Plný reptend prime - Full reptend prime

v teorie čísel, a plný reptend prime, plné opakování prime, řádný prime^[1]:166 nebo dlouhý prime v základna b je zvláštní prvočíslo p takové, že Fermatův kvocient

${ displaystyle q_ {p} (b) = { frac {b ^ {p-1} -1} {p}}}$

(kde p ne rozdělit b) dává a cyklické číslo. Proto je digitální expanze ${ displaystyle 1 / p}$ v základně b opakuje nekonečně číslice odpovídajícího cyklického čísla, stejně jako číslice ${ displaystyle a / p}$ s rotací číslic pro libovolné A mezi 1 a p - 1. Cyklické číslo odpovídající prvočíslu p bude vlastnit p - 1 číslice kdyby a jen kdyby p je plný reptend prime. Toto je multiplikativní pořadí ord_p b = p - 1, což odpovídá b být primitivní kořen modulo p.

Termín „long prime“ použil John Conway a Richard Guy v jejich Kniha čísel. Matoucí je, že Sloanova OEIS označuje tato prvočísla jako „cyklická čísla“.

Základna 10

Základna 10 lze předpokládat, pokud není zadána žádná základna, v takovém případě se rozšíření čísla nazývá a opakování desetinného místa. V základně 10, pokud plný reptend prime končí číslicí 1, pak se každá číslice 0, 1, ..., 9 objeví v opakování stejným počtem opakování jako každá další číslice.^[1]:166 (Pro takové prvočísla v základně 10 viz OEIS: A073761. Ve skutečnosti v základně b, pokud plný reptend prime končí číslicí 1, pak každá číslice 0, 1, ..., b−1 se objeví v opakování stejným počtem opakování jako každá jiná číslice, ale žádný takový prvočíslo neexistuje, když b = 12, protože každý plný reprend je připraven základna 12 končí číslicí 5 nebo 7 ve stejné základně. Obecně platí, že žádný takový prime neexistuje, když b je shodný na 0 nebo 1 modulo 4.

Hodnoty p méně než 1000, pro které tento vzorec vytváří cyklická čísla v desítkové soustavě, jsou:

7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313, 337, 367, 379, 383, 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499, 503, 509, 541, 571, 577, 593, 619, 647, 659, 701, 709, 727, 743, 811 , 821, 823, 857, 863, 887, 937, 941, 953, 971, 977, 983, ... (sekvence A001913 v OEIS )

Například případ b = 10, p = 7 udává cyklické číslo 142857; tak 7 je plný reptend prime. Navíc 1 děleno 7 napsaných v základně 10 je 0,142857 142857 142857 142857 ...

Ne všechny hodnoty p získá cyklické číslo pomocí tohoto vzorce; například p = 13 dává 076923 076923. Tyto neúspěšné případy budou vždy obsahovat opakování číslic (možná několik) v průběhu p - 1 číslice.

Známý vzor této sekvence pochází z algebraická teorie čísel konkrétně tato sekvence je množina prvočísel p tak, že 10 je a primitivní root modulo str. Artinova domněnka o primitivních kořenech je, že tato sekvence obsahuje 37 395 ..% prvočísel.

Vzory výskytu plných reptendových prvočísel

Pokročilý modulární aritmetika může ukázat, že jakákoli prime z následujících forem:

umět nikdy být plným reptend prime v základně 10. První prvočísla těchto forem s jejich obdobími jsou:

Studie to však ukazují dvě třetiny prvočísel formuláře 40k + n, kde n ∈ {7, 11, 17, 19, 21, 23, 29, 33} jsou prvočísla v plné výši. U některých sekvencí je převaha úplných prvočíselných prvočísel mnohem větší. Například 285 z 295 prvočísel formy 120k +23 pod 100 000 je plně připravených reptendů, přičemž 20903 je první, které nejsou plnými reptendy.

Binární prvočísla plná reptend

v základna 2, plná reptend prvočísla jsou: (méně než 1000)

3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491, 509, 523, 541, 547, 557, 563, 587, 613, 619, 653, 659, 661, 677, 701, 709, 757, 773, 787, 797, 821, 827, 829, 853, 859, 877, 883, 907, 941, 947, ... (sekvence A001122 v OEIS )

U těchto prvočísel je 2 a primitivní kořen modulo p, takže 2ⁿ modulo p může být jakékoli přirozené číslo mezi 1 a p − 1.

${ displaystyle a (i) = 2 ^ {i} ~ { bmod {p}} ~ { bmod {2}}}$

Tyto sledy období p - 1 má autokorelační funkci, která má záporný vrchol -1 pro posun o ${ displaystyle (p-1) / 2}$. Náhodnost těchto sekvencí byla zkoumána pomocí tvrdé testy.^[2]

Všechny mají formu 8k + 3 nebo 8k + 5, protože pokud p = 8k + 1 nebo 8k + 7, pak 2 je a kvadratický zbytek modulo p, tak p rozděluje ${ displaystyle 2 ^ {(p-1) / 2} -1}$a období ${ displaystyle 1 / p}$ v základně 2 se musí rozdělit ${ displaystyle (p-1) / 2}$ a nemůže být p - 1, takže v základně 2 nejde o primární prvočísla.

