Aritmetická funkce - Arithmetic function

tento článek je v seznam formát, ale může číst lépe jako próza. Můžete pomoci převod tohoto článku, Pokud je to vhodné. Nápověda pro úpravy je k dispozici. (Červenec 2020)

v teorie čísel, an aritmetický, aritmetickýnebo číselně-teoretická funkce^[1][2] je pro většinu autorů^[3][4][5] žádný funkce F(n) jehož doménou je kladná celá čísla a jehož rozsah je a podmnožina z komplexní čísla. Hardy & Wright zahrnuli do své definice požadavek, aby aritmetická funkce "vyjadřovala nějakou aritmetickou vlastnost n".^[6]

Příkladem aritmetické funkce je funkce dělitele jehož hodnota je kladné celé číslo n se rovná počtu dělitelů n.

Existuje větší třída číselně teoretických funkcí, které neodpovídají výše uvedené definici, například funkce počítání prvočísel. Tento článek poskytuje odkazy na funkce obou tříd.

Mnoho funkcí zmíněných v tomto článku má rozšíření jako série zahrnující tyto součty; viz článek Ramanujanova suma například.

Multiplikativní a aditivní funkce

Aritmetická funkce A je

• zcela aditivní -li A(mn) = A(m) + A(n) pro všechna přirozená čísla m a n;
• zcela multiplikativní -li A(mn) = A(m)A(n) pro všechna přirozená čísla m a n;

Dvě celá čísla m a n jsou nazývány coprime pokud jejich největší společný dělitel je 1, tj. pokud není prvočíslo který je rozděluje.

Pak aritmetická funkce A je

• přísada -li A(mn) = A(m) + A(n) pro všechna přirozená čísla coprime m a n;
• multiplikativní -li A(mn) = A(m)A(n) pro všechna přirozená čísla coprime m a n.

Zápis

${displaystyle sum _ {p} f (p)}$ a ${displaystyle prod _ {p} f (p)}$ znamenají, že součet nebo produkt je nade vše prvočísla:

${displaystyle sum _ {p} f (p) = f (2) + f (3) + f (5) + cdots}$

${displaystyle prod _ {p} f (p) = f (2) f (3) f (5) cdots.}$

Podobně, ${displaystyle sum _ {p ^ {k}} f (p ^ {k})}$ a ${displaystyle prod _ {p ^ {k}} f (p ^ {k})}$ znamenají, že součet nebo produkt je nade vše hlavní síly s přísně kladným exponentem (tzv k = 0 není zahrnuto):

${displaystyle sum _ {p ^ {k}} f (p ^ {k}) = součet _ {p} součet _ {k> 0} f (p ^ {k}) = f (2) + f (3) + f (4) + f (5) + f (7) + f (8) + f (9) + cdots}$

${displaystyle sum _ {dmid n} f (d)}$ a ${displaystyle prod _ {dmid n} f (d)}$ znamená, že součet nebo součin převyšuje všechny kladné dělitele n, včetně 1 a n. Například pokud n = 12,

${displaystyle prod _ {dmid 12} f (d) = f (1) f (2) f (3) f (4) f (6) f (12). }$

Zápisy lze kombinovat: ${displaystyle sum _ {pmid n} f (p)}$ a ${displaystyle prod _ {pmid n} f (p)}$ znamenají, že součet nebo produkt přesahuje všechny hlavní dělitele n. Například pokud n = 18,

${displaystyle sum _ {pmid 18} f (p) = f (2) + f (3),}$

a podobně ${displaystyle sum _ {p ^ {k} mid n} f (p ^ {k})}$ a ${displaystyle prod _ {p ^ {k} mid n} f (p ^ {k})}$ znamenají, že součet nebo součin převyšuje dělení všech hlavních mocností n. Například pokud n = 24,

${displaystyle prod _ {p ^ {k} střední 24} f (p ^ {k}) = f (2) f (3) f (4) f (8). }$

Ω (n), ω(n), ν_p(n) - rozklad hlavní energie

The základní teorém aritmetiky uvádí, že jakékoli kladné celé číslo n lze jednoznačně reprezentovat jako produkt pravomocí prvočísel: ${displaystyle n = p_ {1} ^ {a_ {1}} cdots p_ {k} ^ {a_ {k}}}$ kde p₁ < p₂ < ... < p_k jsou prvočísla a A_j jsou kladná celá čísla. (1 je dán prázdným produktem.)

Často je vhodné psát to jako nekonečný součin přes všechna prvočísla, kde všichni kromě konečného čísla mají nulový exponent. Definujte p-adické ocenění ν_p(n) být exponentem nejvyšší síly prvočísla p který rozděluje n. To je, pokud p jeden z p_i pak ν_p(n) = A_i, jinak je nula. Pak

${displaystyle n = prod _ {p} p ^ {u _ {p} (n)}.}$

Z hlediska výše uvedeného hlavní omega funkce ω a Ω jsou definovány pomocí

ω(n) = k,

Ω (n) = A₁ + A₂ + ... + A_k.

