Narcistické číslo - Narcissistic number
v teorie čísel, a narcistické číslo[1][2] (také známý jako dokonalý digitální invariant (PPDI),[3] an Armstrongovo číslo[4] (po Michaelovi F. Armstrongovi)[5] nebo a plus perfektní číslo)[6] v daném číselná základna je číslo, které je součtem jeho vlastních číslic, z nichž každá je zvýšena na sílu počtu číslic.
Definice
Nechat být přirozené číslo. Definujeme narcistická funkce pro základnu být následující:
kde je počet číslic v čísle v základně , a
je hodnota každé číslice čísla. Přirozené číslo je narcistické číslo pokud je to pevný bod pro , který nastane, pokud . Přirozená čísla jsou triviální narcistická čísla pro všechny , všechna ostatní narcistická čísla jsou netriviální narcistická čísla.
Například číslo 122 v základně je narcistické číslo, protože a .
Přirozené číslo je společenské narcistické číslo pokud je to periodický bod pro , kde pro pozitivní celé číslo (tady je th opakovat z ), a tvoří a cyklus období . Narcistické číslo je společenské narcistické číslo s a přátelské narcistické číslo je společenské narcistické číslo s .
Všechna přirozená čísla jsou preperiodické body pro , bez ohledu na základnu. Je to proto, že pro jakýkoli daný počet číslic , minimální možná hodnota je , maximální možná hodnota je a hodnota narcistické funkce je . Každé narcistické číslo tedy musí uspokojit nerovnost . Vynásobením všech stran , dostaneme nebo ekvivalentně . Od té doby , to znamená, že zde bude maximální hodnota kde , kvůli exponenciální povaha a linearita z . Nad tuto hodnotu , vždy. Existuje tedy konečný počet narcistických čísel a je zaručeno, že jakékoli přirozené číslo dosáhne periodického bodu nebo pevného bodu menšího než , což z něj činí preperiodický bod. Nastavení rovno 10 ukazuje, že největší narcistické číslo v základně 10 musí být menší než .[1]
Počet iterací potřebné pro dosáhnout pevného bodu je narcistická funkce vytrvalost z a undefined, pokud nikdy nedosáhne pevného bodu.
Základna má alespoň jedno dvouciferné narcistické číslo kdyby a jen kdyby není prvočíslo a počet dvouciferných narcistických čísel v základně rovná se , kde je počet kladných dělitelů .
Každá základna to není násobek devíti má alespoň jedno tříciferné narcistické číslo. Základny, které tomu tak není, jsou
- 2, 72, 90, 108, 153, 270, 423, 450, 531, 558, 630, 648, 738, 1044, 1098, 1125, 1224, 1242, 1287, 1440, 1503, 1566, 1611, 1620, 1800, 1935, ... (sekvence A248970 v OEIS )
V základně 10 je pouze 89 narcistických čísel, z nichž největší je
- 115,132,219,018,763,992,565,095,597,973,971,522,401
s 39 číslicemi.[1]
Narcistická čísla a cykly Fb pro konkrétní b
Všechna čísla jsou uvedena v základně . '#' je délka každé známé konečné sekvence.
