, pak první z těchto řešení neexistuje a musí být nahrazeno ${ displaystyle z ^ {m} F (a + m, b + m; 1 + m; z).}$ Druhé řešení neexistuje, když C je celé číslo větší než 1 a rovná se prvnímu řešení nebo jeho nahrazení, když C je jakékoli jiné celé číslo. Takže když C je celé číslo, pro druhé řešení se musí použít složitější výraz, který se rovná prvnímu řešení vynásobenému ln (z), plus další série v pravomoci zzahrnující funkce digamma. Vidět Olde Daalhuis (2010) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFOlde_Daalhuis2010 (Pomoc) pro detaily.

Kolem z = 1, pokud C − A − b není celé číslo, jeden má dvě nezávislá řešení

${ displaystyle , _ {2} F_ {1} (a, b; 1 + a + b-c; 1-z)}$

a

${ displaystyle (1-z) ^ {c-a-b} ; _ {2} F_ {1} (c-a, c-b; 1 + c-a-b; 1-z)}$

Kolem z = ∞, pokud A − b není celé číslo, jeden má dvě nezávislá řešení

${ displaystyle z ^ {- a} , _ {2} F_ {1} left (a, 1 + a-c; 1 + a-b; z ^ {- 1} right)}$

a

${ displaystyle z ^ {- b} , _ {2} F_ {1} left (b, 1 + b-c; 1 + b-a; z ^ {- 1} right).}$

Opět platí, že pokud nejsou splněny podmínky neintegrality, existují další řešení, která jsou komplikovanější.

Jakékoli 3 z výše uvedených 6 řešení uspokojuje lineární vztah, protože prostor řešení je dvourozměrný, což dává (⁶
₃) = 20 lineárních vztahů mezi nimi vzorce připojení.

24 řešení společnosti Kummer

Druhá objednávka Fuchsiova rovnice s n singulární body mají skupinu symetrií působících (projektivně) na jejich řešení, izomorfní s Skupina coxeterů D_n řádu n!2ⁿ⁻¹. Pro hypergeometrickou rovnici n= 3, takže skupina je řádu 24 a je izomorfní se symetrickou skupinou ve 4 bodech a byla poprvé popsánaKummer. Izomorfismus se symetrickou skupinou je náhodný a nemá analogii pro více než 3 singulární body a někdy je lepší uvažovat o skupině jako o rozšíření symetrické skupiny o 3 body (působící jako permutace 3 singulárních bodů) o A Kleinová skupina 4 (jehož prvky mění známky rozdílů exponentů v sudém počtu singulárních bodů). Kummerova skupina 24 transformací je generována třemi transformacemi, které berou řešení F(A,b;C;z) jednomu z

${ displaystyle (1-z) ^ {- a} F vlevo (a, c-b; c; { tfrac {z} {z-1}} doprava)}$

${ displaystyle F (a, b; 1 + a + b-c; 1-z)}$

${ displaystyle (1-z) ^ {- b} F vlevo (c-a, b; c; { tfrac {z} {z-1}} vpravo)}$

které odpovídají transpozicím (12), (23) a (34) pod izomorfismem se symetrickou skupinou ve 4 bodech 1, 2, 3, 4. (První a třetí z nich se ve skutečnosti rovnají F(A,b;C;z) zatímco druhé je nezávislé řešení diferenciální rovnice.)

Použitím Kummerových transformací 24 = 6 × 4 na hypergeometrickou funkci získáte výše uvedená řešení 6 = 2 × 3 odpovídající každému ze 2 možných exponentů v každém ze 3 singulárních bodů, z nichž každý se kvůli identitám objeví 4krát

${ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = (1-z) ^ {cab} , {} _ {2} F_ {1} (ca, cb; c ; z) { text {Eulerova transformace}}}$

${ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = (1-z) ^ {- a} , {} _ {2} F_ {1} (a, cb; c; { tfrac {z} {z-1}}) { text {Pfaffova transformace}}}$

${ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = (1-z) ^ {- b} , {} _ {2} F_ {1} (ca, b; c; { tfrac {z} {z-1}}) { text {Pfaffova transformace}}}$

Q-forma

Hypergeometrická diferenciální rovnice může být uvedena do Q-formy

${ displaystyle { frac {d ^ {2} u} {dz ^ {2}}} + Q (z) u (z) = 0}$

provedením střídání w = uv a vyloučení termínu první derivace. Jeden to zjistí

${ displaystyle Q = { frac {z ^ {2} [1- (ab) ^ {2}] + z [2c (a + b-1) -4ab] + c (2-c)} {4z ^ {2} (1-z) ^ {2}}}}$

a proti je dáno řešením

${ displaystyle { frac {d} {dz}} log v (z) = - { frac {cz (a + b + 1)} {2z (1-z)}} = - { frac {c } {2z}} - { frac {1 + a + bc} {2 (z-1)}}}$

který je

${ displaystyle v (z) = z ^ {- c / 2} (1-z) ^ {(c-a-b-1) / 2}.}$

Forma Q je významná ve vztahu k Schwarzianův derivát (Hille 1976, str. 307–401).

Schwarzovy trojúhelníkové mapy

The Schwarzovy trojúhelníkové mapy nebo Schwarz s-funkce jsou poměry párů řešení.

${ displaystyle s_ {k} (z) = { frac { phi _ {k} ^ {(1)} (z)} { phi _ {k} ^ {(0)} (z)}}}$

kde k je jedním z bodů 0, 1, ∞. Zápis

${ displaystyle D_ {k} ( lambda, mu, nu; z) = s_ {k} (z)}$

je také někdy používán. Všimněte si, že koeficienty připojení se stanou Möbiovy transformace na trojúhelníkových mapách.

Všimněte si, že každá trojúhelníková mapa je pravidelný na z ∈ {0, 1, ∞} s

${ displaystyle s_ {0} (z) = z ^ { lambda} (1 + { mathcal {O}} (z))}$

${ displaystyle s_ {1} (z) = (1-z) ^ { mu} (1 + { mathcal {O}} (1-z))}$

a

${ displaystyle s _ { infty} (z) = z ^ { nu} (1 + { mathcal {O}} ({ tfrac {1} {z}}))}}$

Ve zvláštním případě λ, μ a ν reálných, s 0 ≤ λ, μ, ν <1 jsou s-mapy konformní mapy z horní polorovina H na trojúhelníky na Riemannova koule, ohraničené kruhovými oblouky. Toto mapování je zobecnění z Schwarz – Christoffel mapování na trojúhelníky s kruhovými oblouky. Singulární body 0,1 a ∞ jsou odeslány na vrcholy trojúhelníku. Úhly trojúhelníku jsou πλ, πμ a πν.

Dále v případě λ = 1 /str, μ = 1 /q a ν = 1 /r pro celá čísla str, q, r, potom trojúhelník obloží kouli, komplexní rovinu nebo horní polovinu roviny podle toho, zda λ + μ + ν - 1 je kladné, nulové nebo záporné; a s-mapy jsou inverzní funkce automorfní funkce pro skupina trojúhelníků 〈str, q, r〉 = Δ (str, q, r).

Monodromy skupina

Monodromy hypergeometrické rovnice popisuje, jak se mění základní řešení, když analyticky pokračují kolem cest v z letadlo, které se vrací do stejného bodu. To znamená, že když se cesta točí kolem singularity ₂F₁, hodnota řešení v koncovém bodě se bude lišit od počátečního bodu.