Aby se zabránilo opakování, kdykoli je to možné, vzorce pro funkce uvedené v tomto článku jsou uvedeny v termínech n a odpovídající p_i, A_i, ω a Ω.

Multiplikativní funkce

σ_k(n), τ (n), d(n) - dělitelské částky

σ_k(n) je součet ksíly kladných dělitelů n, včetně 1 a n, kde k je komplexní číslo.

σ₁(n), součet (kladných) dělitelů n, je obvykle označeno σ (n).

Protože kladné číslo k nulové síle je jedna, σ₀(n) je tedy počet (kladných) dělitelů n; to je obvykle označeno d(n) nebo τ (n) (pro Němce Teiler = dělitelé).

${displaystyle sigma _ {k} (n) = prod _ {i = 1} ^ {omega (n)} {frac {p_ {i} ^ {(a_ {i} +1) k} -1} {p_ { i} ^ {k} -1}} = prod _ {i = 1} ^ {omega (n)} vlevo (1 + p_ {i} ^ {k} + p_ {i} ^ {2k} + cdots + p_ {i} ^ {a_ {i} k} ight).}$

Nastavení k = 0 v druhém produktu dává

${displaystyle au (n) = d (n) = (1 + a_ {1}) (1 + a_ {2}) cdots (1 + a_ {omega (n)}).}$

φ (n) - Funkce Euler totient

φ (n), funkce Eulerova totientu, není počet kladných celých čísel větší než n které jsou coprime n.

${displaystyle varphi (n) = nprod _ {pmid n} left (1- {frac {1} {p}} ight) = nleft ({frac {p_ {1} -1} {p_ {1}}} ight) left ({frac {p_ {2} -1} {p_ {2}}} ight) cdots left ({frac {p_ {omega (n)} - 1} {p_ {omega (n)}}} ight). }$

J_k(n) - Jordan totient funkce

J_k(n), funkce Jordan totient, je počet k-tuples kladných celých čísel, všechna menší nebo stejná n které tvoří coprime (k + 1) -tuple spolu s n. Je to zobecnění Eulerova totientu, φ (n) = J₁(n).

${displaystyle J_ {k} (n) = n ^ {k} prod _ {pmid n} left (1- {frac {1} {p ^ {k}}} ight) = n ^ {k} left ({frac {p_ {1} ^ {k} -1} {p_ {1} ^ {k}}} vpravo) ({frac {p_ {2} ^ {k} -1} {p_ {2} ^ {k} }} ight) cdots left ({frac {p_ {omega (n)} ^ {k} -1} {p_ {omega (n)} ^ {k}}} ight).}$

μ (n) - Möbiova funkce

μ (n), Möbiova funkce, je důležitá z důvodu Möbiova inverze vzorec. Vidět Dirichletova konvoluce níže.

${displaystyle mu (n) = {egin {cases} (- 1) ^ {omega (n)} = (- 1) ^ {Omega (n)} & {ext {if}}; omega (n) = Omega ( n) 0 & {ext {if}}; omega (n) eq Omega (n). end {cases}}}$

To znamená, že μ (1) = 1. (Protože Ω (1) = ω (1) = 0.)

τ (n) - Funkce Ramanujan tau

τ (n), funkce Ramanujan tau, je definována její generující funkce identita:

${displaystyle sum _ {ngeq 1} au (n) q ^ {n} = qprod _ {ngeq 1} (1-q ^ {n}) ^ {24}.}$

I když je těžké přesně říci, jaké „aritmetické vlastnosti n"to" vyjadřuje ",^[7] (τ(n) je (2π)⁻¹² krát nFourierův koeficient v q-expanze z modulární diskriminátor funkce)^[8] je zahrnut mezi aritmetické funkce, protože je multiplikativní a vyskytuje se v identitách zahrnujících určité σ_k(n) a r_k(n) funkce (protože to jsou také koeficienty při rozšiřování modulární formy ).

