Superperfektní číslo - Superperfect number

V matematice, a superperfektní číslo je pozitivní celé číslo n to uspokojuje

${ displaystyle sigma ^ {2} (n) = sigma ( sigma (n)) = 2n ,,}$

kde σ je funkce součtu dělitele. Superperfektní čísla jsou zobecněním perfektní čísla. Termín vytvořil D. Suryanarayana (1969).^[1]

Prvních pár superperfektních čísel je:

2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144, 1073741824, ... (sekvence A019279 v OEIS ).

Pro ilustraci: je vidět, že 16 je superperfektní číslo jako σ (16) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 a σ (31) = 1 + 31 = 32, tedy σ (σ (16) ) = 32 = 2 × 16.

Li n je dokonce superperfektní číslo n musí být síla 2, 2^k, tak, že 2^k+1 - 1 je a Mersenne prime.^[1][2]

Není známo, zda existují zvláštní superperfektní čísla. Zvláštní superperfektní číslo n muselo by to být druhé číslo n nebo σ (n) je dělitelný nejméně třemi různými prvočísly. ^[2] Pod 7 nejsou žádná lichá superperfektní čísla×10²⁴.^[1]

Zobecnění

Dokonalá a dokonalá čísla jsou příklady širší třídy m-superperfect čísla, která uspokojí

${ displaystyle sigma ^ {m} (n) = 2n,}$

souhlasí s m= 1, respektive 2. Pro m ≥ 3 nejsou žádné sudé m-superperfect čísla.^[1]

The m-superperfect čísla jsou zase příklady (m,k) - dokonalá čísla, která uspokojí^[3]

${ displaystyle sigma ^ {m} (n) = kn ,.}$

S touto notací jsou dokonalá čísla (1,2) dokonalá, vícenásobná čísla jsou (1,k) -perfektní, superperfektní čísla jsou (2,2) -perfektní a m-superperfect čísla jsou (m, 2) - perfektní.^[4] Příklady tříd (m,k) - dokonalá čísla jsou:

m	k	(m,k) - dokonalá čísla	OEIS sekvence
2	2	2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144	A019279
2	3	8, 21, 512	A019281
2	4	15, 1023, 29127	A019282
2	6	42, 84, 160, 336, 1344, 86016, 550095, 1376256, 5505024	A019283
2	7	24, 1536, 47360, 343976	A019284
2	8	60, 240, 960, 4092, 16368, 58254, 61440, 65472, 116508, 466032, 710400, 983040, 1864128, 3932160, 4190208, 67043328, 119304192, 268173312, 1908867072	A019285
2	9	168, 10752, 331520, 691200, 1556480, 1612800, 106151936	A019286
2	10	480, 504, 13824, 32256, 32736, 1980342, 1396617984, 3258775296	A019287
2	11	4404480, 57669920, 238608384	A019288
2	12	2200380, 8801520, 14913024, 35206080, 140896000, 459818240, 775898880, 2253189120	A019289
3	žádný	12, 14, 24, 52, 98, 156, 294, 684, 910, 1368, 1440, 4480, 4788, 5460, 5840, ...	A019292
4	žádný	2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 18, 21, 24, 26, 32, 39, 42, 60, 65, 72, 84, 96, 160, 182, ...	A019293

Poznámky

Reference