Dvě základní řešení hypergeometrické rovnice spolu souvisí lineární transformací; tedy monodromy je mapování (skupinový homomorfismus):

${ displaystyle pi _ {1} ( mathbf {C} setminus {0,1 }, z_ {0}) do { text {GL}} (2, mathbf {C})}$

kde π₁ je základní skupina. Jinými slovy, monodromy jsou dvourozměrné lineární reprezentace základní skupiny. The monodromy skupina rovnice je obraz této mapy, tj. skupina generovaná maticemi monodromy. Monodromy reprezentace základní skupiny lze vypočítat výslovně z hlediska exponentů v singulárních bodech.^[1] Pokud (α, α '), (β, β') a (γ, γ ') jsou exponenty na 0, 1 a ∞, pak z₀ blízko 0, smyčky kolem 0 a 1 mají monodromy matice

${ displaystyle g_ {0} = { begin {pmatrix} e ^ {2 pi i alpha} & 0 0 & e ^ {2 pi i alpha ^ { prime}} end {pmatrix}} , , ,}$ a ${ displaystyle , , , g_ {1} = { začátek {pmatrix} { mu e ^ {2 pi i beta} -e ^ {2 pi i beta ^ { prime}} přes mu -1} & { mu (e ^ {2 pi i beta} -e ^ {2 pi i beta ^ { prime}}) přes ( mu -1) ^ {2} } e ^ {2 pi i beta ^ { prime}} - e ^ {2 pi i beta} & { mu e ^ {2 pi i beta ^ { prime}} - e ^ {2 pi i beta} přes mu -1} konec {pmatrix}},}$

kde

${ displaystyle mu = { sin pi ( alpha + beta ^ { prime} + gamma ^ { prime}) sin pi ( alpha ^ { prime} + beta + gamma ^ { prime}) over sin pi ( alpha ^ { prime} + beta ^ { prime} + gamma ^ { prime}) sin pi ( alpha + beta + gamma ^ {primární })}.}$

Pokud 1-A, C-A-b, A-b jsou neceločíselná racionální čísla se jmenovateli k,l,m pak je skupina monodromy konečná právě tehdy ${ Displaystyle 1 / k + 1 / l + 1 / m> 1}$viz Schwarzův seznam nebo Kovacicův algoritmus.

Integrální vzorce

Eulerův typ

Li B je funkce beta pak

${ displaystyle mathrm {B} (b, cb) , _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = int _ {0} ^ {1} x ^ {b-1} (1-x) ^ {cb-1} (1-zx) ^ {- a} , dx qquad Re (c)> Re (b)> 0,}$

pokud z není reálné číslo takové, že je větší nebo rovno 1. a lze ho prokázat rozšířením (1 -zx)^−A pomocí binomické věty a následnou integrací výraz po termínu pro z s absolutní hodnotou menší než 1 a analytickým pokračováním jinde. Když z je reálné číslo větší nebo rovné 1, je nutné použít analytické pokračování, protože (1 -zx) je v určitém okamžiku podpory integrálu nula, takže hodnota integrálu může být špatně definována. To bylo dáno Eulerem v roce 1748 a znamená to Egelovy a Pfaffovy hypergeometrické transformace.

Jiná vyjádření, odpovídající ostatním větve, jsou dány tím, že vezmeme stejné integrand, ale vezmeme cestu integrace, abychom byli uzavřeni Pochhammerův cyklus uzavření singularit v různých řádech. Takové cesty odpovídají monodromy akce.

Barnesův integrál

Barnes použil teorii zbytky vyhodnotit Barnesův integrál

${ displaystyle { frac {1} {2 pi i}} int _ {- i infty} ^ {i infty} { frac { gama (a + s) gama (b + s) Gamma (-s)} { Gamma (c + s)}} (- z) ^ {s} , ds}$

tak jako

${ displaystyle { frac { Gamma (a) Gamma (b)} { Gamma (c)}} , _ {2} F_ {1} (a, b; c; z),}$

kde je kontura nakreslena pro oddělení pólů 0, 1, 2 ... od pólů -A, −A − 1, ..., −b, −b - 1, .... To platí, pokud z není nezáporné reálné číslo.

John transformace

Gaussovu hypergeometrickou funkci lze zapsat jako a John transformace (Gelfand, Gindikin a Graev 2003, 2.1.2).

