Číslo Kaprekar - Kaprekar number

v matematika, a přirozené číslo v daném číselná základna je ${ displaystyle p}$ -Číslo Kaprekar pokud lze reprezentaci jejího čtverce v této základně rozdělit na dvě části, kde má druhá část ${ displaystyle p}$ číslice, které sčítají k původnímu číslu. Čísla jsou pojmenována po D. R. Kaprekar.

Definice a vlastnosti

Nechat ${ displaystyle n}$ být přirozené číslo. Definujeme Funkce Kaprekar pro základnu ${ displaystyle b> 1}$ a moc ${ displaystyle p> 0}$ ${ displaystyle F_ {p, b}: mathbb {N} rightarrow mathbb {N}}$ být následující:

{ displaystyle F_ {p, b} (n) = alpha + beta}

,

kde ${ displaystyle beta = n ^ {2} { bmod {b}} ^ {p}}$ a

{ displaystyle alpha = { frac {n ^ {2} - beta} {b ^ {p}}}}

Přirozené číslo ${ displaystyle n}$ je ${ displaystyle p}$ -Číslo Kaprekar pokud je to pevný bod pro ${ displaystyle F_ {p, b}}$ , který nastane, pokud ${ displaystyle F_ {p, b} (n) = n}$ . ${ displaystyle 0}$ a ${ displaystyle 1}$ jsou triviální čísla Kaprekar pro všechny ${ displaystyle b}$ a ${ displaystyle p}$ , všechna ostatní čísla Kaprekar jsou netriviální Kaprekarova čísla.

Například v základna 10, 45 je 2-Kaprekarovo číslo, protože

{ displaystyle beta = n ^ {2} { bmod {b}} ^ {p} = 45 ^ {2} { bmod {1}} 0 ^ {2} = 25}

{ displaystyle alpha = { frac {n ^ {2} - beta} {b ^ {p}}} = { frac {45 ^ {2} -25} {10 ^ {2}}} = 20 }

{ displaystyle F_ {2,10} (45) = alpha + beta = 20 + 25 = 45}

Přirozené číslo ${ displaystyle n}$ je společenské číslo Kaprekar pokud je to periodický bod pro ${ displaystyle F_ {p, b}}$ , kde ${ displaystyle F_ {p, b} ^ {k} (n) = n}$ pro pozitivní celé číslo ${ displaystyle k}$ (kde ${ displaystyle F_ {p, b} ^ {k}}$ je ${ displaystyle k}$ th opakovat z ${ displaystyle F_ {p, b}}$ ), a tvoří a cyklus období ${ displaystyle k}$ . Číslo Kaprekar je společenské číslo Kaprekar s ${ displaystyle k = 1}$ a přátelské Kaprekarovo číslo je společenské číslo Kaprekar s ${ displaystyle k = 2}$ .

Počet iterací ${ displaystyle i}$ potřebné pro ${ displaystyle F_ {p, b} ^ {i} (n)}$ dosažení pevného bodu je funkce Kaprekar vytrvalost z ${ displaystyle n}$ , a nedefinováno, pokud nikdy nedosáhne pevného bodu.

Existuje pouze konečný počet ${ displaystyle p}$ -Kaprekarova čísla a cykly pro danou základnu ${ displaystyle b}$ , protože jestli ${ displaystyle n = b ^ {p} + m}$ , kde ${ displaystyle m> 0}$ pak

${ displaystyle { begin {zarovnaný} n ^ {2} & = (b ^ {p} + m) ^ {2} & = b ^ {2p} + 2mb ^ {p} + m ^ {2} & = (b ^ {p} + 2 m) b ^ {p} + m ^ {2} konec {zarovnáno}}}$

a ${ displaystyle beta = m ^ {2}}$ , ${ displaystyle alpha = b ^ {p} + 2 m}$ , a ${ displaystyle F_ {p, b} (n) = b ^ {p} + 2m + m ^ {2} = n + (m ^ {2} + m)> n}$ . Pouze když ${ displaystyle n leq b ^ {p}}$ existují Kaprekarova čísla a cykly.

