Digitální root - Digital root - Wikipedia

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale její zdroje zůstávají nejasné, protože jí chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Leden 2016) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

The digitální root (taky opakovaný digitální součet) a přirozené číslo v daném číselná základna je (jednociferná) hodnota získaná iteračním procesem sčítání číslic, na každou iteraci s použitím výsledku z předchozí iterace k výpočtu číslicového součtu. Proces pokračuje, dokud není dosaženo jednociferného čísla.

Formální definice

Nechat ${ displaystyle n}$ být přirozené číslo. Pro základnu ${ displaystyle b> 1}$, definujeme součet číslic ${ displaystyle F_ {b}: mathbb {N} rightarrow mathbb {N}}$ být následující:

${ displaystyle F_ {b} (n) = součet _ {i = 0} ^ {k-1} d_ {i}}$

kde ${ displaystyle k = lfloor log _ {b} {n} rfloor +1}$ je počet číslic v čísle v základně ${ displaystyle b}$, a

${ displaystyle d_ {i} = { frac {n { bmod {b ^ {i + 1}}} - n { bmod {b}} ^ {i}} {b ^ {i}}}}$

je hodnota každé číslice čísla. Přirozené číslo ${ displaystyle n}$ je digitální root pokud je to pevný bod pro ${ displaystyle F_ {b}}$, který nastane, pokud ${ displaystyle F_ {b} (n) = n}$.

Všechna přirozená čísla ${ displaystyle n}$ jsou preperiodické body pro ${ displaystyle F_ {b}}$, bez ohledu na základnu. Je to proto, že pokud ${ displaystyle n geq b}$, pak

${ displaystyle n = suma _ {i = 0} ^ {k-1} d_ {i} b ^ {i}}$

a proto

${ displaystyle F_ {b} (n) = součet _ {i = 0} ^ {k-1} d_ {i} < součet _ {i = 0} ^ {k-1} d_ {i} b ^ {i} = n}$

protože ${ displaystyle b> 1}$.Li ${ displaystyle n$, pak triviálně

${ displaystyle F_ {b} (n) = n}$

Jedinými možnými digitálními kořeny jsou proto přirozená čísla ${ displaystyle 0 leq n$, a neexistují žádné cykly kromě pevných bodů ${ displaystyle 0 leq n$.

Příklad

v základna 12, 8 je aditivní digitální kořen základna 10 číslo 3110, pokud jde o ${ displaystyle n = 3110}$

${ displaystyle d_ {0} = { frac {3110 { bmod {12 ^ {0 + 1}}} - 3110 { bmod {1}} 2 ^ {0}} {12 ^ {0}}} = { frac {3110 { bmod {12}} - 3110 { bmod {1}}} {1}} = { frac {2-0} {1}} = { frac {2} {1}} = 2}$

${ displaystyle d_ {1} = { frac {3110 { bmod {12 ^ {1 + 1}}} - 3110 { bmod {1}} 2 ^ {1}} {12 ^ {1}}} = { frac {3110 { bmod {144}} - 3110 { bmod {1}} 2} {12}} = { frac {86-2} {12}} = { frac {84} {12} } = 7}$

${ displaystyle d_ {2} = { frac {3110 { bmod {12 ^ {2 + 1}}} - 3110 { bmod {1}} 2 ^ {2}} {12 ^ {2}}} = { frac {3110 { bmod {1728}} - 3110 { bmod {1}} 44} {144}} = { frac {1382-86} {144}} = { frac {1296} {144} } = 9}$

${ displaystyle d_ {3} = { frac {3110 { bmod {12 ^ {3 + 1}}} - 3110 { bmod {1}} 2 ^ {3}} {12 ^ {3}}} = { frac {3110 { bmod {20736}} - 3110 { bmod {1}} 728} {1728}} = { frac {3110-1382} {1728}} = { frac {1728} {1728} } = 1}$

${ displaystyle F_ {12} (3110) = součet _ {i = 0} ^ {4-1} d_ {i} = 2 + 7 + 9 + 1 = 19}$

Tento proces ukazuje, že 3110 je 1972 v základna 12. Nyní pro ${ displaystyle F_ {12} (3110) = 19}$

${ displaystyle d_ {0} = { frac {19 { bmod {12 ^ {0 + 1}}} - 19 { bmod {1}} 2 ^ {0}} {12 ^ {0}}} = { frac {19 { bmod {12}} - 19 { bmod {1}}} {1}} = { frac {7-0} {1}} = { frac {7} {1}} = 7}$

${ displaystyle d_ {1} = { frac {19 { bmod {12 ^ {1 + 1}}} - 19 { bmod {1}} 2 ^ {1}} {12 ^ {1}}} = { frac {19 { bmod {144}} - 19 { bmod {1}} 2} {12}} = { frac {19-7} {12}} = { frac {12} {12} } = 1}$

${ displaystyle F_ {12} (19) = součet _ {i = 0} ^ {2-1} d_ {i} = 1 + 7 = 8}$

ukazuje, že 19 je 17 palců základna 12. A protože 8 je jednociferné číslo v základna 12,