C_q(n) - Ramanujanův součet

C_q(n), Ramanujanův součet, je součet nth síly primitiv qth kořeny jednoty:

${displaystyle c_ {q} (n) = součet _ {stackrel {1leq aleq q} {gcd (a, q) = 1}} e ^ {2pi i {frac {a} {q}} n}.}$

I když je definován jako součet komplexních čísel (pro většinu hodnot iracionální) q), je to celé číslo. Pro pevnou hodnotu n je multiplikativní v q:

Li q a r jsou coprime, pak ${displaystyle c_ {q} (n) c_ {r} (n) = c_ {qr} (n).}$

ψ(n) - Funkce Dedekind psi

The Funkce Dedekind psi, použitý v teorii modulární funkce, je definován vzorcem

${displaystyle psi (n) = nprod _ {p | n} vlevo (1+ {frac {1} {p}} vpravo).}$

Zcela multiplikativní funkce

λ (n) - Liouvilleova funkce

λ(n), funkce Liouville, je definována

${displaystyle lambda (n) = (- 1) ^ {Omega (n)}.}$

χ(n) - postavy

Všechno Dirichletovy postavy χ(n) jsou zcela multiplikativní. Dvě postavy mají speciální notace:

The hlavní postava (mod n) je označen χ₀(A) (nebo χ₁(A)). Je definován jako

${displaystyle chi _ {0} (a) = {egin {cases} 1 & {ext {if}} gcd (a, n) = 1, 0 & {ext {if}} gcd (a, n) eq 1.end {případy}}}$

The kvadratický znak (mod n) je označen Jacobi symbol pro liché n (není definován pro sudé n.):

${displaystyle {Bigg (} {frac {a} {n}} {Bigg)} = left ({frac {a} {p_ {1}}} ight) ^ {a_ {1}} left ({frac {a} {p_ {2}}} ight) ^ {a_ {2}} cdots left ({frac {a} {p_ {omega (n)}}} ight) ^ {a_ {omega (n)}}.}$

V tomto vzorci ${displaystyle ({frac {a} {p}})}$ je Legendární symbol, definované pro všechna celá čísla A a všechny liché prvočísla p podle

${displaystyle left ({frac {a} {p}} ight) = {egin {cases} ;;, 0 & {ext {if}} aequiv 0 {pmod {p}}, + 1 & {ext {if}} aot equiv 0 {pmod {p}} {ext {a pro celé číslo}} x,; aequiv x ^ {2} {pmod {p}} - 1 & {ext {pokud takové}}} x.end {případy nejsou }}}$

Podle běžné konvence pro prázdný produkt ${displaystyle left ({frac {a} {1}} ight) = 1.}$

Doplňkové funkce

ω(n) - odlišné hlavní dělitele

ω (n), definovaný výše jako počet různých dělení prvočísel n, je aditivní (viz Aktivujte funkci omega ).

Zcela doplňkové funkce

Ω (n) - hlavní dělitelé

Ω (n), definovaný výše jako počet hlavních faktorů n počítáno s multiplicitou, je zcela aditivní (viz Aktivujte funkci omega ).

ν_p(n) – p-adické ocenění celého čísla n

Pro pevné prime p, ν_p(n), definovaný výše jako exponent největší síly p dělení n, je zcela aditivní.

Ani multiplikativní, ani aditivní

π(X), Π (X), θ(X), ψ(X) - funkce prime count

Tyto důležité funkce (které nejsou aritmetickými funkcemi) jsou definovány pro nezáporné reálné argumenty a používají se v různých příkazech a důkazech věta o prvočísle. Jsou to sumační funkce (viz hlavní část níže) aritmetických funkcí, které nejsou ani multiplikativní, ani aditivní.

π(X), funkce počítání prvočísel, nepřekračuje počet prvočísel X. Je to součtová funkce charakteristická funkce prvočísel.

${displaystyle pi (x) = součet _ {pleq x} 1}$

Související funkce počítá primární mocniny s váhou 1 pro prvočísla, 1/2 pro jejich čtverce, 1/3 pro kostky, ... Jedná se o funkci součtu aritmetické funkce, která má hodnotu 1 /k na celá čísla, která jsou k-tou silou nějakého prvočísla, a hodnota 0 na jiných celých číslech.

${displaystyle Pi (x) = součet _ {p ^ {k} leq x} {frac {1} {k}}.}$

θ(X) a ψ(X), Čebyševovy funkce, jsou definovány jako součet přirozených logaritmů prvočísel nepřesahující X.

${displaystyle vartheta (x) = součet _ {pleq x} přihlásit p,}$

${displaystyle psi (x) = součet _ {p ^ {k} leq x} přihlásit p.}$

Čebyševova funkce ψ(X) je funkce součtu von Mangoldtovy funkce hned níže.

Λ (n) - von Mangoldtova funkce

Λ (n), funkce von Mangoldt, je 0, pokud není argument n je hlavní síla p^k, v takovém případě se jedná o přirozený logaritmus prvočísla p:

${displaystyle Lambda (n) = {egin {cases} log p & {ext {if}} n = 2,3,4,5,7,8,9,11,13,16, ldots = p ^ {k} { ext {je hlavní síla}} 0 & {ext {if}} n = 1,6,10,12,14,15,18,20,21, tečky ;;;; {ext {není hlavní síla} }. end {cases}}}$

p(n) - funkce oddílu

p(n), funkce oddílu, je počet způsobů reprezentace n jako součet kladných celých čísel, kde dvě reprezentace se stejnými sčítáními v jiném pořadí se nepočítají jako různá:

${displaystyle p (n) = | left {(a_ {1}, a_ {2}, tečky a_ {k}): 0$

λ (n) - funkce Carmichael

λ(n), funkce Carmichael, je nejmenší kladné číslo ${displaystyle a ^ {lambda (n)} ekvivalent 1 {pmod {n}}}$ pro všechny A coprime na n. Ekvivalentně je to nejmenší společný násobek objednávek prvků prvku multiplikativní skupina celých čísel modulo n.