Li ${ displaystyle d}$ je jakýkoli dělitel ${ displaystyle p}$ , pak ${ displaystyle n}$ je také a ${ displaystyle p}$ -Kaprekarovo číslo pro základnu ${ displaystyle b ^ {p}}$ .

V základně ${ displaystyle b = 2}$ dokonce všechny perfektní čísla jsou čísla Kaprekar. Obecněji libovolná čísla formuláře ${ displaystyle 2 ^ {n} (2 ^ {n + 1} -1)}$ nebo ${ displaystyle 2 ^ {n} (2 ^ {n + 1} +1)}$ pro přirozené číslo ${ displaystyle n}$ jsou čísla Kaprekar v základna 2.

Set-teoretická definice a jednotné dělitele

Můžeme definovat množinu ${ displaystyle K (N)}$ pro dané celé číslo ${ displaystyle N}$ jako množina celých čísel ${ displaystyle X}$ pro které existují přirozená čísla ${ displaystyle A}$ a ${ displaystyle B}$ uspokojení Diophantine rovnice^[1]

{ displaystyle X ^ {2} = AN + B}

, kde

{ displaystyle 0 leq B

{ displaystyle X = A + B}

An ${ displaystyle n}$ -Kaprekarovo číslo pro základnu ${ displaystyle b}$ je pak ten, který leží v množině ${ displaystyle K (b ^ {n})}$ .

Ukázalo se to v roce 2000^[1] že existuje bijekce mezi unitární dělitelé z ${ displaystyle N-1}$ a sada ${ displaystyle K (N)}$ definované výše. Nechat ${ displaystyle { text {Inv}} (a, c)}$ označit multiplikativní inverzní z ${ displaystyle a}$ modulo ${ displaystyle c}$ , a to nejméně kladné celé číslo ${ displaystyle m}$ takhle ${ displaystyle am = 1 { bmod {c}}}$ a pro každého jednotného dělitele ${ displaystyle d}$ z ${ displaystyle N-1}$ nechat ${ displaystyle e = { frac {N-1} {d}}}$ a ${ displaystyle zeta (d) = d { text {Inv}} (d, e)}$ . Pak funkce ${ displaystyle zeta}$ je výpověď ze souboru nečleněných dělitelů ${ displaystyle N-1}$ na scénu ${ displaystyle K (N)}$ . Zejména číslo ${ displaystyle X}$ je v sadě ${ displaystyle K (N)}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle X = d { text {Inv}} (d, e)}$ pro nějakého unitárního dělitele ${ displaystyle d}$ z ${ displaystyle N-1}$ .

Čísla v ${ displaystyle K (N)}$ vyskytují se v doplňkových párech, ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle N-X}$ . Li ${ displaystyle d}$ je nečleněný dělitel ${ displaystyle N-1}$ tak to je ${ displaystyle e = { frac {N-1} {d}}}$ , a pokud ${ displaystyle X = d { text {Inv}} (d, e)}$ pak ${ displaystyle N-X = e { text {Inv}} (e, d)}$ .

Čísla Kaprekar pro ${ displaystyle F_ {p, b}}$

b = 4k + 3 a str = 2n + 1

Nechat ${ displaystyle k}$ a ${ displaystyle n}$ být přirozená čísla, číselná základna ${ displaystyle b = 4k + 3 = 2 (2k + 1) +1}$ , a ${ displaystyle p = 2n + 1}$ . Pak:

${ displaystyle X_ {1} = { frac {b ^ {p} -1} {2}} = (2k + 1) sum _ {i = 0} ^ {p-1} b ^ {i}}$ je číslo Kaprekar.