Gaussovy souvislé vztahy

Šest funkcí

${ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a pm 1, b; c; z), quad {} _ {2} F_ {1} (a, b pm 1; c; z) , quad {} _ {2} F_ {1} (a, b; c pm 1; z)}$

se nazývají sousedící s ₂F₁(A, b; C; z). Gauss to ukázal ₂F₁(A, b; C; z) lze psát jako lineární kombinaci jakýchkoli dvou jeho souvislých funkcí s racionálními koeficienty, pokud jde o A, b, C, a z. To dává

${ displaystyle { begin {pmatrix} 6 2 end {pmatrix}} = 15}$

vztahy, dané identifikací jakýchkoli dvou řádků na pravé straně

${ displaystyle { begin {aligned} z { frac {dF} {dz}} & = z { frac {ab} {c}} F (a +, b +, c +) & = a (F (a + ) -F) & = b (F (b +) - F) & = (c-1) (F (c -) - F) & = { frac {(ca) F (a- ) + (a-c + bz) F} {1-z}} & = { frac {(cb) F (b -) + (b-c + az) F} {1-z}} & = z { frac {(ca) (cb) F (c +) + c (a + bc) F} {c (1-z)}} end {zarovnáno}}}$

kde F = ₂F₁(A, b; C; z), F(A+) = ₂F₁(A + 1, b; C; z), a tak dále. Opakované použití těchto vztahů dává lineární vztah C(z) mezi libovolnými třemi funkcemi formuláře

${ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a + m, b + n; c + l; z),}$

kde m, n, a l jsou celá čísla.

Gaussova pokračující část

Gauss použil souvislé vztahy, aby dal několik způsobů, jak napsat kvocient dvou hypergeometrických funkcí jako pokračující zlomek, například:

${ displaystyle { frac {{} _ {2} F_ {1} (a + 1, b; c + 1; z)} {{} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z )}} = { cfrac {1} {1 + { cfrac {{ frac {(ac) b} {c (c + 1)}} z} {1 + { cfrac {{ frac {(bc -1) (a + 1)} {(c + 1) (c + 2)}} z} {1 + { cfrac {{ frac {(ac-1) (b + 1)} {(c + 2) (c + 3)}} z} {1 + { cfrac {{ frac {(bc-2) (a + 2)} {(c + 3) (c + 4)}} z} {1 + {} ddots}}}}}}}}}}$

Transformační vzorce

Transformační vzorce vztahují dvě hypergeometrické funkce k různým hodnotám argumentu z.

Frakční lineární transformace

Eulerova transformace je

${ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = (1-z) ^ {cab} {} _ {2} F_ {1} (ca, cb; c; z ).}$

Z toho vyplývá kombinace obou Pfaffových transformací

${ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = (1-z) ^ {- b} {} _ {2} F_ {1} left (b, ca; c; { tfrac {z} {z-1}} vpravo)}$

${ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = (1-z) ^ {- a} {} _ {2} F_ {1} left (a, cb; c; { tfrac {z} {z-1}} vpravo)}$

které zase vyplývají z Eulerovy integrální reprezentace. Pro rozšíření Eulerovy první a druhé transformace viz Rathie & Paris (2007) a Rakha & Rathie (2011).Může být také zapsán jako lineární kombinace

${ displaystyle { begin {aligned} {} _ {2} F_ {1} (a, b; c, z) = {} & { frac { gama (c) gama (kabina)} { gama (ca) Gamma (cb)}} {} _ {2} F_ {1} (a, b; a + b + 1-c; 1-z) [6pt] & {} + { frac { Gamma (c) Gamma (a + bc)} { Gamma (a) Gamma (b)}} (1-z) ^ {cab} {} _ {2} F_ {1} (ca, cb; 1 + kabina; 1-z). End {zarovnáno}}}$

Kvadratické transformace

Pokud dvě z čísel 1 -C, C − 1, A − b, b − A, A + b − C, C − A − b jsou stejné nebo jeden z nich je 1/2, pak je a kvadratická transformace hypergeometrické funkce, připojením k jiné hodnotě z souvisí kvadratickou rovnicí. První příklady poskytl Kummer (1836), a úplný seznam byl dán Goursat (1881). Typickým příkladem je

${ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; 2b; z) = (1-z) ^ {- { frac {a} {2}}} {} _ {2} F_ { 1} left ({ tfrac {1} {2}} a, b - { tfrac {1} {2}} a; b + { tfrac {1} {2}}; { frac {z ^ { 2}} {4z-4}} vpravo)}$

Transformace vyšších řádů

Pokud 1−C, A−b, A+b−C se liší znaménky nebo dva z nich jsou 1/3 nebo −1/3, pak existuje kubická transformace hypergeometrické funkce, připojením k jiné hodnotě z souvisí kubickou rovnicí. První příklady poskytl Goursat (1881). Typickým příkladem je

${ displaystyle {} _ {2} F_ {1} left ({ tfrac {3} {2}} a, { tfrac {1} {2}} (3a-1); a + { tfrac {1 } {2}}; - { tfrac {z ^ {2}} {3}} vpravo) = (1 + z) ^ {1-3a} , {} _ {2} F_ {1} vlevo (a - { tfrac {1} {3}}, a; 2a; 2z (3 + z ^ {2}) (1 + z) ^ {- 3} vpravo)}$

Existují také některé transformace stupňů 4 a 6. Transformace jiných stupňů existují, pouze pokud A, b, a C jsou určitá racionální čísla (Vidunas 2005 ). Například,

${ displaystyle {} _ {2} F_ {1} left ({ tfrac {1} {4}}, { tfrac {3} {8}}; { tfrac {7} {8}}; z right) (z ^ {4} -60z ^ {3} + 134z ^ {2} -60z + 1) ^ {1/16} = {} _ {2} F_ {1} left ({ tfrac { 1} {48}}, { tfrac {17} {48}}; { tfrac {7} {8}}; { tfrac {-432z (z-1) ^ {2} (z + 1) ^ {8}} {(z ^ {4} -60z ^ {3} + 134z ^ {2} -60z + 1) ^ {3}}} vpravo).}$

Hodnoty ve zvláštních bodech z

Vidět Slater (1966, Příloha III) pro seznam součtových vzorců ve zvláštních bodech, z nichž většina je také uvedena v Bailey (1935). Gessel & Stanton (1982) poskytuje další hodnocení ve více bodech. Koepf (1995) ukazuje, jak lze většinu z těchto identit ověřit počítačovými algoritmy.

Speciální hodnoty na z = 1

Gaussova věta o součtu, pojmenovaná pro Carl Friedrich Gauss, je identita

${ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; 1) = { frac { gama (c) gama (kabina)} { gama (ca) gama (cb)} }, qquad Re (c)> Re (a + b)}$

který vyplývá z Eulerova integrálního vzorce vložením z = 1. Zahrnuje Vandermonde identita jako zvláštní případ.

Pro zvláštní případ, kdy ${ displaystyle a = -m}$,

${ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (- m, b; c; 1) = { frac {(c-b) _ {m}} {(c) _ {m}}}}$

Dougallův vzorec zobecňuje to na dvoustranná hypergeometrická řada na z = 1.

Kummerova věta (z = −1)

Existuje mnoho případů, kdy lze vyhodnotit hypergeometrické funkce z = -1 pomocí změny kvadratické transformace z = -1 až z = 1 a poté k vyhodnocení výsledku pomocí Gaussovy věty. Typickým příkladem je Kummerova věta pojmenovaná pro Ernst Kummer:

${ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; 1 + ab; -1) = { frac { gama (1 + ab) gama (1 + { tfrac {1} {2 }} a)} { Gamma (1 + a) Gamma (1 + { tfrac {1} {2}} ab)}}}$

který vyplývá z Kummerových kvadratických transformací

${ displaystyle { begin {aligned} _ {2} F_ {1} (a, b; 1 + ab; z) & = (1-z) ^ {- a} ; _ {2} F_ {1} left ({ frac {a} {2}}, { frac {1 + a} {2}} - b; 1 + ab; - { frac {4z} {(1-z) ^ {2} }} right) & = (1 + z) ^ {- a} , _ {2} F_ {1} left ({ frac {a} {2}}, { frac {a + 1 } {2}}; 1 + ab; { frac {4z} {(1 + z) ^ {2}}} vpravo) end {zarovnáno}}}$

a Gaussova věta vložením z = -1 v první identitě. Zobecnění Kummerova součtu viz Lavoie, Grondin & Rathie (1996).