Pro síly lichých prvočísel a pro 2 a 4, λ(n) se rovná Eulerově totientové funkci n; pro mocniny 2 větší než 4 se rovná jedné polovině funkce Eulerova totientu n:

${displaystyle lambda (n) = {egin {cases} ;; phi (n) & {ext {if}} n = 2,3,4,5,7,9,11,13,17,19,23,25 , 27, tečky {frac {1} {2}} phi (n) & {ext {if}} n = 8,16,32,64, tečky končí {případy}}}$

a obecně n je to nejméně společný násobek λ každého z hlavních výkonových faktorů n:

${displaystyle lambda (p_ {1} ^ {a_ {1}} p_ {2} ^ {a_ {2}} tečky p_ {omega (n)} ^ {a_ {omega (n)}}) = operatorname {lcm} [lambda (p_ {1} ^ {a_ {1}}) ,; lambda (p_ {2} ^ {a_ {2}}), tečky, lambda (p_ {omega (n)} ^ {a_ {omega (n )}})].}$

h(n) - Číslo třídy

h(n), funkce čísla třídy, je pořadí ideální třídní skupina algebraického rozšíření racionálních s diskriminující n. Zápis je nejednoznačný, protože obecně existuje mnoho rozšíření se stejným diskriminátorem. Vidět kvadratické pole a cyklotomické pole pro klasické příklady.

r_k(n) - Součet k čtverce

r_k(n) je počet způsobů n lze vyjádřit jako součet k čtverce, kde se reprezentace, které se liší pouze v pořadí součtů nebo ve znacích odmocnin, počítají jako odlišné.

${displaystyle r_ {k} (n) = | {(a_ {1}, a_ {2}, tečky, a_ {k}): n = a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + cdots + a_ {k} ^ {2}} |}$

D(n) - Aritmetická derivace

Za použití Heavisideova notace pro derivát, D(n) je funkce taková, že

${displaystyle D (n) = 1}$ -li n připravit a

${displaystyle D (mn) = mD (n) + D (m) n}$ (Pravidlo produktu )

Sčítací funkce

Vzhledem k aritmetické funkci A(n), své funkce součtu A(X) je definován

${displaystyle A (x): = součet _ {nleq x} a (n).}$

A lze považovat za funkci reálné proměnné. Dáno kladné celé číslo m, A je konstantní otevřené intervaly m < X < m + 1, a má a skoková diskontinuita na každé celé číslo, pro které A(m) ≠ 0.

Protože tyto funkce jsou často reprezentovány řadami a integrály, je pro dosažení bodové konvergence obvyklé definovat hodnotu na diskontinuitách jako průměr hodnot vlevo a vpravo:

${displaystyle A_ {0} (m): = {frac {1} {2}} vlevo (součet _ {n$

Jednotlivé hodnoty aritmetických funkcí mohou divoce kolísat - jako ve většině výše uvedených příkladů. Součtové funkce tyto výkyvy „vyhladí“. V některých případech je možné najít asymptotické chování pro funkci součtu pro velké X.

Klasický příklad tohoto jevu^[9] je dán funkce součtu dělitele, funkce součtu d(n), počet dělitelů n:

${displaystyle liminf _ {n o infty} d (n) = 2}$

${displaystyle limsup _ {n o infty} {frac {log d (n) log log n} {log n}} = protokol 2}$

${displaystyle lim _ {n o infty} {frac {d (1) + d (2) + cdots + d (n)} {log (1) + log (2) + cdots + log (n)}} = 1 .}$

An průměrné pořadí aritmetické funkce je nějaká jednodušší nebo lépe srozumitelná funkce, která má asymptoticky stejnou funkci součtu, a proto bere stejné hodnoty „v průměru“. Říkáme to G je průměrná objednávka z F -li

${displaystyle sum _ {nleq x} f (n) sim sum _ {nleq x} g (n)}$

tak jako X inklinuje k nekonečnu. Výše uvedený příklad to ukazuje d(n) má průměrný protokol objednávek (n).^[10]

Dirichletova konvoluce

Vzhledem k aritmetické funkci A(n), nechť F_A(s), pro komplexní s, je funkce definovaná odpovídajícím Dirichletova řada (kde to konverguje ):^[11]

${displaystyle F_ {a} (s): = sum _ {n = 1} ^ {infty} {frac {a (n)} {n ^ {s}}}.}$

F_A(s) se nazývá a generující funkce z A(n). Nejjednodušší taková řada, odpovídající konstantní funkci A(n) = 1 pro všechny n, je ς(s) Funkce Riemann zeta.