Důkaz —

Nechat

${ displaystyle { begin {zarovnáno} X_ {1} & = { frac {b ^ {p} -1} {2}} & = { frac {b-1} {2}} sum _ {i = 0} ^ {p-1} b ^ {i} & = { frac {4k + 3-1} {2}} sum _ {i = 0} ^ {2n + 1-1} b ^ {i} & = (2k + 1) sum _ {i = 0} ^ {2n} b ^ {i} end {zarovnáno}}}$

Pak,

${ displaystyle { begin {zarovnáno} X_ {1} ^ {2} & = left ({ frac {b ^ {p} -1} {2}} right) ^ {2} & = { frac {b ^ {2p} -2b ^ {p} +1} {4}} & = { frac {b ^ {p} (b ^ {p} -2) +1} {4}} & = { frac {(4k + 3) ^ {2n + 1} (b ^ {p} -2) +1} {4}} & = { frac {(4k + 3) ^ { 2n} (b ^ {p} -2) (4k + 4) - (4k + 3) ^ {2n} (b ^ {p} -2) +1} {4}} & = { frac { - (4k + 3) ^ {2n} (b ^ {p} -2) +1} {4}} + (k + 1) (4k + 3) ^ {2n} (b ^ {p} -2) & = { frac {- (4k + 3) ^ {2n-1} (b ^ {p} -2) (4k + 4) + (4k + 3) ^ {2n-1} (b ^ { p} -2) +1} {4}} + (k + 1) b ^ {2n} (b ^ {2n + 1} -2) & = { frac {(4k + 3) ^ {2n -1} (b ^ {p} -2) +1} {4}} + (k + 1) b ^ {2n} (b ^ {p} -2) - (k + 1) b ^ {2n- 1} (b ^ {2n + 1} -2) & = { frac {(4k + 3) ^ {p-2} (b ^ {p} -2) +1} {4}} + součet _ {i = p-2} ^ {p-1} (- 1) ^ {i} (k + 1) b ^ {i} (b ^ {p} -2) & = { frac { (4k + 3) ^ {p-2} (b ^ {p} -2) +1} {4}} + (b ^ {p} -2) (k + 1) sum _ {i = p- 2} ^ {p-1} (- 1) ^ {i} b ^ {i} & = { frac {(4k + 3) ^ {1} (b ^ {p} -2) +1} {4}} + (b ^ {p} -2) (k + 1) sum _ {i = 1} ^ {p-1} (- 1) ^ {i} b ^ {i} & = { frac {- (b ^ {p} -2) +1} {4}} + (b ^ {p} -2) (k + 1) sum _ {i = 0} ^ {p-1} (-1) ^ {i} b ^ {i} & = (b ^ {p} -2) (k + 1) left ( sum _ {i = 0} ^ {2n} (- 1) ^ {i} b ^ {i} right) + { frac {-b ^ {2n + 1} +3} {4}} & = (b ^ {p} -2) (k + 1) left ( sum _ {i = 0} ^ {2n} (- 1) ^ {i} b ^ {i} right) + { frac {-4b ^ {2n + 1} + 3b ^ { 2n + 1} +3} {4}} & = (b ^ {p} -2) (k + 1) left ( sum _ {i = 0} ^ {2n} (- 1) ^ { i} b ^ {i} right) -b ^ {p} + { frac {3b ^ {2n + 1} +3} {4}} & = (b ^ {p} -2) (k +1) left ( sum _ {i = 0} ^ {2n} (- 1) ^ {i} b ^ {i} right) -b ^ {p} + { frac {3 (4k + 3 ) ^ {p-2} +3} {4}} + 3 (k + 1) sum _ {i = p-2} ^ {p-1} (- 1) ^ {i} b ^ {i} & = (b ^ {p} -2) (k + 1) left ( sum _ {i = 0} ^ {2n} (- 1) ^ {i} b ^ {i} right) - b ^ {p} + { frac {3 (4k + 3) ^ {1} +3} {4}} + 3 (k + 1) sum _ {i = 1} ^ {p-1} (- 1) ^ {i} b ^ {i} & = (b ^ {p} -2) (k + 1) left ( sum _ {i = 0} ^ {2n} (- 1) ^ { i} b ^ {i} right) -b ^ {p} + { frac {-3 + 3} {4}} + 3 (k + 1) sum _ {i = 0} ^ {p-1 } (- 1) ^ {i} b ^ {i} & = (b ^ {p} -2) (k + 1) left ( sum _ {i = 0} ^ {2n} (- 1 ) ^ {i} b ^ {i} vpravo) +3 (k + 1) vlevo ( sum _ {i = 0} ^ {2n} (- 1) ^ {i} b ^ {i} vpravo ) -b ^ {p} & = (b ^ {p} -2 + 3) (k + 1) left ( sum _ {i = 0} ^ {2n} (- 1) ^ {i} b ^ {i} right) -b ^ {p} & = (b ^ {p} +1) (k + 1) left ( sum _ {i = 0} ^ {2n} (- 1 ) ^ {i} b ^ {i} vpravo) -b ^ {p} & = (b ^ {p} +1) vlevo (-1+ (k + 1) součet _ {i = 0 } ^ {2n} (- 1) ^ {i} b ^ {i} vpravo) +1 & = (b ^ {p} +1) vlevo (k + (k + 1) součet _ {i = 1} ^ {2n} (- 1) ^ {i} b ^ {i} vpravo) +1 & = (b ^ {p} +1) vlevo (k + (k + 1) součet _ {i = 1} ^ {n} b ^ {2i} -b ^ {2i-1} vpravo) +1 & = (b ^ {p} +1) vlevo (k + (k + 1) součet _ {i = 1} ^ {n} (b-1) b ^ {2i-1} vpravo) +1 & = (b ^ {p} +1) left (k + sum _ {i = 1} ^ {n} ((k + 1) bk-1) b ^ {2i-1} right) +1 & = ( b ^ {p} +1) left (k + sum _ {i = 1} ^ {n} (kb + (4k + 3) -k-1) b ^ {2i-1} right) +1 & = (b ^ {p} +1) left (k + sum _ {i = 1} ^ {n} (kb + (3k + 2)) b ^ {2i-1} right) +1 & = b ^ {p} left (k + sum _ {i = 1} ^ {n} (kb + (3k + 2)) b ^ {2i-1} right) + left (k + 1 + sum _ {i = 1} ^ {n} (kb + (3k + 2)) b ^ {2i-1} right) end {zarovnáno}}}$