${ displaystyle F_ {12} (8) = 8}$

Přímé vzorce

Můžeme definovat číslicový kořen přímo pro základnu ${ displaystyle b> 1}$ ${ displaystyle operatorname {dr} _ {b}: mathbb {N} rightarrow mathbb {N}}$ následujícími způsoby:

Shodovací vzorec

Vzorec v základu ${ displaystyle b}$ je:

${ displaystyle operatorname {dr} _ {b} (n) = { begin {cases} 0 & { mbox {if}} n = 0, b-1 & { mbox {if}} n neq 0, n equiv 0 { bmod {b-1}}, n { rm {mod}} (b-1) & { mbox {if}} n not equiv 0 { bmod {b-1}} end {cases}}}$

nebo,

${ displaystyle operatorname {dr} _ {b} (n) = { začít {případy} 0 & { mbox {if}} n = 0, 1 + ((n-1) { rm {mod}} (b-1)) & { mbox {if}} n neq 0. end {cases}}}$

v základna 10, odpovídající sekvence je (sekvence A010888 v OEIS ).

Digitální kořen je hodnota modulo ${ displaystyle b-1}$ protože ${ displaystyle b equiv 1 { bmod {b-1}},}$ a tudíž ${ displaystyle b ^ {k} equiv 1 ^ {k} equiv 1 { bmod {b-1}},}$ takže bez ohledu na polohu hodnotu ${ displaystyle n { bmod {b}} - 1}$ je stejný - ${ displaystyle ab ^ {2} equiv ab equiv a { bmod {b-1}}}$ - což je důvod, proč lze číslice smysluplně přidávat. Konkrétně pro tříciferné číslo ${ displaystyle n = a_ {1} b ^ {2} + a_ {2} b ^ {1} + a_ {3} b ^ {0}}$

${ displaystyle operatorname {dr} _ {b} (n) equiv a_ {1} b ^ {2} + a_ {2} b ^ {1} + a_ {3} b ^ {0} equiv a_ { 1} (1) + a_ {2} (1) + a_ {3} (1) equiv (a_ {1} + a_ {2} + a_ {3}) { bmod {b-1}}}$.

Získat modulární hodnotu vzhledem k ostatním číslům ${ displaystyle n}$, jeden může vzít vážené částky, kde váha na ${ displaystyle k}$-tá číslice odpovídá hodnotě ${ displaystyle b ^ {k}}$ modulo ${ displaystyle n}$. v základna 10, toto je nejjednodušší pro 2, 5 a 10, kde zmizí vyšší číslice (protože 2 a 5 dělí 10), což odpovídá známé skutečnosti, že lze zkontrolovat dělitelnost desetinného čísla vzhledem k 2, 5 a 10 o poslední číslici (sudá čísla končí 0, 2, 4, 6 nebo 8).

Za zmínku stojí také modul ${ displaystyle n = b + 1}$: od té doby ${ displaystyle b equiv -1 { bmod {b + 1}},}$ a tudíž ${ displaystyle b ^ {2} equiv (-1) ^ {2} equiv 1 { pmod {b + 1}},}$ přičemž střídavý součet číslic poskytuje hodnotu modulo ${ displaystyle b + 1}$.

Použití funkce podlahy

Pomáhá vidět digitální kořen kladného celého čísla jako pozici, kterou drží vzhledem k největšímu násobku ${ displaystyle b-1}$ menší než samotné číslo. Například v základna 6 digitální kořen 11 je 2, což znamená, že 11 je druhé číslo po ${ displaystyle 6-1 = 5}$. Podobně v základně 10 je digitální kořen roku 2035 1, což znamená, že ${ displaystyle 2035-1 = 2034 | 9}$. Pokud číslo vytváří digitální kořen přesně ${ displaystyle b-1}$, pak je číslo násobkem ${ displaystyle b-1}$.

S ohledem na to digitální kořen kladného celého čísla ${ displaystyle n}$ lze definovat pomocí funkce podlahy ${ displaystyle lfloor x rfloor}$, tak jako

${ displaystyle operatorname {dr} _ {b} (n) = n- (b-1) levý lfloor { frac {n-1} {b-1}} pravý rfloor.}$

Vlastnosti

• Digitální kořen ${ displaystyle a_ {1} + a_ {2}}$ v základně ${ displaystyle b}$ je digitální kořen součtu digitálního kořene ${ displaystyle a_ {1}}$ a digitální kořen ${ displaystyle a_ {2}}$. Tuto vlastnost lze použít jako druh kontrolní součet, abyste zkontrolovali, zda byla částka provedena správně.

${ displaystyle operatorname {dr} _ {b} (a_ {1} + a_ {2}) = operatorname {dr} _ {b} ( operatorname {dr} _ {b} (a_ {1}) + operatorname {dr} _ {b} (a_ {2})).}$

• Digitální kořen ${ displaystyle a_ {1} -a_ {2}}$ v základně ${ displaystyle b}$ je shodný s rozdílem digitálního kořene ${ displaystyle a_ {1}}$ a digitální kořen ${ displaystyle a_ {2}}$ modulo ${ displaystyle b-1}$.