Generující funkce Möbiovy funkce je inverzní funkce zeta:

${displaystyle zeta (s), sum _ {n = 1} ^ {infty} {frac {mu (n)} {n ^ {s}}} = 1, ;; {mathfrak {R}}, s> 0. }$

Zvažte dvě aritmetické funkce A a b a jejich příslušné generující funkce F_A(s) a F_b(s). Produkt F_A(s)F_b(s) lze vypočítat následovně:

${displaystyle F_ {a} (s) F_ {b} (s) = left (součet _ {m = 1} ^ {infty} {frac {a (m)} {m ^ {s}}} vpravo) left ( suma _ {n = 1} ^ {infty} {frac {b (n)} {n ^ {s}}} ight).}$

Jedná se o jednoduché cvičení, které ukazuje, že pokud C(n) je definován

${displaystyle c (n): = součet _ {ij = n} a (i) b (j) = součet _ {imid n} a (i) bleft ({frac {n} {i}} ight),}$

pak

${displaystyle F_ {c} (s) = F_ {a} (s) F_ {b} (s).}$

Tato funkce C se nazývá Dirichletova konvoluce z A a b, a je označen ${displaystyle a * b}$.

Obzvláště důležitým případem je konvoluce s konstantní funkcí A(n) = 1 pro všechny n, což odpovídá vynásobení generující funkce funkcí zeta:

${displaystyle g (n) = součet _ {dmid n} f (d).}$

Vynásobením inverzní funkce zeta dostaneme Möbiova inverze vzorec:

${displaystyle f (n) = součet _ {dmid n} mu vlevo ({frac {n} {d}} večer) g (d).}$

Li F je multiplikativní, tak také je G. Li F je tedy zcela multiplikativní G je multiplikativní, ale může nebo nemusí být zcela multiplikativní.

Vztahy mezi funkcemi

Existuje velké množství vzorců spojujících aritmetické funkce navzájem a s analytickými funkcemi, zejména mocninami, kořeny a exponenciálními a logickými funkcemi. Strana identita dělitele součtu obsahuje mnoho obecnějších a souvisejících příkladů identit zahrnujících aritmetické funkce.

Zde je několik příkladů:

Dirichletovy závity

${displaystyle sum _ {delta mid n} mu (delta) = součet _ {delta mid n} lambda left ({frac {n} {delta}} ight) | mu (delta) | = {egin {cases} 1 & {ext {if}} n = 1 0 a {ext {if}} další 1end {případy}}}$ kde λ je funkce Liouville.^[12]

${displaystyle sum _ {delta mid n} varphi (delta) = n.}$      ^[13]

${displaystyle varphi (n) = součet _ {delta mid n} mu left ({frac {n} {delta}} ight) delta = nsum _ {delta mid n} {frac {mu (delta)} {delta}}. }$ Möbiova inverze

${displaystyle sum _ {dmid n} J_ {k} (d) = n ^ {k}.}$      ^[14]

${displaystyle J_ {k} (n) = součet _ {delta mid n} mu left ({frac {n} {delta}} ight) delta ^ {k} = n ^ {k} součet _ {delta mid n} { frac {mu (delta)} {delta ^ {k}}}.}$ Möbiova inverze

${displaystyle sum _ {delta mid n} delta ^ {s} J_ {r} (delta) J_ {s} left ({frac {n} {delta}} ight) = J_ {r + s} (n)}$      ^[15]

${displaystyle sum _ {delta mid n} varphi (delta) dleft ({frac {n} {delta}} ight) = sigma (n).}$      ^[16][17]

${displaystyle sum _ {delta mid n} | mu (delta) | = 2 ^ {omega (n)}.}$      ^[18]

${displaystyle | mu (n) | = součet _ {delta mid n} mu left ({frac {n} {delta}} ight) 2 ^ {omega (delta)}.}$ Möbiova inverze

${displaystyle sum _ {delta mid n} 2 ^ {omega (delta)} = d (n ^ {2}).}$      

${displaystyle 2 ^ {omega (n)} = součet _ {delta mid n} mu left ({frac {n} {delta}} ight) d (delta ^ {2}).}$ Möbiova inverze

${displaystyle sum _ {delta mid n} d (delta ^ {2}) = d ^ {2} (n).}$      

${displaystyle d (n ^ {2}) = součet _ {delta mid n} mu left ({frac {n} {delta}} ight) d ^ {2} (delta).}$ Möbiova inverze

${displaystyle sum _ {delta mid n} dleft ({frac {n} {delta}} ight) 2 ^ {omega (delta)} = d ^ {2} (n).}$      

${displaystyle sum _ {delta mid n} lambda (delta) = {egin {cases} & 1 {ext {if}} n {ext {is a square}} & 0 {ext {if}} n {ext {is not square .}} konec {případů}}}$ kde λ je Funkce Liouville.