Ta dvě čísla ${ displaystyle alpha}$ a ${ displaystyle beta}$ jsou

{ displaystyle beta = X_ {1} ^ {2} { bmod {b}} ^ {p} = k + 1 + součet _ {i = 1} ^ {n} (kb + (3k + 2)) b ^ {2i-1}}

{ displaystyle alpha = { frac {X_ {1} ^ {2} - beta} {b ^ {p}}} = k + součet _ {i = 1} ^ {n} (kb + (3k + 2 )) b ^ {2i-1}}

a jejich součet je

${ displaystyle { begin {zarovnaný} alpha + beta & = left (k + sum _ {i = 1} ^ {n} (kb + (3k + 2)) b ^ {2i-1} right) + left (k + 1 + sum _ {i = 1} ^ {n} (kb + (3k + 2)) b ^ {2i-1} right) & = 2k + 1 + sum _ { i = 1} ^ {n} ((2k) b + 2 (3k + 2)) b ^ {2i-1} & = 2k + 1 + sum _ {i = 1} ^ {n} (( 2k) b + (6k + 4)) b ^ {2i-1} & = 2k + 1 + sum _ {i = 1} ^ {n} ((2k) b + (4k + 3)) b ^ { 2i-1} + (2k + 1) b ^ {2i-1} & = 2k + 1 + sum _ {i = 1} ^ {n} ((2k + 1) b) b ^ {2i- 1} + (2k + 1) b ^ {2i-1} & = 2k + 1 + sum _ {i = 1} ^ {n} (2k + 1) b ^ {2i} + (2k + 1 ) b ^ {2i-1} & = 2k + 1 + sum _ {i = 1} ^ {2n} (2k + 1) b ^ {i} & = sum _ {i = 0} ^ {2n} (2k + 1) b ^ {i} & = (2k + 1) sum _ {i = 0} ^ {2n} b ^ {i} & = X_ {1} end {zarovnáno}}}$

Tím pádem, ${ displaystyle X_ {1}}$ je číslo Kaprekar.