Hodnoty na z = 1/2

Druhá Gaussova věta o sčítání je

${ displaystyle _ {2} F_ {1} left (a, b; { tfrac {1} {2}} left (1 + a + b right); { tfrac {1} {2}} right) = { frac { Gamma ({ tfrac {1} {2}}) Gamma ({ tfrac {1} {2}} left (1 + a + b right))} { Gamma ({ tfrac {1} {2}} vlevo (1 + a) vpravo) Gamma ({ tfrac {1} {2}} vlevo (1 + b vpravo))}}}}$

Baileyho věta je

${ displaystyle _ {2} F_ {1} left (a, 1-a; c; { tfrac {1} {2}} right) = { frac { Gamma ({ tfrac {1} { 2}} c) Gamma ({ tfrac {1} {2}} vlevo (1 + c doprava))} { Gamma ({ tfrac {1} {2}} vlevo (c + a vpravo)) Gamma ({ tfrac {1} {2}} vlevo (1 + ca vpravo))}}}}$

Zobecnění Gaussovy druhé věty o sčítání a Baileyho věty o sčítání viz Lavoie, Grondin & Rathie (1996).

Další body

Existuje mnoho dalších vzorců poskytujících hypergeometrickou funkci jako algebraické číslo při speciálních racionálních hodnotách parametrů, z nichž některé jsou uvedeny v Gessel & Stanton (1982) a Koepf (1995). Některé typické příklady uvádí

${ displaystyle {} _ {2} F_ {1} left (a, -a; { tfrac {1} {2}}; { tfrac {x ^ {2}} {4 (x-1)} } right) = { frac {(1-x) ^ {a} + (1-x) ^ {- a}} {2}},}$

které lze přepracovat jako

${ displaystyle T_ {a} ( cos x) = {} _ {2} F_ {1} left (a, -a; { tfrac {1} {2}}; { tfrac {1} {2 }} (1- cos x) vpravo) = cos (sekera)}$

kdykoli −π < X <π a T je (zobecněný) Čebyševův polynom.

Viz také

• Appell série, 2-proměnná generalizace hypergeometrické řady
• Základní hypergeometrická řada kde poměr členů je periodická funkce indexu
• Dvoustranná hypergeometrická řada _strH_str jsou podobné zobecněným hypergeometrickým řadám, ale sečteny přes všechna celá čísla
• Binomická řada ₁F₀
• Soutoková hypergeometrická řada ₁F₁(A;C;z)
• Eliptická hypergeometrická řada kde poměr členů je eliptická funkce indexu
• Eulerův hypergeometrický integrál, integrální reprezentace ₂F₁
• Funkce Fox H., rozšíření funkce Meijer G.
• Funkce Fox – Wright, zobecnění generalizovaná hypergeometrická funkce
• Frobeniova řešení hypergeometrické rovnice
• Obecná hypergeometrická funkce představil I. M. Gelfand.
• Zobecněná hypergeometrická řada _strF_q kde poměr členů je racionální funkcí indexu
• Geometrická řada, kde poměr členů je konstantní
• Funkce Heun, řešení ODR druhého řádu se čtyřmi pravidelnými singulárními body
• Funkce klaksonu, 34 odlišných konvergentních hypergeometrických řad ve dvou proměnných
• Humbertova řada 7 hypergeometrických funkcí 2 proměnných
• Hypergeometrická distribuce, diskrétní rozdělení pravděpodobnosti
• Hypergeometrická funkce argumentu matice, vícerozměrné zobecnění hypergeometrické řady
• Funkce Kampé de Fériet, hypergeometrická řada dvou proměnných
• Hypergeometrická řada Lauricella, hypergeometrická řada tří proměnných
• Funkce MacRobert E., rozšíření zobecněné hypergeometrické řady _strF_q k případu str>q+1.
• Funkce Meijer G., rozšíření zobecněné hypergeometrické řady _strF_q k případu str>q+1.
• Modulární hypergeometrická řada, koncová forma eliptické hypergeometrické řady
• Hypergeometrická řada theta, speciální druh eliptické hypergeometrické řady.
• Konformní bloky Virasoro, speciální funkce v teorie dvourozměrného konformního pole které se v některých případech redukují na hypergeometrické funkce.