Dále všichni bezpečné prvočísla shodné s 3 (mod 8) jsou plná reptend prvočísla v základně 2. Například 3, 11, 59, 83, 107, 179, 227, 347, 467, 563, 587, 1019, 1187, 1283, 1307, 1523, 1619, 1907 atd. (Méně než 2000)

Binární plné reptendové primární sekvence (nazývané také desítkové sekvence s maximální délkou) našly kryptografické aplikace a aplikace pro korekci chyb.^[3] V těchto aplikacích se obecně používají opakující se desetinná místa na bázi 2, což vede k binárním sekvencím. Maximální binární sekvence pro ${ displaystyle 1 / p}$ (když 2 je primitivní kořen p) darováno:^[4]

Následuje seznam period (v binárních) k prvočíslům shodným s 1 nebo 7 (mod 8): (méně než 1000)

Žádný z nich jsou binární prvočísla plná reptend.

Binární období nth prime jsou

2, 4, 3, 10, 12, 8, 18, 11, 28, 5, 36, 20, 14, 23, 52, 58, 60, 66, 35, 9, 39, 82, 11, 48, 100, 51, 106, 36, 28, 7, 130, 68, 138, 148, 15, 52, 162, 83, 172, 178, 180, 95, 96, 196, 99, 210, 37, 226, 76, 29, 119, 24, 50, 16, 131, 268, 135, 92, 70, 94, 292, 102, 155, 156, 316, 30, 21, 346, 348, 88, 179, 183, 372, 378, 191, 388, 44, ... (tato sekvence začíná v n = 2 nebo prime = 3) (sekvence A014664 v OEIS )

Úroveň binárního období nth prime jsou

1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 6, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 8, 2, 1, 8, 2, 1, 2, 1, 3, 4, 18, 1, 2, 1, 1, 10, 3, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 6, 1, 3, 8, 2, 10, 5, 16, 2, 1, 2, 3, 4, 3, 1, 3, 2, 2, 1, 11, 16, 1, 1, 4, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 9, 2, 2, 1, 1, 10, 6, 6, 1, 2, 6, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 3, 2, 1, 2, 1, 1, .. (sekvence A001917 v OEIS )

Studie to však ukazují tři čtvrtiny prvočísel formuláře 8k+n, kde n ∈ {3, 5} jsou plně připravená prvočísla v základně 2 (Například existuje 87 prvočísel pod 1000 shodných se 3 nebo 5 (mod 8), a 67 z nich je plně využívaných prvočísel v základně 2, to je celkem 77%). U některých sekvencí je převaha úplných prvočíselných prvočísel mnohem větší. Například 1078 ze 1206 prvočísel formy 24k+5 pod 100 000 jsou základní odměny za reptend v základně 2, přičemž 1013 je první, která není plná za odměnu v základně 2.

n-th level reptend prime

An n-th level reptend prime je prime p mít n různé cykly v expanzích ${ displaystyle { frac {k} {p}}}$ (k je celé číslo, 1 ≤ k ≤ p-1). V základně 10, nejmenší n-th level reptend prime jsou

7, 3, 103, 53, 11, 79, 211, 41, 73, 281, 353, 37, 2393, 449, 3061, 1889, 137, 2467, 16189, 641, 3109, 4973, 11087, 1321, 101, 7151, 7669, 757, 38629, 1231, 49663, 12289, 859, 239, 27581, 9613, 18131, 13757, 33931, 9161, 118901, 6763, 18233, 1409, 88741, 4003, 5171, 19489, 86143, 23201, ... (sekvence A054471 v OEIS )

V základně 2, nejmenší n-th level reptend prime jsou

3, 7, 43, 113, 251, 31, 1163, 73, 397, 151, 331, 1753, 4421, 631, 3061, 257, 1429, 127, 6043, 3121, 29611, 1321, 18539, 601, 15451, 14327, 2971, 2857, 72269, 3391, 683, 2593, 17029, 2687, 42701, 11161, 13099, 1103, 71293, 13121, 17467, 2143, 83077, 25609, 5581, 5153, 26227, 2113, 51941, 2351, ... (sekvence A101208 v OEIS )

Plná reptendová prvočísla na různých základnách

Artin také předpokládal:

• Ve všech základnách kromě je nekonečně mnoho prvočíselných prvočísel čtverce.
• Full-reptend připraví ve všech základnách kromě dokonalé síly a čísla, jejichž bez čtverce část odpovídá 1 až mod 4, který zahrnuje 37 395 ...% všech prvočísel. (Vidět OEIS: A085397)

Nejmenší plně reptend připraví v základně n jsou (0, pokud takové prvočíslo neexistuje)

2, 3, 2, 0, 2, 11, 2, 3, 2, 7, 2, 5, 2, 3, 2, 0, 2, 5, 2, 3, 2, 5, 2, 7, 2, 3, 2, 5, 2, 11, 2, 3, 2, 19, 2, 0, 2, 3, 2, 7, 2, 5, 2, 3, 2, 11, 2, 5, 2, 3, 2, 5, 2, 7, 2, 3, 2, 5, 2, 19, 2, 3, 2, 0, 2, 7, 2, 3, 2, 19, 2, 5, 2, 3, 2, 13, 2, 5, 2, 3, 2, 5, 2, 11, 2, 3, 2, 5, 2, 11, 2, 3, 2, 7, 2, 7, 2, 3, 2, 0, ... (sekvence A056619 v OEIS )

Viz také

• Opakování desetinného místa

Reference

• Weisstein, Eric W. "Artinova konstanta". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. „Full Reptend Prime“. MathWorld.
• Conway, J. H. a Guy, R. K.. Kniha čísel. New York: Springer-Verlag, 1996.
• Francis, Richard L .; „Matematické stohy sena: Další pohled na čísla znovusjednocení“; v The College Mathematics Journal, Sv. 19, č. 3. (květen 1988), s. 240–246.