${ displaystyle X_ {2} = { frac {b ^ {p} +1} {2}} = X_ {1} +1}$ je číslo Kaprekar pro všechna přirozená čísla ${ displaystyle n}$ .

Důkaz —

Nechat

${ displaystyle { begin {zarovnáno} X_ {2} & = { frac {b ^ {2n + 1} +1} {2}} & = { frac {b ^ {2n + 1} -1 } {2}} + 1 & = X_ {1} +1 konec {zarovnáno}}}$

Pak,

${ displaystyle { begin {zarovnáno} X_ {2} ^ {2} & = (X_ {1} +1) ^ {2} & = X_ {1} ^ {2} + 2X_ {1} +1 & = X_ {1} ^ {2} + 2X_ {1} +1 & = b ^ {p} left (k + sum _ {i = 1} ^ {n} (kb + (3k + 2 )) b ^ {2i-1} vpravo) + vlevo (k + 1 + součet _ {i = 1} ^ {n} (kb + (3k + 2)) b ^ {2i-1} vpravo) + b ^ {p} -1 + 1 & = b ^ {p} left (k + 1 + sum _ {i = 1} ^ {n} (kb + (3k + 2)) b ^ {2i -1} right) + left (k + 1 + sum _ {i = 1} ^ {n} (kb + (3k + 2)) b ^ {2i-1} right) end {zarovnáno }}}$

Ta dvě čísla ${ displaystyle alpha}$ a ${ displaystyle beta}$ jsou

{ displaystyle beta = X_ {2} ^ {2} { bmod {b}} ^ {p} = k + 1 + součet _ {i = 1} ^ {n} (kb + (3k + 2)) b ^ {2i-1}}

{ displaystyle alpha = { frac {X_ {2} ^ {2} - beta} {b ^ {p}}} = k + 1 + součet _ {i = 1} ^ {n} (kb + ( 3k + 2)) b ^ {2i-1}}

a jejich součet je

${ displaystyle { begin {zarovnáno} alpha + beta & = left (k + 1 + sum _ {i = 1} ^ {n} (kb + (3k + 2)) b ^ {2i-1} right) + left (k + 1 + sum _ {i = 1} ^ {n} (kb + (3k + 2)) b ^ {2i-1} right) & = 2k + 2 + součet _ {i = 1} ^ {n} ((2k) b + 2 (3k + 2)) b ^ {2i-1} & = 2k + 2 + sum _ {i = 1} ^ {n } ((2k) b + (6k + 4)) b ^ {2i-1} & = 2k + 2 + sum _ {i = 1} ^ {n} ((2k) b + (4k + 3)) b ^ {2i-1} + (2k + 1) b ^ {2i-1} & = 2k + 2 + sum _ {i = 1} ^ {n} ((2k + 1) b) b ^ {2i-1} + (2k + 1) b ^ {2i-1} & = 2k + 2 + sum _ {i = 1} ^ {n} (2k + 1) b ^ {2i} + ( 2k + 1) b ^ {2i-1} & = 2k + 2 + sum _ {i = 1} ^ {2n} (2k + 1) b ^ {i} & = 1+ sum _ {i = 0} ^ {2n} (2k + 1) b ^ {i} & = 1+ (2k + 1) sum _ {i = 0} ^ {2n} b ^ {i} & = 1 + X_ {1} & = X_ {2} konec {zarovnáno}}}$

Tím pádem, ${ displaystyle X_ {2}}$ je číslo Kaprekar.