${ displaystyle operatorname {dr} _ {b} (a_ {1} -a_ {2}) equiv ( operatorname {dr} _ {b} (a_ {1}) - operatorname {dr} _ {b } (a_ {2})) { bmod {b-1}}.}$

• Digitální kořen ${ displaystyle -n}$ v základně ${ displaystyle b}$ jak následuje:

${ displaystyle operatorname {dr} _ {b} (- n) equiv - operatorname {dr} _ {b} (n) { bmod {b-1}}.}$

• Digitální kořen produktu nenulových jednociferných čísel ${ displaystyle a_ {1} cdot a_ {2}}$ v základně ${ displaystyle b}$ je dán Vedic Square v základně ${ displaystyle b}$.
• Digitální kořen ${ displaystyle a_ {1} cdot a_ {2}}$ v základně ${ displaystyle b}$ je digitální kořen produktu digitálního kořene ${ displaystyle a_ {1}}$ a digitální kořen ${ displaystyle a_ {2}}$.

${ displaystyle operatorname {dr} _ {b} (a_ {1} a_ {2}) = operatorname {dr} _ {b} ( operatorname {dr} _ {b} (a_ {1}) cdot operatorname {dr} _ {b} (a_ {2})).}$

Aditivní perzistence

The přísada vytrvalost se počítá, kolikrát musíme sčítat jeho číslice aby se dostal ke svému digitálnímu kořenu.

Například aditivní vytrvalost 2718 v základna 10 je 2: nejprve zjistíme, že 2 + 7 + 1 + 8 = 18, potom 1 + 8 = 9.

Aditivní vytrvalost čísla v číselné základně není nijak omezena ${ displaystyle b}$. Důkaz: Pro dané číslo ${ displaystyle n}$, přetrvávání počtu skládajícího se z ${ displaystyle n}$ opakování číslice 1 je o 1 vyšší než opakování číslice 1 ${ displaystyle n}$. Nejmenší počty aditivní perzistence 0, 1, ... v základně 10 jsou:

0, 10, 19, 199, 19 999 999 999 999 999 999 999, ... (sekvence A006050 v OEIS )

Další číslo v pořadí (nejmenší počet perzistence aditiv 5) je 2 × 10^{2×(1022 − 1)/9} - 1 (tj. 1, za nímž následuje 22222222222222222222222222 9). U jakékoli pevné základny je součet číslic čísla úměrný jeho logaritmus; proto je aditivní perzistence úměrná iterovaný logaritmus.^[1]

Příklad programování

Následující příklad implementuje číslicový součet popsaný ve výše uvedené definici, aby vyhledal digitální kořeny a aditivní perzistence v Krajta.

def číslice_sum(X: int, b: int) -> int:    celkový = 0    zatímco X > 0:        celkový = celkový + (X % b)        X = X // b    vrátit se celkovýdef digital_root(X: int, b: int) -> int:    vidět = soubor()    zatímco X ne v vidět:        vidět.přidat(X)        X = číslice_sum(X, b)    vrátit se Xdef additive_persistence(X: int, b: int) -> int:    vidět = soubor()    zatímco X ne v vidět:        vidět.přidat(X)        X = číslice_sum(X, b)    vrátit se len(vidět) - 1

V populární kultuře

Digitální kořeny se používají v západní numerologie, ale některá čísla považovaná za okultní význam (například 11 a 22) se ne vždy úplně sníží na jednu číslici.

Digitální kořeny tvoří důležitého mechanika ve vizuální nové románské adventuře Devět hodin, devět osob, devět dveří.

Viz také

Reference

• Averbach, Bonnie; Chein, Orin (27. května 1999), Řešení problémů prostřednictvím rekreační matematiky, Dover Books on Mathematics (dotisk ed.), Mineola, NY: Courier Dover Publications, pp.125–127, ISBN  0-486-40917-1 (online kopie, str. 125, v Knihy Google )
• Ghannam, Talal (4. ledna 2011), The Mystery of Numbers: Revealed Through their Digital Root „Publikace CreateSpace, s. 68–73, ISBN  978-1-4776-7841-1, archivovány z originál dne 29. března 2016, vyvoláno 11. února 2016 (online kopie, str. 68, v Knihy Google )
• Hall, F. M. (1980), Úvod do abstraktní algebry, 1 (2. vyd.), Cambridge, UK: CUP Archive, str. 101, ISBN  978-0-521-29861-2 (online kopie, str. 101, v Knihy Google )
• O'Beirne, T. H. (13. března 1961), „Hádanky a paradoxy“, Nový vědec, Reed obchodní informace, 10 (230): 53–54, ISSN  0262-4079 (online kopie, str. 53, v Knihy Google )
• Rouse Ball, W. W.; Coxeter, H. S. M. (6. května 2010), Matematické rekreace a eseje, Dover Recreational Mathematics (13. vydání), NY: Dover Publications, ISBN  978-0-486-25357-2 (online kopie na Knihy Google )

externí odkazy

• Vzory digitálních kořenů pomocí MS Excel
• Weisstein, Eric W. „Digital Root“. MathWorld.