${displaystyle sum _ {delta mid n} Lambda (delta) = log n.}$      ^[19]

${displaystyle Lambda (n) = součet _ {delta mid n} mu left ({frac {n} {delta}} ight) log (delta).}$ Möbiova inverze

Součty čtverců

Pro všechny ${displaystyle kgeq 4, ;;; r_ {k} (n)> 0.}$     (Lagrangeova věta o čtyřech čtvercích ).

${displaystyle r_ {2} (n) = 4sum _ {dmid n} left ({frac {-4} {d}} ight),}$ ^[20]

Kde Symbol Kronecker má hodnoty

${displaystyle left ({frac {-4} {n}} ight) = {egin {cases} + 1 & {ext {if}} nequiv 1 {pmod {4}} - 1 & {ext {if}} nequiv 3 { pmod {4}} ;;; 0 & {ext {if}} n {ext {is even}}. end {cases}}}$

Existuje vzorec pro r₃ v části o čísla tříd níže.

${displaystyle r_ {4} (n) = 8sum _ {stackrel {dmid n} {4, mid, d}} d = 8 (2 + (- 1) ^ {n}) součet _ {stackrel {dmid n} { 2, mid, d}} d = {egin {cases} 8sigma (n) & {ext {if}} n {ext {is odd}} 24sigma left ({frac {n} {2 ^ {u}}} ight) & {ext {if}} n {ext {is even}} end {cases}},}$    

kde ν = ν₂(n).    ^[21][22][23]

${displaystyle r_ {6} (n) = 16sum _ {dmid n} chi left ({frac {n} {d}} ight) d ^ {2} -4sum _ {dmid n} chi (d) d ^ {2 },}$

kde ${displaystyle chi (n) = left ({frac {-4} {n}} ight).}$^[24]

Definujte funkci σ_k^*(n) tak jako^[25]

${displaystyle sigma _ {k} ^ {*} (n) = (- 1) ^ {n} součet _ {dmid n} (- 1) ^ {d} d ^ {k} = {egin {cases} součet _ {dmid n} d ^ {k} = sigma _ {k} (n) & {ext {if}} n {ext {je zvláštní}} sum _ {stackrel {dmid n} {2, mid, d}} d ^ {k} -sum _ {stackrel {dmid n} {2, mid, d}} d ^ {k} a {ext {if}} n {ext {is even}}. end {cases}}}$

To je, pokud n je zvláštní, σ_k^*(n) je součet kpravomoci dělitelů n, to znamená, σ_k(n), a pokud n je dokonce to je součet kpravomoci sudých dělitelů n minus součet kth síly zvláštních dělitelů n.

${displaystyle r_ {8} (n) = 16sigma _ {3} ^ {*} (n).}$    ^[24][26]

Přijměte konvenci, kterou dodržuje Ramanujan τ(X) = 0 pokud X není celé číslo.

${displaystyle r_ {24} (n) = {frac {16} {691}} sigma _ {11} ^ {*} (n) + {frac {128} {691}} vlevo {(- 1) ^ {n -1} Zbývá 259 au (n) -512 au ({frac {n} {2}} ight) ight}}$    ^[27]

Součet dělitele dělitele

Zde „konvoluce“ neznamená „Dirichletovu konvoluci“, ale místo toho odkazuje na vzorec pro koeficienty produkt dvou výkonových řad:

${displaystyle left (sum _ {n = 0} ^ {infty} a_ {n} x ^ {n} ight) left (sum _ {n = 0} ^ {infty} b_ {n} x ^ {n} ight) = součet _ {i = 0} ^ {infty} součet _ {j = 0} ^ {infty} a_ {i} b_ {j} x ^ {i + j} = součet _ {n = 0} ^ {infty} vlevo (součet _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} b_ {ni} ight) x ^ {n} = součet _ {n = 0} ^ {infty} c_ {n} x ^ {n}. }$

Sekvence ${displaystyle c_ {n} = součet _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} b_ {n-i}}$ se nazývá konvoluce nebo Cauchyho produkt sekvencí A_n a b_n.
Vidět Eisensteinova řada pro diskusi o řadě a funkčních identitách obsažených v těchto vzorcích.^[28]

${displaystyle sigma _ {3} (n) = {frac {1} {5}} vlevo {6nsigma _ {1} (n) -sigma _ {1} (n) + 12sum _ {0$    ^[29]

${displaystyle sigma _ {5} (n) = {frac {1} {21}} vlevo {10 (3n-1) sigma _ {3} (n) + sigma _ {1} (n) + 240sum _ {0$    ^[30]