b = m²k + m + 1 a str = mn + 1

Nechat ${ displaystyle m}$ , ${ displaystyle k}$ , a ${ displaystyle n}$ být přirozená čísla, číselná základna ${ displaystyle b = m ^ {2} k + m + 1}$ a síla ${ displaystyle p = mn + 1}$ . Pak:

${ displaystyle X_ {1} = { frac {b ^ {p} -1} {m}} = (mk + 1) sum _ {i = 0} ^ {p-1} b ^ {i}}$ je číslo Kaprekar.
${ displaystyle X_ {2} = { frac {b ^ {p} + m-1} {m}} = X_ {1} +1}$ je číslo Kaprekar.

b = m²k + m + 1 a str = mn + m - 1

Nechat ${ displaystyle m}$ , ${ displaystyle k}$ , a ${ displaystyle n}$ být přirozená čísla, číselná základna ${ displaystyle b = m ^ {2} k + m + 1}$ a síla ${ displaystyle p = mn + m-1}$ . Pak:

${ displaystyle X_ {1} = { frac {m (b ^ {p} -1)} {4}} = (m-1) (mk + 1) součet _ {i = 0} ^ {p- 1} b ^ {i}}$ je číslo Kaprekar.
${ displaystyle X_ {2} = { frac {mb ^ {p} +1} {4}} = X_ {3} +1}$ je číslo Kaprekar.

b = m²k + m² - m + 1 a str = mn + 1

Nechat ${ displaystyle m}$ , ${ displaystyle k}$ , a ${ displaystyle n}$ být přirozená čísla, číselná základna ${ displaystyle b = m ^ {2} k + m ^ {2} -m + 1}$ a síla ${ displaystyle p = mn + m-1}$ . Pak:

${ displaystyle X_ {1} = { frac {(m-1) (b ^ {p} -1)} {m}} = (m-1) (mk + 1) součet _ {i = 0} ^ {p-1} b ^ {i}}$ je číslo Kaprekar.
${ displaystyle X_ {2} = { frac {(m-1) b ^ {p} +1} {m}} = X_ {1} +1}$ je číslo Kaprekar.

b = m²k + m² - m + 1 a str = mn + m - 1

Nechat ${ displaystyle m}$ , ${ displaystyle k}$ , a ${ displaystyle n}$ být přirozená čísla, číselná základna ${ displaystyle b = m ^ {2} k + m ^ {2} -m + 1}$ a síla ${ displaystyle p = mn + m-1}$ . Pak:

${ displaystyle X_ {1} = { frac {b ^ {p} -1} {m}} = (mk + 1) sum _ {i = 0} ^ {p-1} b ^ {i}}$ je číslo Kaprekar.
${ displaystyle X_ {2} = { frac {b ^ {p} + m-1} {m}} = X_ {3} +1}$ je číslo Kaprekar.

Kaprekarova čísla a cykly ${ displaystyle F_ {p, b}}$ pro konkrétní ${ displaystyle p}$ , ${ displaystyle b}$

Všechna čísla jsou v základně ${ displaystyle b}$ .