Narcistická čísla | # | Cykly | OEIS sekvence | |
---|---|---|---|---|
2 | 0, 1 | 2 | ||
3 | 0, 1, 2, 12, 22, 122 | 6 | ||
4 | 0, 1, 2, 3, 130, 131, 203, 223, 313, 332, 1103, 3303 | 12 | A010344 a A010343 | |
5 | 0, 1, 2, 3, 4, 23, 33, 103, 433, 2124, 2403, 3134, 124030, 124031, 242423, ... | 18 | 1234 → 2404 → 4103 → 2323 → 1234 3424 → 4414 → 11034 → 20034 → 20144 → 31311 → 3424 1044302 → 2110314 → 1044302 1043300 → 1131014 → 1043300 | A010346 |
6 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 243, 514, 14340, 14341, 14432, 23520, 23521, 44405, 435152, 5435254, 12222215, 555435035 ... | 31 | 44 → 52 → 45 → 105 → 330 → 130 → 44 13345 → 33244 → 15514 → 53404 → 41024 → 13345 14523 → 32253 → 25003 → 23424 → 14523 2245352 → 3431045 → 2245352 12444435 → 22045351 → 30145020 → 13531231 → 12444435 115531430 → 230104215 → 115531430 225435342 → 235501040 → 225435342 | A010348 |
7 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 34, 44, 63, 250, 251, 305, 505, 12205, 12252, 13350, 13351, 15124, 36034, ... | 60 | A010350 | |
8 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 24, 64, 134, 205, 463, 660, 661, ... | 63 | A010354 a A010351 | |
9 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 45, 55, 150, 151, 570, 571, 2446, 12036, 12336, 14462, ... | 59 | A010353 | |
10 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 153, 370, 371, 407, 1634, 8208, 9474, 54748, 92727, 93084, 548834, ... | 89 | A005188 | |
11 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, 56, 66, 105, 307, 708, 966, A06, A64, 8009, 11720, 11721, 12470, ... | 135 | A0161948 | |
12 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, 25, A5, 577, 668, A83, 14765, 938A4, 369862, A2394A, ... | 88 | A161949 | |
13 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, 14, 36, 67, 77, A6, C4, 490, 491, 509, B85, 3964, 22593, 5B350, ... | 202 | A0161950 | |
14 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, 136, 409, 74AB5, 153A632, ... | 103 | A0161951 | |
15 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, 78, 88, C3A, D87, 1774, E819, E829, 7995C, 829BB, A36BC, ... | 203 | A0161952 | |
16 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, 156, 173, 208, 248, 285, 4A5, 5B0, 5B1, 60B, 64B, 8C0, 8C1, 99A, AA9, AC3, CA8, E69, EA0, EA1, ... | 294 | A161953 |
Rozšíření na záporná celá čísla
Narcistická čísla lze rozšířit na záporná celá čísla pomocí a podepsané číslice reprezentovat každé celé číslo.
Příklad programování
Následující příklad implementuje narcistní funkci popsanou ve výše uvedené definici hledat narcistické funkce a cykly v Krajta.
def ppdif(X, b): y = X digit_count = 0 zatímco y > 0: digit_count = digit_count + 1 y = y // b celkový = 0 zatímco X > 0: celkový = celkový + prášek(X % b, digit_count) X = X // b vrátit se celkovýdef ppdif_cycle(X, b): vidět = [] zatímco X ne v vidět: vidět.připojit(X) X = ppdif(X, b) cyklus = [] zatímco X ne v cyklus: cyklus.připojit(X) X = ppdif(X, b) vrátit se cyklus
Viz také
- Aritmetická dynamika
- Dudeneyovo číslo
- Factorion
- Šťastné číslo
- Kaprekarova konstanta
- Číslo Kaprekar
- Číslo Meertens
- Perfektní invariant mezi číslicemi
- Perfektní digitální invariant
- Souhrnné číslo produktu
Reference
- ^ A b C Weisstein, Eric W. "Narcistické číslo". MathWorld.
- ^ Perfektní a PluPerfect Digital Invariants Archivováno 10. 10. 2007 v Wayback Machine Scott Moore
- ^ Čísla PPDI (Armstrong) Harvey Heinz
- ^ Armstrongova čísla autor: Dik T. Winter
- ^ Webový protokol Lionela Deimela
- ^ (sekvence A005188 v OEIS )
- Joseph S.Madachy, Matematika na dovolené, Thomas Nelson & Sons Ltd. 1966, strany 163-175.
- Rose, Colin (2005), Radikální narcistická čísla, Journal of Recreational Mathematics, 33 (4), 2004-2005, strany 250-254.
- Perfektní digitální invarianty Walter Schneider