${displaystyle {egin {aligned} sigma _ {7} (n) & = {frac {1} {20}} vlevo {21 (2n-1) sigma _ {5} (n) -sigma _ {1} (n ) + 504sum _ {0$    ^[30][31]

${displaystyle {egin {aligned} sigma _ {9} (n) & = {frac {1} {11}} vlevo {10 (3n-2) sigma _ {7} (n) + sigma _ {1} (n ) + 480sum _ {0$    ^[29][32]

${displaystyle au (n) = {frac {65} {756}} sigma _ {11} (n) + {frac {691} {756}} sigma _ {5} (n) - {frac {691} {3 }} součet _ {0$ kde τ(n) je funkce Ramanujan.^[33][34]

Od té doby σ_k(n) (pro přirozené číslo.) k) a τ(n) jsou celá čísla, výše uvedené vzorce lze použít k prokázání shody^[35] pro funkce. Vidět Funkce Ramanujan tau pro některé příklady.

Rozšířením domény funkce oddílu nastavením p(0) = 1.

${displaystyle p (n) = {frac {1} {n}} součet _ {1leq kleq n} sigma (k) p (n-k).}$    ^[36] Toto opakování lze použít k výpočtu p(n).

Související s číslem třídy

Peter Gustav Lejeune Dirichlet objevené vzorce, které se vztahují k číslu třídy h z pole kvadratického počtu na symbol Jacobi.^[37]

Celé číslo D se nazývá a základní diskriminující pokud je to diskriminující pole kvadratického čísla. To odpovídá D ≠ 1 a buď a) D je bez čtverce a D ≡ 1 (mod 4) nebo b) D ≡ 0 (mod 4), D/ 4 je bez čtverce a D/ 4 ≡ 2 nebo 3 (mod 4).^[38]

Rozšířením symbolu Jacobi přijměte sudá čísla ve "jmenovateli" definováním Symbol Kronecker:

${displaystyle left ({frac {a} {2}} ight) = {egin {cases} ;;, 0 & {ext {if}} a {ext {is even}} (- 1) ^ {frac {a ^ {2} -1} {8}} & {ext {if}} a {ext {je liché. }} konec {případů}}}$

Pak pokud D <−4 je zásadní diskriminátor^[39][40]

${displaystyle {egin {aligned} h (D) & = {frac {1} {D}} součet _ {r = 1} ^ {| D |} rleft ({frac {D} {r}} ight) & = {frac {1} {2-left ({frac {D} {2}} ight)}} součet _ {r = 1} ^ {| D | / 2} left ({frac {D} {r}} ight) .end {zarovnáno}}}$

K dispozici je také vzorec týkající se r₃ a h. Opět nechte D být zásadním diskriminátorem, D <−4. Pak^[41]

${displaystyle r_ {3} (| D |) = 12left (1-left ({frac {D} {2}} ight) ight) h (D).}$

Související s počítáním Prime

Nechat ${displaystyle H_ {n} = 1 + {frac {1} {2}} + {frac {1} {3}} + cdots + {frac {1} {n}}}$ být nth harmonické číslo. Pak

${displaystyle sigma (n) leq H_ {n} + e ^ {H_ {n}} přihlásit H_ {n}}$ platí pro každé přirozené číslo n jen a jen pokud Riemannova hypotéza je pravda.^[42]

Riemannova hypotéza je také ekvivalentní tvrzení, že pro všechny n > 5040,

${displaystyle sigma (n)$ (kde γ je Euler – Mascheroniho konstanta ). Tohle je Robinova věta.

${displaystyle sum _ {p} u _ {p} (n) = Omega (n).}$

${displaystyle psi (x) = součet _ {nleq x} lambda (n).}$    ^[43]

${displaystyle Pi (x) = sum _ {nleq x} {frac {Lambda (n)} {log n}}.}$    ^[44]

${displaystyle e ^ {heta (x)} = prod _ {pleq x} str.}$    ^[45]

${displaystyle e ^ {psi (x)} = operatorname {lcm} [1,2, tečky, lfloor xfloor].}$    ^[46]

Menonova identita

V roce 1965 P Kesava Menon dokázal^[47]

${displaystyle sum _ {stackrel {1leq kleq n} {gcd (k, n) = 1}} gcd (k-1, n) = varphi (n) d (n).}$

Toto zobecnilo několik matematiků. Například,

B. Sury^[48]

${displaystyle sum _ {stackrel {1leq k_ {1}, k_ {2}, dots, k_ {s} leq n} {gcd (k_ {1}, n) = 1}} gcd (k_ {1} -1, k_ {2}, tečky, k_ {s}, n) = varphi (n) sigma _ {s-1} (n).}$

N. Rao^[49]

${displaystyle sum _ {stackrel {1leq k_ {1}, k_ {2}, dots, k_ {s} leq n} {gcd (k_ {1}, k_ {2}, dots, k_ {s}, n) = 1}} gcd (k_ {1} -a_ {1}, k_ {2} -a_ {2}, tečky, k_ {s} -a_ {s}, n) ^ {s} = J_ {s} (n ) d (n),}$

kde A₁, A₂, ..., A_s jsou celá čísla, gcd (A₁, A₂, ..., A_s, n) = 1.