Základna ${ displaystyle b}$	Napájení ${ displaystyle p}$	Netriviální čísla Kaprekar ${ displaystyle n neq 0}$ , ${ displaystyle n neq 1}$	Cykly
2	1	10	${ displaystyle varnothing}$
3	1	2, 10	${ displaystyle varnothing}$
4	1	3, 10	${ displaystyle varnothing}$
5	1	4, 5, 10	${ displaystyle varnothing}$
6	1	5, 6, 10	${ displaystyle varnothing}$
7	1	3, 4, 6, 10	${ displaystyle varnothing}$
8	1	7, 10	2 → 4 → 2
9	1	8, 10	${ displaystyle varnothing}$
10	1	9, 10	${ displaystyle varnothing}$
11	1	5, 6, A, 10	${ displaystyle varnothing}$
12	1	B, 10	${ displaystyle varnothing}$
13	1	4, 9, C, 10	${ displaystyle varnothing}$
14	1	D, 10	${ displaystyle varnothing}$
15	1	7, 8, E, 10	2 → 4 → 2 9 → B → 9
16	1	6, A, F, 10	${ displaystyle varnothing}$
2	2	11	${ displaystyle varnothing}$
3	2	22, 100	${ displaystyle varnothing}$
4	2	12, 22, 33, 100	${ displaystyle varnothing}$
5	2	14, 31, 44, 100	${ displaystyle varnothing}$
6	2	23, 33, 55, 100	15 → 24 → 15 41 → 50 → 41
7	2	22, 45, 66, 100	${ displaystyle varnothing}$
8	2	34, 44, 77, 100	4 → 20 → 4 11 → 22 → 11 45 → 56 → 45
2	3	111, 1000	10 → 100 → 10
3	3	111, 112, 222, 1000	10 → 100 → 10
2	4	110, 1010, 1111, 10000	${ displaystyle varnothing}$
3	4	121, 2102, 2222, 10000	${ displaystyle varnothing}$
2	5	11111, 100000	10 → 100 → 10000 → 1000 → 10 111 → 10010 → 1110 → 1010 → 111
3	5	11111, 22222, 100000	10 → 100 → 10000 → 1000 → 10
2	6	11100, 100100, 111111, 1000000	100 → 10000 → 100 1001 → 10010 → 1001 100101 → 101110 → 100101
3	6	10220, 20021, 101010, 121220, 202202, 212010, 222222, 1000000	100 → 10000 → 100 122012 → 201212 → 122012
2	7	1111111, 10000000	10 → 100 → 10000 → 10 1000 → 1000000 → 100000 → 1000 100110 → 101111 → 110010 → 1010111 → 1001100 → 111101 → 100110
3	7	1111111, 1111112, 2222222, 10000000	10 → 100 → 10000 → 10 1000 → 1000000 → 100000 → 1000 1111121 → 1111211 → 1121111 → 1111121
2	8	1010101, 1111000, 10001000, 10101011, 11001101, 11111111, 100000000	${ displaystyle varnothing}$
3	8	2012021, 10121020, 12101210, 21121001, 20210202, 22222222, 100000000	${ displaystyle varnothing}$
2	9	10010011, 101101101, 111111111, 1000000000	10 → 100 → 10000 → 100000000 → 10000000 → 100000 → 10 1000 → 1000000 → 1000 10011010 → 11010010 → 10011010

Rozšíření na záporná celá čísla

Čísla Kaprekar lze rozšířit na záporná celá čísla pomocí a podepsané číslice reprezentovat každé celé číslo.

Programovací cvičení

Následující příklad implementuje funkci Kaprekar popsanou ve výše uvedené definici hledat čísla a cykly Kaprekar v Krajta.

def kaprekarf(X: int, str: int, b: int) -> int:    beta = prášek(X, 2) % prášek(b, str)    alfa = (prášek(X, 2) - beta) // prášek(b, str)    y = alfa + beta    vrátit se ydef kaprekarf_cycle(X: int, str: int, b: int) -> Seznam[int]:    vidět = []    zatímco X < prášek(b, str) a X ne v vidět:        vidět.připojit(X)        X = kaprekarf(X, str, b)    -li X > prášek(b, str):        vrátit se []    cyklus = []    zatímco X ne v cyklus:        cyklus.připojit(X)        X = kaprekarf(X, str, b)    vrátit se cyklus

Viz také

Poznámky

^ ^A ^b Iannucci (2000 )

Reference

D. R. Kaprekar (1980–1981). "Na číslach Kaprekar". Časopis rekreační matematiky. 13: 81–82.
M. Charosh (1981–1982). Msgstr "Některé aplikace vyhazování 999 ...". Časopis rekreační matematiky. 14: 111–118.
Iannucci, Douglas E. (2000). "Kaprekarova čísla". Journal of Integer Sequences. 3: 00.1.2.CS1 maint: ref = harv (odkaz)

[iannucci-1] A ^b Iannucci (2000 )

[1]