Reference

• Andrews, George E.; Askey, Richard & Roy, Ranjan (1999). Speciální funkce. Encyklopedie matematiky a její aplikace. 71. Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-62321-6. PAN  1688958.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Bailey, W.N. (1935). Zobecněná hypergeometrická řada (PDF). Cambridge University Press. Archivovány od originál (PDF) dne 2017-06-24. Citováno 2016-07-23.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Beukers, Frits (2002), Gaussova hypergeometrická funkce. (poznámky k přednášce s přehledem základních informací, stejně jako trojúhelníkové mapy a monodromy)
• Olde Daalhuis, Adri B. (2010), "Hypergeometrická funkce", v Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-19225-5, PAN  2723248
• Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz & Tricomi, Francesco G. (1953). Vyšší transcendentální funkce (PDF). Sv. I. New York - Toronto - Londýn: McGraw – Hill Book Company, Inc. ISBN  978-0-89874-206-0. PAN  0058756.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Gasper, George a Rahman, Mizan (2004). Základní hypergeometrická řada, 2. vydání, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 96, Cambridge University Press, Cambridge. ISBN  0-521-83357-4.
• Gauss, Carl Friedrich (1813). „Disquisitiones generales circa seriem infinitam ${ displaystyle 1 + { tfrac { alpha beta} {1 cdot gamma}} ~ x + { tfrac { alpha ( alpha +1) beta ( beta +1)} {1 cdot 2 cdot gamma ( gamma +1)}} ~ x ~ x + { mbox {atd.}}}$". Commentationes societatis regiae scientarum Gottingensis recentiores (v latině). Göttingen. 2.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Gelfand, I.M .; Gindikin, S.G. a Graev, M.I. (2003) [2000]. Vybraná témata v integrální geometrii. Překlady matematických monografií. 220. Providence, R.I .: Americká matematická společnost. ISBN  978-0-8218-2932-5. PAN  2000133.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Gessel, Ira a Stanton, Dennis (1982). Msgstr "Zvláštní hodnocení hypergeometrické řady". SIAM Journal on Mathematical Analysis. 13 (2): 295–308. doi:10.1137/0513021. ISSN  0036-1410. PAN  0647127.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Goursat, Édouard (1881). „Sur l'équation différentielle linéaire, qui admet pour intégrale la série hypergéométrique“. Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure (francouzsky). 10: 3–142. Citováno 2008-10-16.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Heckman, Gerrit & Schlichtkrull, Henrik (1994). Harmonická analýza a speciální funkce na symetrických prostorech. San Diego: Academic Press. ISBN  0-12-336170-2.CS1 maint: ref = harv (odkaz) (část 1 zachází s hypergeometrickými funkcemi na Lieových skupinách)
• Hille, Einar (1976). Obyčejné diferenciální rovnice v komplexní oblasti. Doveru. ISBN  0-486-69620-0.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Ince, E. L. (1944). Obyčejné diferenciální rovnice. Dover Publications.