László Fejes Tóth^[50]

${displaystyle sum _ {stackrel {1leq kleq m} {gcd (k, m) = 1}} gcd (k ^ {2} -1, m_ {1}) gcd (k ^ {2} -1, m_ {2 }) = varphi (n) součet _ {stackrel {d_ {1} střední m_ {1}} {d_ {2} střední m_ {2}}} varphi (gcd (d_ {1}, d_ {2})) 2 ^ {omega (operatorname {lcm} (d_ {1}, d_ {2}))}}}$

kde m₁ a m₂ jsou liché, m = lcm (m₁, m₂).

Ve skutečnosti, pokud F je libovolná aritmetická funkce^[51][52]

${displaystyle sum _ {stackrel {1leq kleq n} {gcd (k, n) = 1}} f (gcd (k-1, n)) = varphi (n) sum _ {dmid n} {frac {(mu * f) (d)} {varphi (d)}},}$

kde * znamená Dirichletovu konvoluci.

Smíšený

Nechat m a n být zřetelný, lichý a pozitivní. Pak symbol Jacobi splňuje zákon z kvadratická vzájemnost:

${displaystyle left ({frac {m} {n}} ight) left ({frac {n} {m}} ight) = (- 1) ^ {(m-1) (n-1) / 4}.}$    

Nechat D(n) být aritmetický derivát. Pak logaritmická derivace

${displaystyle {frac {D (n)} {n}} = součet _ {stackrel {pmid n} {p {ext {prime}}}} {frac {v_ {p} (n)} {p}}}$ ^[53]

Nechat λ(n) být funkcí Liouville. Pak

${displaystyle | lambda (n) | mu (n) = lambda (n) | mu (n) | = mu (n),}$ a

${displaystyle lambda (n) mu (n) = | mu (n) | = mu ^ {2} (n).}$    

Nechat λ(n) být funkcí Carmichaela. Pak

${displaystyle lambda (n) mid phi (n).}$ Dále,

${displaystyle lambda (n) = phi (n) {ext {tehdy a jen tehdy}} n = {egin {cases} 1,2,4; 3,5,7,9,11, ldots {ext {(to is,}} p ^ {k} {ext {, kde}} p {ext {je liché prvočíslo)}}; 6,10,14,18, ldots {ext {(tj.}} 2p ^ { k} {ext {, kde}} p {ext {je liché prvočíslo)}}. end {cases}}}$

Vidět Multiplikativní skupina celých čísel modulo n a Primitivní kořenový modul č. 

${displaystyle 2 ^ {omega (n)} leq d (n) leq 2 ^ {Omega (n)}.}$    ^[54][55]

${displaystyle {frac {6} {pi ^ {2}}} <{frac {phi (n) sigma (n)} {n ^ {2}}} <1.}$    ^[56]

${displaystyle {egin {aligned} c_ {q} (n) & = {frac {mu left ({frac {q} {gcd (q, n)}} ight)} {phi left ({frac {q} {gcd (q, n)}} ight)}} phi (q) & = součet _ {delta mid gcd (q, n)} mu left ({frac {q} {delta}} ight) delta .end {aligned} }}$    ^[57] Všimněte si, že${displaystyle phi (q) = součet _ {delta mid q} mu left ({frac {q} {delta}} ight) delta.}$    ^[58]

${displaystyle c_ {q} (1) = mu (q).}$

${displaystyle c_ {q} (q) = phi (q).}$

${displaystyle sum _ {delta mid n} d ^ {3} (delta) = left (sum _ {delta mid n} d (delta) ight) ^ {2}.}$    ^[59] Porovnejte to s 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = (1 + 2 + 3 + ... + n)²

${displaystyle d (uv) = součet _ {delta mid gcd (u, v)} mu (delta) dleft ({frac {u} {delta}} ight) dleft ({frac {v} {delta}} ight). }$    ^[60]

${displaystyle sigma _ {k} (u) sigma _ {k} (v) = součet _ {delta mid gcd (u, v)} delta ^ {k} sigma _ {k} vlevo ({frac {uv} {delta ^ {2}}} hned).}$    ^[61]

${displaystyle au (u) au (v) = součet _ {delta mid gcd (u, v)} delta ^ {11} au left ({frac {uv} {delta ^ {2}}} ight),}$ kde τ(n) je funkce Ramanujan.^[62]

Prvních 100 hodnot některých aritmetických funkcí