• Klein, Felix (1981). Vorlesungen über die hypergeometrische Funktion. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (v němčině). 39. Berlín, New York: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-10455-1. PAN  0668700.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Koepf, Wolfram (1995). Msgstr "Algoritmy pro m-násobný hypergeometrický součet". Journal of Symbolic Computation. 20 (4): 399–417. doi:10.1006 / jsco.1995.1056. ISSN  0747-7171. PAN  1384455.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Kummer, Ernst Eduard (1836). „Über die hypergeometrische Reihe${ displaystyle 1 + { tfrac { alpha cdot beta} {1 cdot gamma}} ~ x + { tfrac { alpha ( alpha +1) beta ( beta +1)} {1 cdot 2 cdot gamma ( gamma +1)}} x ^ {2} + { tfrac { alpha ( alpha +1) ( alpha +2) beta ( beta +1) ( beta + 2)} {1 cdot 2 cdot 3 cdot gamma ( gamma +1) ( gamma +2)}} x ^ {3} + { mbox {atd.}}}$". Journal für die reine und angewandte Mathematik (v němčině). 15: 39–83, 127–172. ISSN  0075-4102.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Lavoie, J. L .; Grondin, F .; Rathie, A.K. (1996). „Zobecnění Whippleho věty o součtu a ₃F₂". J. Comput. Appl. Matematika. 72: 293–300.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Press, W.H .; Teukolsky, S.A .; Vetterling, W.T. a Flannery, B.P. (2007). „Sekce 6.13. Hypergeometrické funkce“. Numerické recepty: Umění vědecké práce na počítači (3. vyd.). New York: Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-88068-8.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Rakha, M. A.; Rathie, Arjun K. (2011). „Rozšíření Eulerovy transformace typu II a Saalschutzova věta“. Býk. Korejská matematika. Soc. 48 (1): 151–156.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Rathie, Arjun K .; Paris, R.B. (2007). "Rozšíření transformace Eulerova typu pro řadu 3F2". Dálný východ J. Math. Sci. 27 (1): 43–48.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Riemann, Bernhard (1857). „Beiträge zur Theorie der durch die Gauss'sche Reihe F (α, β, γ, x) darstellbaren Functionen ". Abhandlungen der Mathematischen Classe der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (v němčině). Göttingen: Verlag der Dieterichschen Buchhandlung. 7: 3–22.CS1 maint: ref = harv (odkaz) (dotisk tohoto papíru najdete v "Všechny publikace Riemanna" (PDF).)
• Slater, Lucy Joan (1960). Soutokové hypergeometrické funkce. Cambridge, Velká Británie: Cambridge University Press. PAN  0107026.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Slater, Lucy Joan (1966). Zobecněné hypergeometrické funkce. Cambridge, Velká Británie: Cambridge University Press. ISBN  0-521-06483-X. PAN  0201688.CS1 maint: ref = harv (odkaz) (existuje brožovaná brožura z roku 2008 s ISBN  978-0-521-09061-2)
• Vidunas, Raimundas (2005). "Transformace některých Gaussových hypergeometrických funkcí". Journal of Symbolic Computation. 178: 473–487. arXiv:matematika / 0310436. doi:10.1016 / j.cam.2004.09.053.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Zeď, H.S. (1948). Analytická teorie pokračujících zlomků. D. Van Nostrand Company, Inc.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Whittaker, E.T. & Watson, G.N. (1927). Kurz moderní analýzy. Cambridge, Velká Británie: Cambridge University Press.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Yoshida, Masaaki (1997). Hypergeometrické funkce, má lásko: modulární interpretace konfiguračních prostor. Braunschweig - Wiesbaden: Friedr. Vieweg & Sohn. ISBN  3-528-06925-2. PAN  1453580.CS1 maint: ref = harv (odkaz)

externí odkazy

• "Hypergeometrická funkce", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• John Pearson, Výpočet hypergeometrických funkcí (University of Oxford, Magisterská práce)
• Marko Petkovsek, Herbert Wilf a Doron Zeilberger, Kniha "A = B" (volně ke stažení)
• Weisstein, Eric W. „Hypergeometrická funkce“. MathWorld.